高等代数考研复习二次型省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

高等代数考研复习高等代数考研复习 二次型二次型 8月 第1页 第四章 二次型二次型理论背景是解析几何中化二次曲线和二次型理论背景是解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准形问题二次曲面方程为标准形问题.本章主要问题有两个：本章主要问题有两个：1)1)二次型矩阵和二次二次型矩阵和二次型标准型型标准型 2)2)正定二次型正定二次型二次型与矩阵、行列式、以及线性方程组有二次型与矩阵、行列式、以及线性方程组有紧密联络，能够看到他们是处理二次型问题紧密联络，能够看到他们是处理二次型问题工具工具.第2页1.1.二次型矩阵与二次型标准型二次型矩阵与二次型标准型 1.1 1.1 二次型及其矩阵二次型及其矩阵 1)定义：设定义：设P P是数域是数域,系数在数域系数在数域P P上关于上关于二次齐次多项式二次齐次多项式称为数域称为数域P P上一个上一个n n元二次型元二次型.2)2)二次型矩阵表示：二次型矩阵表示：令第3页利用积和式积和式可将二次型化为矩阵形式其中，矩阵 满足 称它为二次型矩阵.积和式为：积和式为：它在代数式与矩阵互化中起着主要作用！它在代数式与矩阵互化中起着主要作用！第4页注意：假如注意：假如 不过不过 那么那么A A不是二次型矩阵不是二次型矩阵.f.f矩阵为矩阵为1.2 1.2 线性替换及矩阵协议线性替换及矩阵协议 1)1)线性替换：设线性替换：设令令 称为由称为由 到到 线性替换线性替换.当当 时，称为非退化线性替换；当时，称为非退化线性替换；当C C是正交矩阵时是正交矩阵时称为正交替换称为正交替换.结论：非退化线性替换将二次型变为二次型结论：非退化线性替换将二次型变为二次型.第5页 2)2)矩阵协议：设矩阵协议：设A A、B B为为n n阶矩阵，假如存在可逆矩阵阶矩阵，假如存在可逆矩阵C C使得使得 则称矩阵则称矩阵A A与协议与协议.协议是一个等价关系，它含有三性协议是一个等价关系，它含有三性.协议性质：协议矩阵有相同秩；协议性质：协议矩阵有相同秩；协议矩阵行列式同号协议矩阵行列式同号.结论：二次型经过非退化线性替换得到新二次型矩阵结论：二次型经过非退化线性替换得到新二次型矩阵与原二次型矩阵是协议与原二次型矩阵是协议.1.3 1.3 二次型标准型与规范形二次型标准型与规范形 1)1)二次型标准型定义：只含有平方项二次型二次型标准型定义：只含有平方项二次型 称为标准型称为标准型.其中其中第6页 中非零个数即为二次型秩中非零个数即为二次型秩.定理：数域定理：数域P P上任意二次型都可经过非退化线性上任意二次型都可经过非退化线性替换化为标准形替换化为标准形.换一个说法：数域换一个说法：数域P P上任意一个对称矩阵都协议于一个上任意一个对称矩阵都协议于一个对称矩阵对称矩阵.注意：注意：二次型标准型普通不唯一！二次型标准型普通不唯一！第7页2)2)二次型规范形：复数域与实数域上二次型标准型称为二次型规范形：复数域与实数域上二次型标准型称为规范形规范形.a)a)复数域上二次型规范形：复数域上任意一个二次型复数域上二次型规范形：复数域上任意一个二次型都可经过非退化替换化为规范形都可经过非退化替换化为规范形 其中其中 且规范形唯一且规范形唯一.换为矩阵说法：复数域上任意一个换为矩阵说法：复数域上任意一个n n阶对称矩阵阶对称矩阵A A都协议都协议于唯一于唯一n n阶对角矩阵阶对角矩阵复数域上两个对称矩阵协议充分必要条件是这两个矩阵复数域上两个对称矩阵协议充分必要条件是这两个矩阵秩相等秩相等.第8页b)b)实数域上二次型规范形实数域上二次型规范形(惯性定理惯性定理)：实数域上任意实数域上任意一个二次型都可经过非退化替换化为规范形一个二次型都可经过非退化替换化为规范形 其中其中 ，正平方个数，正平方个数p p称为二次型称为二次型f f正惯性指数，负平方项个数正惯性指数，负平方项个数称为称为f f负惯性指数，负惯性指数，称为符合差，且称为符合差，且p p、q q有二次型唯一确定有二次型唯一确定.用矩阵语言描述为：实数域上任意一个对称矩阵用矩阵语言描述为：实数域上任意一个对称矩阵A A都合都合同于唯一同于唯一n n阶对角矩阵阶对角矩阵第9页注意注意：实数域上两个对称矩阵协议充分必要条：实数域上两个对称矩阵协议充分必要条件是这两个矩阵有相同秩与正惯性指数件是这两个矩阵有相同秩与正惯性指数.第10页1.4 1.4 化二次型为标准型方法化二次型为标准型方法 a)a)配方法；配方法；b)b)初等变换法；初等变换法；设设 是对称矩阵，故存在可逆矩阵是对称矩阵，故存在可逆矩阵 使使由由 可逆知，存在初等矩阵可逆知，存在初等矩阵 使得使得 于是于是第11页这么这么，将二次型将二次型 化为标准形化为标准形时所用线性变换时所用线性变换中系数矩阵中系数矩阵 满足满足 且且由此可见，对由此可见，对 列和行施以相同初等列变换和行列和行施以相同初等列变换和行变换，当二次型矩阵变换，当二次型矩阵 化为对角矩阵化为对角矩阵 时，时，第12页单位矩阵单位矩阵 就成了对应可逆线性变换矩阵就成了对应可逆线性变换矩阵 了，即了，即第13页c)c)正交变换法正交变换法.正交变换法步骤：正交变换法步骤：(1)(1)先求出矩阵先求出矩阵A A特征值、特征向量，其中特征值特征值、特征向量，其中特征值就是标准型中系数就是标准型中系数.(2)(2)将将A A属于同一特征值特征向量单位化正交化，属于同一特征值特征向量单位化正交化，然后将它们作为列向量做成矩阵然后将它们作为列向量做成矩阵T T，即为正交矩阵，即为正交矩阵，此时有此时有第14页题型分析题型分析:(1):(1)化二次型为标准型；化二次型为标准型；(2)(2)矩阵协议应用；矩阵协议应用；(3)(3)惯性定理应用惯性定理应用.第15页例例1 1 用配方法化二次型为标准形用配方法化二次型为标准形 (1)(1)(2)(2)例例2 2 将将 化为标准型化为标准型.例例3 3 用正交变换化二次型为标准形用正交变换化二次型为标准形方法：对二次型方法：对二次型 做正交替换做正交替换 其中其中T T为为正交矩阵，得标准型正交矩阵，得标准型 第16页这里这里 是矩阵是矩阵A A特征值特征值.例例4 4 已知已知 经过正交经过正交变换化为变换化为 求求a a及所做正交变换及所做正交变换.例例5 5 已知已知 秩为秩为2 2，(1)(1)求求a(2)a(2)用正交变换将用正交变换将f f化为标准型化为标准型 (3)(3)求方程求方程 解解.第17页例例6 6 设实二次型设实二次型 (1)(1)写出写出f f矩阵矩阵.(2)(2)证实：证实：f f秩等于矩阵秩等于矩阵 秩秩.例例7 7 证实：证实：是一个二次型，是一个二次型，并求它矩阵并求它矩阵.第18页(2)(2)矩阵协议应用矩阵协议应用 例例1 1 证实：秩等于证实：秩等于r r对称矩阵能够表示成对称矩阵能够表示成r r个秩个秩等于等于1 1对称矩阵之和对称矩阵之和.例例2 2 设设 A A是是n n阶是对称矩阵，阶是对称矩阵，A A 特征特征值是值是 ，求，求B B特征值特征值.例例3 3 反对称矩阵性质反对称矩阵性质 (1)A (1)A是反对称矩阵充分必要条件是：对任是反对称矩阵充分必要条件是：对任意意n n维向量维向量X X都有都有 (2)A (2)A是反对称矩阵，则是反对称矩阵，则A A特征值只能为零特征值只能为零 第19页和纯虚数和纯虚数.(3)(3)奇数阶反对称矩阵一定不可逆奇数阶反对称矩阵一定不可逆.(4)(4)证实：任意反对称矩阵一定协议于矩阵证实：任意反对称矩阵一定协议于矩阵 第20页(3)(3)惯性定理应用惯性定理应用例例1 1 证实：一个实二次型能够分解为两个实系数证实：一个实二次型能够分解为两个实系数一次齐次多项式乘积充分必要条件是：它秩等于一次齐次多项式乘积充分必要条件是：它秩等于2 2和符号差等于和符号差等于0 0或秩等于或秩等于1.1.例例2 2 设设A A为一个为一个n n阶实对称矩阵，且阶实对称矩阵，且 证实：证实：存在实存在实n n维列向量维列向量 使得使得例例3 3 设设 是一个实二次型，若存是一个实二次型，若存在在n n维向量维向量 使得使得证实：证实：第21页例例4 4 设设A A是是n n阶是对称矩阵，证实：存在一个正阶是对称矩阵，证实：存在一个正实数实数C C，使得对任意一个，使得对任意一个n n维实列向量维实列向量X X，都有，都有例例5 5 设设n n元实二次型元实二次型 证实证实f f在条在条件件 下最大值恰为下最大值恰为A A最大特征值，最大特征值，并求出取得最大值时并求出取得最大值时第22页2.2.正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵 2.12.1相关定义：设相关定义：设 是是n n元实二次型，元实二次型，假如对任意一组不全为零实数假如对任意一组不全为零实数 都有都有 则称则称f f为正定二次型，对应矩阵为正定二次型，对应矩阵称为正定矩阵称为正定矩阵.二次型二次型 正定充分必要条件是：矩正定充分必要条件是：矩阵阵 正定正定.一样能够定义半正定二次型；负定二次型；半负定一样能够定义半正定二次型；负定二次型；半负定二次型以及不定二次型二次型以及不定二次型.第23页 2.2 2.2 正定二次型与正定矩阵判定：正定二次型与正定矩阵判定：设设n n元实二次型元实二次型 其中其中 ,则以下条则以下条件等价：件等价：a)f a)f是正定二次型是正定二次型(A(A是正定矩阵是正定矩阵););b)b)对任意对任意 ,都有都有 c)f c)f正惯性指数等于正惯性指数等于n;n;d)A d)A协议于单位矩阵协议于单位矩阵E;E;即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵C C使得使得 e)A e)A全部次序主子式都大于零全部次序主子式都大于零;f)A f)A全部主子式都大于零全部主子式都大于零;正定阵主对角元大于零正定阵主对角元大于零.g)A g)A特征值都大于零特征值都大于零;第24页 2.3 2.3 半正定二次型半正定二次型(半正定矩阵半正定矩阵)判定：判定：以下条件等价以下条件等价 a)f a)f是半正定二次型是半正定二次型;b)b)对任意一组不全为零实数对任意一组不全为零实数 c)f c)f正惯性指数等于正惯性指数等于A A秩秩;d)A d)A协议于协议于 e)A e)A全部主子式都大于零全部主子式都大于零;f)A f)A特征值都大于零特征值都大于零;e)e)存在实矩阵存在实矩阵P,P,使得使得 第25页 正定矩阵性质：正定矩阵性质：(1)(1)正定矩阵主对角线上元素全部大于正定矩阵主对角线上元素全部大于0 0，正定，正定矩阵行列式大于零矩阵行列式大于零.(2)A(2)A正定，则正定，则 也正定也正定.(3)(3)则则 也正定也正定.(4)(4)若若 正定，且正定，且 则则 正定正定.(5)(5)设设A A为为 矩阵，若矩阵，若 那么那么是正定是正定.尤其，当尤其，当A A可逆时，可逆时，是正定是正定.第26页当当 那么那么 是半正定是半正定.题型分析：题型分析：(1)(1)二次型正定性判别二次型正定性判别例例1 1 判别二次型正定性判别二次型正定性 a)b)a)b)例例2 2 设设 当当 满足什么条件，满足什么条件，f f是正定是正定.例例3 3 设设A,BA,B分别是分别是m,nm,n阶正定矩阵，试判别矩阵阶正定矩阵，试判别矩阵第27页 正定性正定性.例例4 4 设设A A为为m m阶正定矩阵，阶正定矩阵，B B为为 实矩阵，证实：实矩阵，证实：正定充分必要条件为正定充分必要条件为B B是列满秩是列满秩.题型题型 (2)(2)二次型（矩阵）正定性质应用二次型（矩阵）正定性质应用主要应用结论：主要应用结论：A A为实对称矩阵，则存在正交阵为实对称矩阵，则存在正交阵T T使得使得 第28页例例1 1设设A,BA,B是是n n阶实对称矩阵，且阶实对称矩阵，且A A正定，证实：存正定，证实：存在一个实可逆矩阵在一个实可逆矩阵T T，使得，使得 同时为对角同时为对角矩阵矩阵.例例2 2 设设A A是是n n阶正定矩阵，证实：阶正定矩阵，证实：例例3 3 设设A,BA,B都是都是n n阶正定矩阵，证实：阶正定矩阵，证实：例例4 4 设设A,BA,B都正定，证实：都正定，证实：1)1)方程方程 根根都大于零都大于零.2).2)方程方程 全部根等于全部根等于1 1充分充分必要条件是必要条件是A=BA=B.第29页例例6 6 若若B B是正定矩阵，是正定矩阵，A-BA-B半正定，证实：半正定，证实：1)1)全部根都大于等于全部根都大于等于1.1.2)2)题型题型(3)(3)与对称矩阵特征值范围相关问题与对称矩阵特征值范围相关问题例例1 1 设设A A是实对称矩阵，证实：是实对称矩阵，证实：t t充分大时，充分大时，tE+AtE+A正定正定.例例2 2 证实：实对称矩阵证实：实对称矩阵A A特征值均在闭区间特征值均在闭区间 上，则对称矩阵上，则对称矩阵A-tEA-tE当当tbtb时负定；当时负定；当tata 第30页时正定时正定.例例3 3 设实对称矩阵设实对称矩阵A A特征值全大于特征值全大于a a，实对称矩，实对称矩阵阵B B特征值全大于特征值全大于b b，证实：，证实：A+BA+B特征值全大于特征值全大于a+b.a+b.例例4 4 设设A A是是n n阶实矩阵，阶实矩阵，B B特征值为特征值为 证实：若证实：若 是是A A实特征值，则实特征值，则 第31页题型题型 (4)(4)综合题综合题例例1 1 证实：矩阵证实：矩阵A A是是n n阶正定矩阵充分必要条件阶正定矩阵充分必要条件是存在是存在n n阶正定矩阵阶正定矩阵B B使得使得例例2 2 设设A A为为n n阶实对称矩阵，若阶实对称矩阵，若A A是正定矩阵又是是正定矩阵又是正交矩阵，则正交矩阵，则A=E.A=E.例例3 3 证实：证实：1)1)假如假如A A为正定矩阵，那么为正定矩阵，那么 是负定二次型是负定二次型.2)2)假如假如A A是正定矩阵，那么是正定矩阵，那么 是是A A n-1n-1阶次序主子式阶次序主子式.第32页3)3)上式推广为上式推广为4)4)假如假如 是是n n阶实可逆矩阵，那么阶实可逆矩阵，那么第33页