曲线拟合的最小二乘法省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

3.1 3.1 问题提出问题提出函数解析式未知函数解析式未知,经过试验观察得到一组数据经过试验观察得到一组数据,即在即在某个区间某个区间a,b上给出一系列点函数值上给出一系列点函数值 yi=f(xi)xx1x2xmyy1y2ym第三章第三章 曲线拟合最小二乘法曲线拟合最小二乘法第1页 3.23.2.曲线拟合最小二乘法曲线拟合最小二乘法n数据含有误差。数据含有误差。节点上函数值是由试验或观察得到数据，节点上函数值是由试验或观察得到数据，不可防止地带有测量误差，假如要求所得近似函数曲线不可防止地带有测量误差，假如要求所得近似函数曲线准确无误地经过全部点准确无误地经过全部点(x xi i,y,yi i),),就会使曲线保留着一切测就会使曲线保留着一切测试误差。当个别数据误差较大时试误差。当个别数据误差较大时,插值效果显然是不理想。插值效果显然是不理想。n数据量很大。数据量很大。由试验或观察提供数据个数往往很多由试验或观察提供数据个数往往很多,假假如用插值法如用插值法,势必得到次数较高插值多项式，这么是不可势必得到次数较高插值多项式，这么是不可行。行。第2页为此为此,我们希望从给定数据我们希望从给定数据(x xi i,y,yi i)出发出发,结构一个近结构一个近似函数似函数 ,不要求函数不要求函数 完全经过全部数据点，完全经过全部数据点，只要求所得近似曲线能反应数据基本趋势，如图只要求所得近似曲线能反应数据基本趋势，如图3.13.1所表示。所表示。图图3.13.1曲线拟合示意图曲线拟合示意图 曲线拟合曲线拟合:求一条曲线求一条曲线,使数据点均在离此曲线上方或使数据点均在离此曲线上方或下方不远处下方不远处,所求曲线称为拟合曲线所求曲线称为拟合曲线,它既能反应数据它既能反应数据总体分布总体分布,又不至于出现局部较大波动又不至于出现局部较大波动,更能反应被迫更能反应被迫近函数特征近函数特征,使求得迫近函数与已知函数从总体上来说使求得迫近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方法度量到达最小。其偏差按某种方法度量到达最小。第3页 与与函函数数插插值值问问题题不不一一样样,曲曲线线拟拟合合不不要要求求曲曲线线经经过过全全部部已已知知点点,而而是是要要求求得得到到近近似似函函数数能能反反应应数数据据基基本本关关系系。在某种意义上在某种意义上,曲线拟合更有实用价值曲线拟合更有实用价值。第4页 函数插值是插值函数函数插值是插值函数P(x)P(x)与被插函数与被插函数f(x)f(x)在节点在节点处函数值相同处函数值相同,即即 而曲线而曲线拟合函数拟合函数 不要求严格地经过全部数据点不要求严格地经过全部数据点 ,也也就是说拟合函数就是说拟合函数 在在x xi i处偏差处偏差(亦称残差）亦称残差）不都严格地等于零。不过不都严格地等于零。不过,为了使近似曲线能尽可能反为了使近似曲线能尽可能反映所给数据点改变趋势映所给数据点改变趋势,要求要求 按某种度量标准按某种度量标准最小。若记向量最小。若记向量 ,即要求向量即要求向量 某种范数某种范数 最小最小,如如 1-范数范数 或或-范数范数即即 第5页或或 最小。最小。为了便于计算、分析与应用，通常要求为了便于计算、分析与应用，通常要求 2-2-范数范数 即即 为最小。这种要求误差（偏差）平方和最小拟为最小。这种要求误差（偏差）平方和最小拟合称为曲线拟合最小二乘法。合称为曲线拟合最小二乘法。第6页普通曲线拟合 最小二乘法求法第7页第8页第9页例例1 1 设有某试验数据以下：设有某试验数据以下：1 2 3 4 1 2 3 4 1.36 1.37 1.95 2.28 1.36 1.37 1.95 2.28 14.094 16.844 18.475 20.963 14.094 16.844 18.475 20.963 用最小二乘法求以上数据拟合函数用最小二乘法求以上数据拟合函数.解解:把表中所给数据画在坐标纸上把表中所给数据画在坐标纸上,将会看到数据点分将会看到数据点分布能够用一条直线来近似地描述布能够用一条直线来近似地描述,故设拟合直线为故设拟合直线为 记x1=1.36,x2=1.37,x3=1.95 x4=2.28,y1=14.094,y2=16.844,y3=18.475,y4=20.963则正规方程组为则正规方程组为 第10页其中其中 将以上数据代入上式正规方程组将以上数据代入上式正规方程组,得得解得解得 即得拟合直线即得拟合直线 第11页例例2 2 设某试验数据以下：设某试验数据以下：1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 5 2 1 1 2 3 5 2 1 1 2 3用最小二乘法求一个多项式拟合这组数据用最小二乘法求一个多项式拟合这组数据.第12页解：将已给数据点描在坐标系中，能够解：将已给数据点描在坐标系中，能够看出这些点看出这些点 靠近一条抛物线，所以设所求多项式为靠近一条抛物线，所以设所求多项式为 由法方程组由法方程组,经计算得经计算得 m=6,其法方程组为其法方程组为 解之得解之得 所求多项式为所求多项式为 第13页（4 4）可化为线性拟合非线性拟合）可化为线性拟合非线性拟合n对于一个实际曲线拟合问题，普通先按观察值在直角对于一个实际曲线拟合问题，普通先按观察值在直角坐标平面上坐标平面上描出散点图描出散点图，看一看散点分布同哪类曲线，看一看散点分布同哪类曲线图形靠近，然后图形靠近，然后选取适当拟合函数选取适当拟合函数。n非线性拟合函数能够经过非线性拟合函数能够经过变量替换变量替换转化为线性拟合问转化为线性拟合问题题，按线性拟合解出后，按线性拟合解出后再还原再还原为原变量所表示曲线拟为原变量所表示曲线拟合方程。合方程。表表3-4列举了几类经适当变换后化为线性拟合求解列举了几类经适当变换后化为线性拟合求解曲线拟合方程及变换关系曲线拟合方程及变换关系 第14页表表3-43-4 曲线拟合方程曲线拟合方程 变换关系变换关系 变换后线性拟合方程变换后线性拟合方程第15页几个常见数据拟合情况。几个常见数据拟合情况。图图(a)数据靠近于直线，故宜采取线性函数拟合；数据靠近于直线，故宜采取线性函数拟合；图图(b)b)数据分布靠近于抛物线可采数据分布靠近于抛物线可采拟合拟合二次多项式二次多项式拟合；拟合；(a)a)(b)b)第16页图图(c)c)：开始曲线上升较快随即逐步变慢开始曲线上升较快随即逐步变慢,宜采取双曲线型宜采取双曲线型函数函数 或指数型函数或指数型函数 图图(d)d)：开始曲线下降快：开始曲线下降快,随即逐步变慢随即逐步变慢,宜采取宜采取 或或 或或 等数据拟合。等数据拟合。(c)(d)第17页例例3 3 设某试验数据以下设某试验数据以下:1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 2.0 1.0 0.9 0.6 0.4 0.3 2.0 1.0 0.9 0.6 0.4 0.3用最小二乘法求拟合曲线。用最小二乘法求拟合曲线。解解:将已给数据点描在坐标系中下列图所表示将已给数据点描在坐标系中下列图所表示,能够看出这能够看出这些点靠近指数曲线些点靠近指数曲线,因而可取指数函数因而可取指数函数作为拟合函数作为拟合函数.对函数对函数两边取对数得两边取对数得.令令 就得到线性模型就得到线性模型 第18页则正规方程组为则正规方程组为 其中其中 将以上数据代入上式正规方程组，得将以上数据代入上式正规方程组，得解得解得 由由 得得第19页由由 得得于是得到拟合指数函数为于是得到拟合指数函数为 第20页小结小结 插值法和曲线拟合最小二乘法都是实用性很强方法。插值法和曲线拟合最小二乘法都是实用性很强方法。它们处理实际问题即使各式各样，但抽象为数学问题却它们处理实际问题即使各式各样，但抽象为数学问题却有它共性，即利用已知数据去寻求某个较为简单函数有它共性，即利用已知数据去寻求某个较为简单函数P(x)P(x)来迫近来迫近f(x)f(x)。插值法和曲线拟合最小二乘法分别给插值法和曲线拟合最小二乘法分别给出了寻求这种近似函数两类不一样标准，以及结构近似出了寻求这种近似函数两类不一样标准，以及结构近似函数几个详细方法。其中插值法要求近似函数在已知数函数几个详细方法。其中插值法要求近似函数在已知数据点必须与据点必须与f(x)f(x)完全一致，曲线拟正当不要求点点一致完全一致，曲线拟正当不要求点点一致而只须满足一定整体迫近条件。而只须满足一定整体迫近条件。第21页n插值法中拉格朗日插值多项式是研究数值微积分与插值法中拉格朗日插值多项式是研究数值微积分与微分方程数值解主要工具。微分方程数值解主要工具。n牛顿插值多项式是拉格朗日插值多项式变形，含有牛顿插值多项式是拉格朗日插值多项式变形，含有承袭性，比拉格朗日插值多项式节约计算量。承袭性，比拉格朗日插值多项式节约计算量。n分段低次多项式插值因为含有良好稳定性与收敛性，分段低次多项式插值因为含有良好稳定性与收敛性，且算法简单，便于应用。尤其是应用广泛三次样条且算法简单，便于应用。尤其是应用广泛三次样条插值，不但有很好稳定性和收敛性，而且含有很好插值，不但有很好稳定性和收敛性，而且含有很好光滑性，从而满足了许多实际问题要求。需对样条光滑性，从而满足了许多实际问题要求。需对样条函数作深入了解读者可参阅相关文件函数作深入了解读者可参阅相关文件 第22页n曲线拟合最小二乘法是处理试验数据惯用方法。本章主曲线拟合最小二乘法是处理试验数据惯用方法。本章主要介绍了最小二乘法基本原理和线性最小二乘问题求解方要介绍了最小二乘法基本原理和线性最小二乘问题求解方法。法。n多项式拟合是线性最小二乘拟合问题一个特殊情况多项式拟合是线性最小二乘拟合问题一个特殊情况,其特其特点是拟合多项式形式简单点是拟合多项式形式简单,但当但当n较大时较大时,法方程组往往是病法方程组往往是病态。用正交多项式进行曲线拟合，防止了法方程组病态所态。用正交多项式进行曲线拟合，防止了法方程组病态所造成麻烦。造成麻烦。n关于非线性最小二乘曲线拟合问题关于非线性最小二乘曲线拟合问题,普通求解比较困难普通求解比较困难,但对一些特殊情形但对一些特殊情形,能够转换为线性最小二乘拟合问题。能够转换为线性最小二乘拟合问题。第23页作业作业作业作业P89习题三：习题三：习题三：习题三：1 1第24页Thank you very much!第25页