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n向量及其运算方法n数组及其运算方法第三章 数学运算第1页1.向量及其运算 n在命令窗口中直接输入向量 n等差元素向量生成 n向量与数四则运算 n向量与向量之间加减运算n点积、叉积和混合积第2页（1）在命令窗口中直接输入向量n在MATLAB 7中，生成向量最简单方法就是在命令窗口中按一定格式直接输入。输入格式要求是，向量元素用“”括起来，元素之间用空格、逗号或者分号相隔。需要注意是，用它们相隔生成向量形式是不相同：用空格或逗号生成行向量；用分号生成列向量。n a2=15,21,27,93,101;n a1=15;21;27;93;101;n a1na1=n 15n 21n 27n 93n 101n a2na2=n 15 21 27 93 101n第3页（2）等差元素向量生成 n当向量元素过多，同时向量各元素有等差规律，此时采取直接输入法将过于繁琐。针对该种情况，能够使用冒号(:)和linspace函数来生成等差元素向量。n vec1=10:5:60nvec1=n 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60n vec2=linspace(10,60,11)nvec2=n 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60第4页(3)向量与数四则运算 n向量与数加法(减法)：向量中每个元素与数加法(减法)运算。n向量与数乘法(除法)：向量中每个元素与数乘法(除法)运算。n vec1=80:-9:10nvec1=n 80 71 62 53 44 35 26 17n vec1+101nans=n 181 172 163 154 145 136 127 118n第5页(4)向量与向量之间加减运算 n向量与向量加法(减法)运算：向量中每个元素与另一个向量中相对应元素加法(减法)运算。n vec1=linspace(200,500,7)n vec2=linspace(900,600,7)n vec3=vec1+vec2nvec3=n Columns 1 through 5 n 1100 1100 1100 1100 1100n Columns 6 through 7 n 1100 1100n第6页(5)点积、叉积和混合积 n两个向量点积等于其中一个向量模与另一个向量在这个向量方向上投影乘积（维数必须相同）。n叉积几何意义是指过两个相交向量交点，并与此两向量所在平面垂直向量(向量维数只能为3)。n向量混合积几何意义是它绝对值表示以向量为棱平行六面体体积 第7页点积、叉积运算举例n点积 运算n x1=11 22 33 44n x2=1,2,3,4n a=dot(x1,x2)na=n 330n sum(x1.*x2)nans=n 330nn叉积运算n x1=11 22 33nx1=n 11 22 33n x2=1 2 3nx2=n 1 2 3n x3=cross(x1,x2)nx3=n 0 0 0注意：叉积向量维数只能为3第8页第9页 2.矩阵及其运算（1）矩阵生成n矩阵生成有各种方式，通常使用有4种方法：n在命令窗口中直接输入矩阵n在M文件中建立矩阵n经过语句和函数产生矩阵n从外部数据文件中导入矩阵n matrix=1,1,1,1;2,2,2,2;3,3,3,3;4,4,4,4nmatrix=n 1 1 1 1n 2 2 2 2n 3 3 3 3n 4 4 4 4第10页 1直接输入法直接输入法最简单建立矩阵方法是从键盘直接输入矩阵元素。详细方法最简单建立矩阵方法是从键盘直接输入矩阵元素。详细方法以下：以下：将矩阵元素用方括号括起来，按矩阵行次序输入各元素，将矩阵元素用方括号括起来，按矩阵行次序输入各元素，同一行各元素之间用空格或逗号分隔，不一样行元素之间同一行各元素之间用空格或逗号分隔，不一样行元素之间用分号分隔用分号分隔。如：如：a=1,2,3;4,5,6;7,8,9第11页n结果是na=n 1 2 3n 4 5 6n 7 8 9n2利用M文件建立矩阵 对于比较大且比较复杂矩阵，可认为它专门建立一个M文件(是文本文件)。下面经过一个简单例子来说明怎样利用M文件创建矩阵。第12页 例例 利用利用M文件建立文件建立MYMAT矩阵。矩阵。(1)开启相关编辑程序或开启相关编辑程序或MATLAB文本编辑器，并输入待建矩文本编辑器，并输入待建矩阵：阵：MYMAT=101,102,103,104,105,106,107,108,109;201,202,203,204,205,206,207,208,209;301,302,303,304,305,306,307,308,309;(2)把输入内容存盘把输入内容存盘(设文件名为设文件名为mymatrix.m)。(3)在在MATLAB命令窗口中输入命令窗口中输入mymatrix，即运行该，即运行该M文件，文件，就会自动建立一个名为就会自动建立一个名为MYMAT矩阵，可供以后使用。矩阵，可供以后使用。第13页A=.16.0 3.0 2.0 13.0 5.0 10.0 11.0 8.0 9.0 6.0 7.0 12.0 4.0 15.0 14.0 1.0(2)(2)存为存为:mymatrix.m:mymatrix.m(3)(3)运行运行:mymatrix:mymatrix(1)MATLAB(1)MATLAB程序编辑器中输入程序编辑器中输入:第14页 3利用冒号表示式建立一个向量利用冒号表示式建立一个向量 冒号表示式能够产生一个行向量，普通格式是：冒号表示式能够产生一个行向量，普通格式是：e1:e2:e3 其中其中e1为初始值，为初始值，e2为步长，为步长，e3为终止值。为终止值。在在MATLAB中，还能够用中，还能够用linspace函数产生行向量。其调用函数产生行向量。其调用格式为：格式为：linspace(a,b,n)其中其中a和和b是生成向量第一个和最终一个元素，是生成向量第一个和最终一个元素，n是元素总数。是元素总数。显然，显然，linspace(a,b,n)与与a:(b-a)/(n-1):b等价。等价。第15页X=10:20X=0:0.1:0.5X=linspace(0,pi,11)或或X=linspace(0,1,11)*piX=linspace(0,pi),缺省情况为输入100个元素X=Columns 1 through 7 0 0.3142 0.6283 0.9425 1.2566 1.5708 1.8850 Columns 8 through 11 2.1991 2.5133 2.8274 3.1416第16页(1)编辑一个文本文件编辑一个文本文件:16.03.02.013.05.010.011.08.09.06.07.012.04.015.014.01.0(2)装入装入该文本文件：该文本文件：loadmymatrix.dat或者：或者：loadmymatrix.txt(3)创建一个变量名为创建一个变量名为mymatrix矩阵矩阵4、从外部数据文件中导入矩阵、从外部数据文件中导入矩阵将以文本或二进制格式存放数据读入将以文本或二进制格式存放数据读入MATLAB另一个方式另一个方式是用是用ImportWizard.FileImportData第17页第18页第19页（2）矩阵基本数值运算n矩阵与常数四则运算 n矩阵之间四则运算 n A=2 1-1;2 1 0;1-1 1nA=n 2 1 -1n 2 1 0n 1 -1 1n B=1-1 3;4 3 2；n X=B/AnX=n -2.0000 2.0000 1.0000n -2.6667 5.0000 -0.6667数学运算与此相同B*inv(A)第20页1.1.基本算术运算基本算术运算 MATLAB基基本本算算术术运运算算有有：(加加)、(减减)、*(乘乘)、/(右除右除)、(左除左除)、(乘方乘方)。注注意意:运运算算是是在在矩矩阵阵意意义义下下进进行行，单单个个数数据据算算术术运运算算只只是一个特例。是一个特例。A/B=A*inv(B)AB=inv(A)*B2.2.点运算点运算点点运运算算符符有有.*、./、.和和.。两两矩矩阵阵进进行行点点运运算算是是指指它们它们对应元素对应元素进行相关运算，要求进行相关运算，要求两矩阵维数相同两矩阵维数相同。3MATLABMATLAB惯用数学函数惯用数学函数（2）矩阵基本数值运算第21页（1）矩阵加、减（,）运算 相加、减两矩阵必须有相加、减两矩阵必须有相同行和列相同行和列，两矩，两矩阵对应元素相加减。阵对应元素相加减。允许参加运算两矩阵之一是标量。标量与允许参加运算两矩阵之一是标量。标量与矩阵全部元素分别进行加减操作。矩阵全部元素分别进行加减操作。（2）矩阵乘（）运算 A A矩阵列数必须等于矩阵列数必须等于B B矩阵行数矩阵行数 标量可与任何矩阵相乘。标量可与任何矩阵相乘。第22页（3）矩阵除（，/）运算 矩阵除运算在线性代数中没有，有矩阵逆运算，矩阵除运算在线性代数中没有，有矩阵逆运算，在在matlab中有两种矩阵除运算：中有两种矩阵除运算：(左除左除)：AB表示表示A左除左除B；/(右除右除)：A/B表示表示B右右除除A设设A是可可逆矩阵运算，逆矩阵运算，AX=B解是A左除左除B，即X=AB；XA=B解是A右除右除B，即X=B/A第23页A=1 2;3 4;5 6;B=5 6;7 8;9 10;C=AB D=A/B E=B A F=B/A对于对于AX=b线性方程组，有两种解法：一个是利用线性方程组，有两种解法：一个是利用矩阵求逆，即矩阵求逆，即X=inv(A)*b;另一个是用左除，即另一个是用左除，即X=Ab。除法速度快。除法速度快。第24页A=rand(5)b=ones(5,1)%生成生成5行全是行全是1列向量列向量 x1=inv(A)*b%inv（）矩阵求逆（）矩阵求逆 x2=Ab第25页比如，a=1,2,3;4,5,6;7,8,9;b=ones(3);a*bans=666151515242424a.*b（表示元素对应相乘）（表示元素对应相乘）ans=123456789第26页（4）矩阵乘方（）运算 ApA自乘自乘p次幂次幂 设设A为方阵，为方阵，p为正整数，则为正整数，则Ap表示表示A 自自乘乘p次；次；若若A为方阵且非奇异，为方阵且非奇异，p为正整数，为正整数，A(-p)表示表示A逆自乘逆自乘p次。次。对于对于p其它值其它值,计算将包括特征值和特征向量，计算将包括特征值和特征向量，如如A,p 都是矩阵，都是矩阵，A p 则无意义则无意义。第27页 a0.5 ans=0.4498+0.7623i0.5526+0.2068i0.6555-0.3487i1.0185+0.0842i1.2515+0.0228i1.4844-0.0385i1.5873-0.5940i1.9503-0.1611i2.3134+0.2717i第28页 A=1 2 3 4;4 5 6 7;4 5 6 7;8 9 10 11B=A10B=1.0e+013*0.7091 0.8608 1.0124 1.16411.4364 1.7436 2.0508 2.35811.4364 1.7436 2.0508 2.35812.4060 2.9207 3.4353 3.9500第29页（5）矩阵开方、指数、对数运算sqrtm（）-矩阵开方函数expm（）-矩阵指数函数logm（）-矩阵对数函数inv（）-矩阵逆运算函数第30页 矩阵特征参数运算第31页3.数组及其运算 n数组寻址和排序 n数组基本数值运算 n数组关系运算 n数组逻辑运算 第32页 数组形式和矩阵相同，也是由一组实数或复数组形式和矩阵相同，也是由一组实数或复数排成阵列。和矩阵不一样是，它不是按照线性数排成阵列。和矩阵不一样是，它不是按照线性代数规则进行，而是一个元素对元素运算，代数规则进行，而是一个元素对元素运算，也就是说不论什么运算，对数组个元素都是平等也就是说不论什么运算，对数组个元素都是平等进行。所以进行。所以MATLAB所提供运算符列表中，除所提供运算符列表中，除了加、减法运算符数组与矩阵相同以外，乘、除了加、减法运算符数组与矩阵相同以外，乘、除、幂运算都是经过在标准运算符前面加一个、幂运算都是经过在标准运算符前面加一个圆点圆点来尤其指明是数组运算。来尤其指明是数组运算。第33页（1）数组寻址和排序 n经过对数组下表访问来实现数组寻址 n A=rand(1,5)nA=n 0.9501 0.2311 0.6068 0.4860 0.8913nn A(4)nans=n 0.4860n A(2:3)nans=n 0.2311 0.6068第34页n使用sort函数对数组进行排序 n X=3 7 5n 0 4 2n sort(X,1)%1 表示第一维，即列方向nans=n 0 4 2n 3 7 5n sort(2)%对2向量排序nans=n 2nsort(x,2)%2 表示第二维，即行方向nans=n 3 5 7n 0 2 4注意：假如是复数，则按照元素模排序第35页（2）数组基本数值运算 n数组加法(减法)n数组乘法(除法)n数组乘方第36页 数组运算指元素对元素算术运算，与通常意义上由符号表示线性代数矩阵运算不一样1.数组加减(+,-)a+b a-b数组基本数值运算对应元素相加减（与矩阵加减等对应元素相加减（与矩阵加减等效）效）第37页数值运算举例n加减法n X=1 4 7;n Y=2 5 8;n Z=X-YnZ=n -1 -1 -1n V=X+YnV=n 3 9 15n第38页2.数组乘除(，./，.）ab a，b两数组必须有相同行 和列两数组对应元素相乘。a=1 2 3;4 5 6;7 8 9;b=2 4 6;1 3 5;7 9 10;a.*bans=2 8 18 4 15 30 49 72 90 第39页a=1 2 3;4 5 6;7 8 9;b=2 4 6;1 3 5;7 9 10;a*bans=25 37 46 55 85 109 85 133 172 第40页a./b=b.aa.b=b./aa./b=b.a 都是a元素被b对应元 素除a.b=b./a 都是b元素被a对应元 素除例:a=1 2 3;b=4 5 6;c1=a.b;c2=b./ac1=4.0000 2.5000 2.0000c2=4.0000 2.5000 2.0000 给出a,b对应元素间商.第41页3.数组乘方(.)元素对元素幂例:a=1 2 3;b=4 5 6;z=a.2z=1.00 4.00 9.00z=a.bz=1.00 32.00 729.00第42页例:x=1 4 7;y=2 5 8;z=x.yz=1 1024 5764801第43页例:x=3 6 9;z=x.3z=27 216 729例:x=4 5 6 7 8;z=3.xz=81 243 729 2187 6561第44页（3）数组关系运算 n两个数通常能够用6种关系来进行描述：小于()、小于等于()、大于等于(=)、等于(=)和不等于(=)n比较两个元素大小时，假如结果为1，则表明关系式为真；假如结果为0，则表明关系式为假。比如关系式4+3=6(数学语言表示4与3和小于等于6)，经过上面叙述可知，此关系式结果为0，标明关系式为假。第45页 关系符号意义=小于小于或等于大于大于或等于等于不等于第46页B=1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0C=1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1A=0.9501 0.7621 0.6154 0.4057 0.0579 0.2311 0.4565 0.7919 0.9355 0.3529 0.6068 0.0185 0.9218 0.9169 0.8132 0.4860 0.8214 0.7382 0.4103 0.0099 0.8913 0.4447 0.1763 0.8936 0.1389A=rand(5)B=A0.5 C=A=0.5第47页 例例:产产 生生 5阶阶 随随 机机 方方 阵阵 A，其其 元元 素素 为为10,90区区间间随随机机整整数数，然然后后判判断断A元元素素是否能被是否能被3整除。整除。(1)生成生成5阶随机方阵阶随机方阵AA=fix(90-10+1)*rand(5)+10)(2)判断判断A元素是否能够被元素是否能够被3整除整除P=rem(A,3)=0第48页（4）数组逻辑运算 n在各种逻辑运算中，有3种逻辑运算：与(&)、或(|)和非()。“&”和“|”操作符号能够比较两个标量或者两个通解数组(或矩阵)；对于逻辑非“”是一个一元操作符。不过对于数组(矩阵)，逻辑运算是针对于数组(矩阵)中每一个元素。一样，当逻辑为真时，返回值为1；当逻辑为假时，返回值为0。n在MATLAB 7中，逻辑运算通常能够用来生成只含有元素0和1矩阵。第49页x=linspace(0,10,100);%产生数据y=sin(x);%产生sin函数z=(y=0).*y;%将sin(x)负值设为0z=z+0.5*(y0);z=(x8).*z%将大于x=8以后值设为0plot(x,z);xlabel(x),ylabel(z=f(x)title(A discontinuous signal)第50页
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