二次根式经典总结.doc

一、知识点讲解：1二次根式：一般地，式子叫做二次根式.注意：（1）若这个条件不成立，则 不是二次根式；（2）是一个重要的非负数，即； 0.2重要公式：（1）,（2） ；注意使用.3积的算术平方根：，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求.4二次根式的乘法法则： .5二次根式比较大小的方法：（1）利用近似值比大小；（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；（3）分别平方，然后比大小.6商的算术平方根：，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.7二次根式的除法法则：（1）；（2）；（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式.8常用分母有理化因式： ， ，它们也叫互为有理化因式.9最简二次根式：（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式， 被开方数的因数是整数，因式是整式， 被开方数中不含能开的尽的因数或因式；（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母；（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.10二次根式化简题的几种类型：（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题.11同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.12二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.二、典型例题： 知识点一 二次根式的定义形如的式子，叫做二次根式（1）二次根式中，被开方数必须是非负数。即（2）二次根式是一个非负数，即； 0.例题 1.下列式子中，是二次根式的是（ ） A.- B. C. D.x2、下列各式中、，二次根式的个数是（ ）. A.4 B.3 C.2 D.1知识点二 二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数 即有意义例题 1（2010年无锡）使有意义的的取值范围是（2010，安徽芜湖）要使式子有意义，a的取值范围是（2010绵阳）要使有意义，则x应满足知识点三：三个具有非负性的知识点（1） （2） （3）例题：若，试求的值.若y=+2009，则x+y= 知识点四：最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式例题1：下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）A、 B、 C、 D、例题：在根式；中，最简二次根式有.知识点五：同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式 例题1：在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）A、与 B、与 C、与 D、与例题2：若最简二次根式与是同类项二次根式，则，.知识点六：二次根式的性质（1） （2） （3） 例题1：，求的值.例题2：若两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简=（ ） A、 B、 C、 D、知识点七；分母有理化及有理化因式（1）分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.（2）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式.例题：在化简时，甲、乙两人的解法如下：甲：乙：对于甲、乙两人的解法，正确的判断是（ ）A、甲、乙两人的解法都正确 B、甲正确，乙不正确C、甲、乙两人都不正确 D、甲不正确、乙正确变式题：小明与小红在化简时，两人解法如下：小明：小红：对于甲、乙两人的解法，正确的判断是（ ）A、小明、小红两人的解法都正确 B、小明正确，小红不正确C、小明、小红两人都不正确 D、小明不正确、小红正确知识点八：根号的外移与内移因式外移与内移：（1）被开方数中有的因式能够开得尽，那么就可以用它的算求平方根代替而移到根号外面.（2）被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面例题1：将根号外的移到根号内，得到的值是.例题2：把根号内的因式移到外面，得到的值是.知识点九：二次根式的运算(1)二次根式的加减：先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并(2)二次根式的乘法：二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即： (3)二次根式的除法：通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)把分母的根号化去，并将结果写成最简二次根式.即：， 例题1：已知，则的值等于.例题2：计算（1） （2）例题3：在实数范围内分解因式：（1）；（2）例题4：比较大小：（1） （2）例题5：的整数部分是，小数部分是.三、针对性训练：21.1 二次根式：1. 使式子有意义的条件是 。2. 当时，有意义。3. 若有意义，则的取值范围是 。4. 当时，是二次根式。5. 在实数范围内分解因式：。6. 若，则的取值范围是 。7. 已知，则的取值范围是 。8. 化简：的结果是 。9. 当时，。10. 把的根号外的因式移到根号内等于 。11. 使等式成立的条件是 。12. 若与互为相反数，则。13. 在式子中，二次根式有（ ）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个14. 下列各式一定是二次根式的是（ ）A. B. C. D. 15. 若，则等于（ ）A. B. C. D. 16. 若，则（ ）A. B. C. D. 17. 若，则化简后为（ ）A. B. C. D. 18. 能使等式成立的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 19. 计算：的值是（ ）A. 0 B. C. D. 或20. 下面的推导中开始出错的步骤是（ ）A. B. C. D. 21. 若，求的值。22. 当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。23. 去掉下列各根式内的分母： 24. 已知，求的值。25. 已知为实数，且，求的值。21.2 二次根式的乘除1. 当，时，。2. 若和都是最简二次根式，则。3. 计算：。4. 计算：。5. 长方形的宽为，面积为，则长方形的长约为 （精确到0.01）。6. 下列各式不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，化简二次根式的正确结果为（ ） A. B. C. D. 8. 对于所有实数，下列等式总能成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定10. 对于二次根式，以下说法中不正确的是（ ）A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数C. 它是最简二次根式 D. 它的最小值为311. 计算： 12. 化简： 13. 把根号外的因式移到根号内： 21.3二次根式的加减1. 下列根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面说法正确的是（ ） A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式 B. 与是同类二次根式 C. 与不是同类二次根式 D. 同类二次根式是根指数为2的根式3. 与不是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则化简的结果是（ ） A. B. C. 3 D. -36. 若，则的值等于（ ） A. 4 B. C. 2 D. 7. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 38. 下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在中，与是同类二次根式的是 。10.若最简二次根式与是同类二次根式，则。11. 一个三角形的三边长分别为，则它的周长是 cm。12. 若最简二次根式与是同类二次根式，则。13. 已知，则。14. 已知，则。15. 。16. 计算：. . . . 17. 计算及化简：. . (3) . 18. 已知：，求的值。19. 已知：，求的值。20. 已知：为实数，且，化简：。21. 已知的值。四、巩固练习A组一、选择题 1. (2009年湖北武汉)函数中自变量的取值范围是（ ）ABCD2. （2009年湖北荆门）若，则xy的值为（ ）A1 B1 C2 D3来源:学+科+网3. （2009年湖北黄石）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）A B C D来源:Zxxk.Com4. （2009年四川眉山）估算的值() A在1到2之间B在2到3之间C在3到4之间D在4到5之间5. （2009年湖南益阳）在电路中，已知一个电阻的阻值R和它消耗的电功率P.由电功率计算公式 可得它两端的电压U为 （ ） 6. （2009年新疆）若，则的值是（ ）A B C D二、填空题1.（2009年河南省）16的平方根是 .2.（2009年山西省）计算：= 3.（2009年辽宁铁岭）函数自变量的取值范围是 4.（2009年广西崇左）当时，化简的结果是 5.（2009年湖北襄樊）计算： 6(2009年上海市)分母有理化： 来源:学。科。网Z。X。X。K7（2009年黑龙江大兴安岭）计算： 8.（2009年广东佛山）（1）有这样一个问题：与下列哪些数相乘，结果是有理数？A B C D E问题的答案是（只需填字母）： ；（2）如果一个数与相乘的结果是有理数，则这个数的一般形式是什么（用代数式9.（2009年福建福州）请写出一个比小的整数 .10.（2009年湖南湘西自治州）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算如下：ab=，如32=那么124= 11（2009年浙江嘉兴）当时，代数式的值是三、解答题1.(2009年广东梅州)计算：2.（2009年湖南邵阳）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；（一）（二）（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化。来源:Z。xx。k.Com还可以用以下方法化简：（四）（1) 请用不同的方法化简。（2) 参照（三）式得_；参照（四）式得_.（2）化简：.3.（2009年山东威海）先化简，再求值：，其中4.（2009年辽宁朝阳）先化简，再求值：，其中来源:学*科*网Z*X*X*K5.（2009年湖南怀化）先化简，再求值：其中6.（2009年山东泰安）先化简、再求值：.B组1、求的整数部分2、设,则与s最接近的数是（ ）。 A 2000 B 2001 C 2002 D 20033、比较与的大小。4、已知，则a,b,c的大小关系如何？5、化简。6、已知，且a、b、c互不相等。求的值。7、已知实数x、y、z，满足x-y=8,xy+=-16,求的值。8、已知，求的值。9、已知,求的值。10、已知，求的值。