数学模型与数学建模pt课件市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

第一讲第一讲数学模型与数学建模数学模型与数学建模第1页当代数学：当代数学：在理论上更抽象；在理论上更抽象；在方法上愈加综合；在方法上愈加综合；在应用上更为广泛。在应用上更为广泛。一、一、当代科技人员应含有数学能力当代科技人员应含有数学能力*数学很主要首先在于数学知识与数学方数学很主要首先在于数学知识与数学方法应用法应用.*更主要方面是数学思维方式确实立更主要方面是数学思维方式确实立.第2页二十一世纪科技人才应具备数学素质与能力 数学运算能力数学运算能力 逻辑推理能力逻辑推理能力数学建模能力数学建模能力数据处理能力数据处理能力空间想象能力空间想象能力抽象思维能力抽象思维能力更新数学知识能力更新数学知识能力使用数学软件能力使用数学软件能力第3页二、数学模型与数学建模二、数学模型与数学建模数学模型数学模型(Mathematical Model):):重结果；重结果；模型模型:所研究客观事物相关属性模拟所研究客观事物相关属性模拟,含含有事物中感兴趣主要性质。有事物中感兴趣主要性质。*对实体本身模拟对实体本身模拟 如如:飞机形状进行模拟模型飞机；飞机形状进行模拟模型飞机；数学建模数学建模(Mathematical Modeling):重过程重过程.第4页*对实体一些属性模拟对实体一些属性模拟 如如:对飞机性能进行模拟航模比赛飞机对飞机性能进行模拟航模比赛飞机；*对实体一些属性抽象对实体一些属性抽象 如如:一张地质图是某地域地貌情况抽象一张地质图是某地域地貌情况抽象 任何一个模型仅为一个真实系统某首任何一个模型仅为一个真实系统某首先理想化，决不是真实系统重现先理想化，决不是真实系统重现.第5页 数学模型数学模型(E.A.Bendar 定义定义)：关于部分现实世界为一定目标而做抽象、关于部分现实世界为一定目标而做抽象、简化数学结构。简化数学结构。数学模型是现实世界简化而本质描述数学模型是现实世界简化而本质描述。是用数学符号、数学公式、程序、图、是用数学符号、数学公式、程序、图、表等刻画客观事物本质属性与内在联络理表等刻画客观事物本质属性与内在联络理想化表述想化表述.第6页治愈治愈 瘫痪瘫痪 死亡死亡 状态（可能）状态（可能）行动行动（人能控制）（人能控制）等候等候治疗治疗例例1 大夫决议问题大夫决议问题 此模型此模型(数学结构数学结构)表示了大夫能做什么表示了大夫能做什么,可能出现结果可能出现结果.第7页 可帮助我们明确大夫决议取决于目标设定可帮助我们明确大夫决议取决于目标设定及治疗标准等及治疗标准等.数学模型是思索工具数学模型是思索工具 结构一个数学模型可帮助我们进行交流、结构一个数学模型可帮助我们进行交流、取得了解、加强对所采取行动及结果预测能取得了解、加强对所采取行动及结果预测能力，它应有利于思索过程力，它应有利于思索过程.第8页 例例2.厂长经理们策划出一个合理安排生产厂长经理们策划出一个合理安排生产和销售数学模型，是为了获取尽可能高经和销售数学模型，是为了获取尽可能高经济效益济效益.例例3.生物医学教授有了药品浓度在人体生物医学教授有了药品浓度在人体内随时间和空间改变数学模型后，能够用内随时间和空间改变数学模型后，能够用来分析药品疗效，从而有效地指导临床用来分析药品疗效，从而有效地指导临床用药药.第9页 诺贝尔经济学奖取得者诺贝尔经济学奖取得者建立了大量数学建立了大量数学模型，为世界经济发展做出卓越贡献：模型，为世界经济发展做出卓越贡献：人类时间价格模型；人类时间价格模型；教师与毕业生增加模型；教师与毕业生增加模型；房屋出售问题模型；房屋出售问题模型；最优消费和组合投资问题；最优消费和组合投资问题；Selton 连锁店博弈模型；连锁店博弈模型；平稳人口模型；平稳人口模型；第10页固定汇率和浮动汇率货币动力学固定汇率和浮动汇率货币动力学人类时间价格度量；人类时间价格度量；考虑技术进步生产函数考虑技术进步生产函数.数学模型是沟通现实世界数学模型是沟通现实世界与数学世界理想桥梁。与数学世界理想桥梁。第11页现现实实世世界界数数学学世世界界建立数学模型建立数学模型推理推理演绎演绎求解求解翻译为实际解答翻译为实际解答实际解答实际解答：如对现实对象分析、预报、如对现实对象分析、预报、决议、控制等结果。决议、控制等结果。始于现实世界并终于现实世界始于现实世界并终于现实世界第12页 一个较热物体置于室温为一个较热物体置于室温为180c房间内，房间内，该物体最初温度是该物体最初温度是600c，3分钟以后降到分钟以后降到500c.想知道它温度降到想知道它温度降到300c 需要多少时间需要多少时间？10分钟以后它温度是多少？分钟以后它温度是多少？牛顿冷却（加热）定律：牛顿冷却（加热）定律：将温度为将温度为T物物体放入处于常温体放入处于常温 m 介质中时，介质中时，T改变速率改变速率正比于正比于T与周围介质温度差。与周围介质温度差。作案时间确定 三、建模范例三、建模范例第13页 分析：分析：假设房间足够大，放入温度较低或假设房间足够大，放入温度较低或较高物体时，室内温度基本不受影响，即室较高物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡温分布均衡,保持为保持为m，采取牛顿冷却定律是，采取牛顿冷却定律是一个相当好近似。一个相当好近似。建立模型：建立模型：设物体在冷却过程中温度为设物体在冷却过程中温度为T(t)，t0，“T改变速率正比于改变速率正比于T与周围介质温度差与周围介质温度差”翻译为翻译为第14页建立微分方程建立微分方程其中参数其中参数k 0，m=18.求得普通解为求得普通解为 ln(Tm)=k t+c,代入条件，求得代入条件，求得c=42，k=,最终得最终得第15页结果结果：T(10)=18+42 =25.870，该物体温度降至该物体温度降至300c 需要需要8.17分钟分钟.T(t)=18+42 ,t 0.第16页 将一张四条腿一样长方桌放在不平地面将一张四条腿一样长方桌放在不平地面上上,问是否总能设法使它四条腿同时着地？问是否总能设法使它四条腿同时着地？假设假设*1 地面为连续曲面地面为连续曲面.（在（在Oxyz坐标系中，地坐标系中，地 面可用一个连续二元函数面可用一个连续二元函数 z=z(x,y)表示）表示）*2 相对于地面弯曲程度相对于地面弯曲程度,方桌腿足够长方桌腿足够长.*3 将与地面接触看成几何上点接触将与地面接触看成几何上点接触.稳定椅子稳定椅子第17页 建模建模 绘制方桌俯视图，构想桌子绕中心绘制方桌俯视图，构想桌子绕中心O点旋点旋转，转动角度记为转，转动角度记为.OABCDAC第18页引进函数变量：引进函数变量：f()A、C 两腿到地面距离之和；两腿到地面距离之和；g()B、D 两腿到地面距离之和；两腿到地面距离之和；由假设由假设*1*1，f()、g()都是连续函数。都是连续函数。由由*2，方桌腿足够长，最少有三条腿总能，方桌腿足够长，最少有三条腿总能同时着地，故有同时着地，故有 f()g()=0，0，2不妨设不妨设 f(0)=0、g(0)0.第19页方桌问题归结为方桌问题归结为数学问题：数学问题：已知已知 f()和和 g()都是连续函数都是连续函数,f(0)=0、g(0)0,且对任意且对任意0,2,都有都有f()g()=0，分析：分析：当当=/2时时，即即AC 和和 BD交换位置交换位置,故有故有 f(/2)0，g(/2)=0令令 h()=f()g()，则有则有 求证：求证：存在存在0，使得使得f(0)=g(0).第20页 因因 h()在在 0,/2上连续，依据闭区间上连续，依据闭区间上连续函数介值定理，存在上连续函数介值定理，存在00,/2，使使h(0)=f(0)g(0)=0 h(0)0，h(/2)0，f(0)=g(0)因对任意因对任意有有,f()g()=0 f(0)g(0)=0 f(0)=g(0)=0第21页 结论结论 对于四条腿等长，四脚呈正方形对于四条腿等长，四脚呈正方形桌子，在光滑地面上做原地旋转，在小于桌子，在光滑地面上做原地旋转，在小于/2角度内，必能放平角度内，必能放平.思索题：思索题：任意矩形桌子会怎样？任意矩形桌子会怎样？第22页一场笔墨官司（放射性废物处理问题）一场笔墨官司（放射性废物处理问题）美国原子能委员会（现为核管理委员会）美国原子能委员会（现为核管理委员会）处理浓缩放射性废物，是将废物放入密封处理浓缩放射性废物，是将废物放入密封性能很好圆桶中，然后扔到水深性能很好圆桶中，然后扔到水深300英尺英尺海里海里.他们这种做法他们这种做法安全安全吗？吗？分析：分析：可从各个角度去分析造成危险原可从各个角度去分析造成危险原因，这里仅考虑圆桶泄露可能因，这里仅考虑圆桶泄露可能.联想：联想：安全安全 、危险、危险第23页问题关键问题关键 *圆桶至多能承受多大圆桶至多能承受多大冲撞速度冲撞速度？(40英尺英尺/秒秒););*圆桶和海底碰撞时速度有多大？圆桶和海底碰撞时速度有多大？新问题：新问题：求这一个桶沉入求这一个桶沉入300英尺海底英尺海底时末速度时末速度.（原问题是什么（原问题是什么?）第24页可利用数据条件：可利用数据条件：圆桶总重量圆桶总重量 W=527.327（磅）（磅）圆桶受到浮力圆桶受到浮力 B=470.327（磅）（磅）圆桶下沉时受到海水阻力圆桶下沉时受到海水阻力 D=Cv，C=0.08 可利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位可利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位移满足微分方程：移满足微分方程：第25页方程解为方程解为第26页 计算碰撞速度，需确定圆桶和海底碰撞计算碰撞速度，需确定圆桶和海底碰撞时间时间t0 0?分析：分析：考虑圆桶极限速度考虑圆桶极限速度713.86（英尺（英尺/秒）秒）40（英尺（英尺/秒）秒）原问题得到处理了吗原问题得到处理了吗?第27页极限速度极限速度与圆桶与圆桶承受速度承受速度相差巨大！相差巨大！结论：结论：处理问题方向是正确处理问题方向是正确.处理思绪：处理思绪：避开求避开求t0难点难点 令令 v(t)=v(y(t),其中其中 y=y(t)是圆桶下沉深度是圆桶下沉深度.代入（代入（1）得）得第28页两边积分得函数方程：两边积分得函数方程：若能求出函数若能求出函数v=v(y),就可求出碰撞速度就可求出碰撞速度v(300).(.(试一试试一试)第29页*用用数值方法数值方法求出求出v(300)近似值为近似值为 v(300)45.41(英尺英尺/秒秒)40(英尺英尺/秒秒)*分析分析 v=v(y)是一个单调上升函数，而是一个单调上升函数，而v 增大增大,y 也增大也增大,可求出函数可求出函数 y=y(v)令令 v=40(英尺英尺/秒秒)，g=32.2(英尺英尺/秒秒),),算出算出y=238.4(英尺英尺)300(英尺英尺)第30页问题实际解答：问题实际解答：美国原子能委员会处理放射性废物做法美国原子能委员会处理放射性废物做法是极其危险，是极其危险，必须改变必须改变.第31页四、数学建模教与学四、数学建模教与学 创建一个数学模型全过程称为数学建创建一个数学模型全过程称为数学建模，即利用数学语言、方法去近似地刻画模，即利用数学语言、方法去近似地刻画该实际问题，并加以处理全过该实际问题，并加以处理全过程。程。数学模型是对于现实世界一个数学模型是对于现实世界一个特定对特定对象象，为了一个，为了一个特定目标特定目标，依据特有内在规，依据特有内在规律律,做出必要做出必要简化假设简化假设，利用适当数学工，利用适当数学工具建立一个具建立一个数学结构数学结构.第32页1.数学建模极富数学建模极富创造性创造性；2.数学建模含有很强数学建模含有很强综合性；综合性；3.数学建模含有很强数学建模含有很强实践性实践性；不是数学知识简单应用：不是数学知识简单应用：需要全方面综合素质及能力。需要全方面综合素质及能力。第33页 1.科学地识别和剖析问题；科学地识别和剖析问题；2.建立数学模型；建立数学模型；3.对研究中所选择模型求解数学问题；对研究中所选择模型求解数学问题；4.对相关计算提出算法和设计计算机程序；对相关计算提出算法和设计计算机程序；5.解释原问题结论并评判这些结论。解释原问题结论并评判这些结论。建立数学模型是关键而主要一步建立数学模型是关键而主要一步.数学建模是所包括到纯数学和其它学科相数学建模是所包括到纯数学和其它学科相互作用一个过程互作用一个过程.可概括为五个阶段：可概括为五个阶段：第34页学习困难：学习困难：(1)“学着用学着用”数学和数学和“学习学习”数学根数学根本不一样在于明白在何处用数学，怎样用本不一样在于明白在何处用数学，怎样用数学；数学；(2)掌握成功利用数学建立数学模型掌握成功利用数学建立数学模型所需技能与了解数学概念、证实定理、所需技能与了解数学概念、证实定理、求解方程所需技巧迥然不一样。求解方程所需技巧迥然不一样。提议：提议：去做！去实践！去做！去实践！学着用，干中学！学着用，干中学！第35页 课程特点课程特点：以介绍数学建模普通方以介绍数学建模普通方法为根本，着重训练利用数学知识建立数学法为根本，着重训练利用数学知识建立数学模型技能技巧，着重能力和相关素质培养。模型技能技巧，着重能力和相关素质培养。了解数学知识基础上，重点是数学方了解数学知识基础上，重点是数学方法掌握、数学思维建立。法掌握、数学思维建立。第36页教学目标教学目标 培养培养“翻译翻译”能力能力 培养用数学思想方法综合应用培养用数学思想方法综合应用分析能力分析能力 培养想象力培养想象力发展观察力，形成洞察力发展观察力，形成洞察力 培养交流与表示能力培养交流与表示能力 熟练使用技术伎俩熟练使用技术伎俩 科技论文写作能力科技论文写作能力 第37页努力不一定成功努力不一定成功放弃一定是失败放弃一定是失败第38页