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固体中的应力波

李 清

中国矿业大学（北京）

参考书：

1 王礼立. 《应力波基础》第2版(2005年8月1日)，国防工业出版社
2 李玉龙. 《应力波基础简明教程》第1版 (2007年4月1日)，西北工业大学
3 丁启财(美国). 《固体中的非线性波》，中国友谊出版公司
4 宋守志. 《固体中的应力波》，煤炭工业出版社
5 杨善元. 《岩石爆破动力学基础》，煤炭工业出版社
6 莱茵哈特(杨善元译). 《固体中的应力瞬变》，煤炭工业出版社
7 徐小荷. 《冲击凿岩的理论基础与电算方法》，东工出版社
8 郭自强. 《固体中的波》，地震出版社

目 录

第0章 绪论 1
1 波动现象 1
2 应力波的概念 1
3 应力波分类 3
4 应力波理论与其它力学理论的关系 3
5 应力波理论的发展 3
6 应力波理论在岩土工程中的应用 3
第1章 一维应力波基础 4
§1.1波动方程及其解 4
1.1.1 一维纵波的波动方程 4
1.1.2 波的传播速度 4
1.1.3 波动方程的解 5
1.1.4 解的物理意义 6
§1.2 应力波的几个基本参量 7
§1.3 应力波的能量 7
§1.4 波的衰减 8
1.4.1 原因 8
1.4.2 度量 8
1.4.3 衰减率α的测定 9
§1.5 考虑杆的横向效应的波动方程 10
§1.6 杆中的扭转波与弯曲波 12
1.6.1 扭转波 12
1.6.2 弯曲波 13
第2章 二维和三维弹性波理论基础 14
§2.1 弹性体的运动微分方程 14
§2.2 弹性体的无旋波与等容波 15
2.2.1 无旋波(纵波、P波) 15
2.2.2 等容波(横波、S波) 16
§2.3 平面波的传播 17
2.3.1 平面纵波(V//c) 17
2.3.2 平面横波(V⊥c) 18
§2.4 薄板中的应力波 19
2.4.1 控制方程 19
2.4.2 纵波 20
2.4.3 横波 21
2.4.4 各种波速关系 21
§2.5 球面波 22
2.5.1 波动方程及其解 22
§2.6 柱面波 23
第3章 应力波的相互作用 24
§3.1 一维应力波在界面的反射和透射 24
3.1.1 应力波在不同介质界面的反射和透射 25
3.1.2应力波在变截面杆中的反射和透射 26

§3.2 两杆相撞的入射波 27
§3.3 传播图与状态图 29
3.3.1传播图 29
3.3.2 状态图 30
§3.4 弹性杆中波的传播（图解法举例） 32
3.4.1 冲锤撞击杆件应力波的传播 32
3.4.2 双圆柱活塞撞击钎杆应力波传播 33
§3.5 平面波的边界效应 36
3.5.1 平面波在界面上的垂直入射 36
3.5.2 平面波在界面上的倾斜入射 37
§3.6 应力波引起的破裂 39
3.6.1金属丝冲击波拉伸断裂 39
3.6.2 Hopkinson压杆与飞片 41
3.6.3 断裂准则 41
3.6.4 简单反射拉伸波引起的层裂或剥裂 42
3.6.5 物体形状对应力波引起破裂的影响 45
§3.7 冲击波基本问题 45
第4章 固体中的非线性波基础 48
§4.1 弹塑性加载波及其相互作用 48
4.1.1 强间断弹塑性波的迎面加载 48
4.1.2弱间断弹塑性波的迎面加载 50
§4.2 卸载波的控制方程和特征线 51
第5章 岩石动态力学性质与应力波的相互作用 53
§5.1 岩石动态本构关系与动态强度 53
§5.2 岩石动态力学参数测试 54
§5.3 本构关系对应力波传播的影响 54
§5.4 应变率相关的应力波理论 55
5.4.1 Voigt体 55
5.4.2 Maxwell体 55
第6章 应力波在岩土工程中的应用 55
§6.1 应力波在冲击凿岩中的应用 55
6.1.1 冲击凿岩的应力波的传递 55
6.1.2 凿岩机的凿入机理 55
6.1.3 入射波形对凿入效果的影响 56
6.1.4 冲击凿岩的破坏原理 56
§6.2 应力波在爆破工程中的应用 56
§6.3 应力波在土动力学中的应用 56
6.3.1绪论 56
6.3.2 土的动应力-应变关系及其描述 58
§6.4 应力波在地震工程学的应用 58
第7章 应力波测试分析技术简介 了解 60
§7.1 膨胀环测试技术 60
§7.2 Hopkinson杆测试技术 60
§7.3 Taylor圆柱测试技术 61
§7.4 高速冲击载荷的实验技术 61

第0章 绪论
1 波动现象
波动现象：水波、声波、电磁波、光波等。
波是一种扰动或状态在介质中的传播，波动是非常普遍存在的一种运动形式，一般可分为两大类：机械波和电磁波。这里所述的应力波属于机械波，是机械扰动在连续介质中的传播过程。机械波产生于可变形介质的强迫运动，通过质点在平衡位置附近的振动来传递能量。

2 应力波的概念
介质的某部分受力发生了一种状态的扰动，离开初始平衡位置，与相邻介质质点发生相对运动(变形)，并和周围介质产生压力差，这种压力差将导致周围介质质点投入运动，但由于介质质点具有惯性，而使某相邻质点运动滞后，外载荷在表面上的扰动就这样在介质中由近及远地传播出去而形成应力波。
应力波理论主要研究力、位移、速度等物理量在固体中传播的规律以及它们对固体的作用效应。
理论力学中，物理被认为是刚体(不变形)，遵循牛顿惯性定律∶F=ma
材料力学、弹性力学，研究物理变形，但不考虑变形而产生的物理运动，不考虑物理的惯性，遵循虎克定律∶
现实的物体，惯性和弹性兼而有之，当它受力时，既改变它的速度又改变它的形状。物理受力部位的质点，克服惯性，发生速度的变化，这种变化遵循惯性定律(牛顿定律)，速度的变化必然导致变形，变形阻碍速度变化；反过来说，物理受力部位，由于弹性的作用，必定会有变形，这种变形符合虎克定律，但在实现变形时，质点会出现变速运动，变速运又阻碍变形的发展。由此可见，物理内部同时存在着弹性和惯性，相互作用，导致物理中形变和速度的转移，这就是应力波。
应力波得以在连续介质中传播的基本条件是介质的可变形性和惯性。对于不可变形的刚体，局部的扰动（力或位移）可立即传到整个物体的每一部分。若介质没有惯性，则扰动的传递也是瞬时完成的，一切实际材料都具备这两个条件，所以一切实际材料都能传播应力波。
固体中的应力波的研究主要用于地震、爆作、高速撞击、爆破、超生波等应力波的发生和传播过程。
应力波波阵面∶介质中扰动的区域和扰动未波及的区域的界面。

分析波阵面的前后状态参量的变化关系，有两种类型。
间断波波阵面∶前后质点微团的状态参量有一个有限的差值。状态参量发生跃变，数学上叫强间断。
连续波波阵面∶前后质点微团的状态参量的差值为无限小。状态参量的分布是连续的，数学上叫弱间断。

强调一点∶间断波和连续波是相互转化。
弥散波：如介质的性质使得高应力水平增量波具有较低传播速度，波形在传播过程中会逐渐拉长、散开的连续波。
汇聚波：如介质的性质使得高应力水平增量波具有较高传播速度，那么处于后面的高波速的增量波不断追赶前面的较低波速的增量波，使得连续波波形逐渐缩短。
冲击波：一定条件下，后面具有高波幅的增量波赶上前面波幅的较低的增量波形成以统一波速传播的强间断波波阵面，连续波转化为冲击波。
间断波中除了冲击波之外，还有一种等熵的间断波，这就是弹性间断波，因为弹性变形是可逆的过程，弹性间断波只是在波形上与连续波不相同，二者在本质上没有区别。
最后介绍关于加载波与卸载波的概念。固体介质不但能承受压力，而且能承受拉力。对介质加压，使介质压密就是加载；对已经受压后的介质减压，使介质稀疏就是卸载。当波阵面通过一个介质微团时，其效果是使微团压密的就是加载波（压缩波）；其效果是使微团稀疏的就是卸载波（拉伸波）。加载波和卸载波的波形如图示。

3 应力波分类
(1) 按力的特征分∶拉伸、压缩波（稀疏波或纵波）；弯曲波、剪切波（横波）
(2) 按波阵面的形状分∶平面波、柱面波、球面波
(3) 按变形特征分∶无旋波（膨胀波）、等容波（畸变波）
(4) 按介质的物理特征分∶弹性波、塑性波、粘弹波、粘塑波
(5) 按介质的几何特性分∶一维波（杆波）、二维波（平面波）、三维波（空间波）
4 应力波理论与其它力学理论的关系
应力波理论是固体动力学的分支。但目前的固体动力学往往集中研究材料在高应变率下的动态力学性能，而把已知材料的动态力学性能、介质受到外部动载作用的规律研究让位于应力波理论。但二者是相互依赖而发展，一方面应力波理论的发展必须建立在对材料动态力学性能的了解之上；另一方面，材料的动态力学性能往往必须通过应力波的测试与分析才能得到。
应力波理论与其它力学理论的区别∶
(1)动力学研究载荷的早期效应（瞬时效应，着重研究质点的运动和变形等物理量随时间的变化过程以及在物理中的传递），静力学研究的是载荷的后期效应（只研究在力的作用下达到平衡之后的状态）；
(2)动力学研究载荷对介质的局部效应，静力学研究载荷对介质的整体效应；
(3)动力学研究的动载有明显的耦合效应，静力学研究的静载作用于固体的应力分布不随介质而变。
5 应力波理论的发展
线弹性波传播的数学理论早在上个世纪中叶由柯西(Cauchy)、泊松(Poisson)、斯托克斯(Stokes)等解决，可直到本世纪四十年代，由于电子技术的发展，人们才直观地在固体中“看到”波，应力波理论才开始在一些工程领域得到应用。与此同时，Donnell、Taylor等人在理论上又发展了塑性波理论。五十年代前后，考虑应变率效应的粘塑性波理论又得到了发展。应力波理论特别在地球物理勘探中的

“实时采集与数据处理”技术得到了迅速发展。
6 应力波理论在岩土工程中的应用
爆破工程、凿岩工程、桩基工程、岩石动态力学、土动力学、地震工程与抗震工程、地球化学勘探。

第1章 一维应力波基础

§1.1波动方程及其解
1.1.1 一维纵波的波动方程
如图1-1所示，在一等截面的一维杆中取一微段dx，截面面积为A。基本假设为杆的横截面在变形过程中保持平面，不考虑横向扩展效应，杆上只分布沿截面均匀分布的轴向应力，因而位移u、工程应变ε、质点速度v和应力σ都只是x和t的函数。

其左截面mn与右截面上的作用力F、分别为
，
1
微元体dx所受的惯性力为：
由牛顿定律，得微元体平衡方程

即
（1-1）
方程1-1是一维纵波的波动方程，c为纵波的波速。

1.1.2 波的传播速度
波动方程中的c为称为波速，（纵波波速）。根据能量守衡定律和冲量定理可以推导。

取一单位面积细长的杆，一端受到撞击，撞击后杆端的初速度为v0，受力为σ0。经过时间△t后，扰动扩展到长为l的区域，在此范围质点的运动速度均为v0，内力为σ0，则时间△t内有
外力作功

扰动区域的动能

扰动区域的位能

根据能量守衡定律有
（1）
根据冲量定理有
（2）
所以有

（3）
可见细长杆受撞击后，力与质点速度v0并非无关，而是成正比。
将（3）式代入（2）式，得到纵波的传播速度

同样可以弹性横波的波速

以上波速推导中，应用了线弹性本构关系，事实上只要，既应力是应变的单值函数，而与应变率无关，波动方程（1-1）就成立。

1.1.3 波动方程的解
方程（1-1）的解法有分离变量法（驻波法）、积分变换法及行波法等，其中行波法对求解波动方程最为有效。
令、，则、，故

（1）

（2）
将（1）和（2）式代入波动方程，得
（3）
对（3）式先对积分，得

对（3）式先对积分，得

于是有
u=f(x+ct)+g(x-ct) （1-2）
公式（1-2）是一维波动方程的通解。

1.1.4 解的物理意义

在某范围内（-l，l）的扰动，在△t时间之后，分为右行波和左行波。右行波的前后沿分别沿着直线和前进，而左行波的前后沿分别沿着直线和前进，经过△t时间之后，分解右行波和左行波的形状不随时间和位置的变化而变化，前进的速度均为。

§1.2 应力波的几个基本参量
右行波u=f(x-ct)：
（1）应变

（2）质点速度
2 （1-3）
（3）应力
（1-4）
（4）波阻率：表示单位质点速度所需要的应力
如v=10m/s，，
，（B25钎杆）
对于钢材
部分岩石的应力波参量如下表所示。
部分岩石的应力波参量
岩石
纵波速度m/s
岩石比重T/m3
波阻率(N/mm2)/(m/s)
砂岩
1400～4000
2.55
3～10
页岩
1400～3000
2.30
3～7
大理岩
3500～6000
2.65
9～16
石英岩
5000～5500
2.65
13～16.5
板岩
3500～5500
2.65
9～14.5
花岗岩
3000～5000
2.65
8～13
玄武岩
4500～6000
2.50
13～18
岩石的波阻率只有几到十几，远比钢材要低，表明岩石中产生单位质点速度所需要的应力比钢材中要低得多。

§1.3 应力波的能量
一维杆中位能（弹性能）
3
一维杆中动能

dx微段所具有的总能量为

应力波的总能量为
（1-5）
结论（1）波动过程中，对任一微段在任一时刻具有的动能和位能都相等，这是波动和振动的本质区别，一个作纯振动的系统，尽管总能量不变，但总存在着动能和位能的转换。
结论（2）任一微段所具有的总能量是应力或应变的函数，应力和应变是一种波动过程，因此能量也是一个波动过程，对任一微段来说，其能量是不守衡，沿着波传播的方向，该段波源获得能量，使其能量逐渐增大，又逐渐把自身能量传递给后面的介质，能量随着波动过程而有规律地传播，波动是能量传递的一种方式。

§1.4 波的衰减
1.4.1 原因
真实物质很少是理想的弹性体，而常常是弹塑性或粘弹性等。当波在粘弹性介质中传播时，因存在内摩擦，将产生能量的损耗；当波在热弹性体中传播时，在应力波通过时，固体一部分受压，另一部分发生膨胀，压缩部分温度升高，膨胀部分温度降低，这种温度梯度的出现，将在固体中引起热的传递，并伴随着不可逆过程的发生，使应力波因热耗散而发生衰减。
总之波的衰减来源于内摩擦和外摩擦的作用：内摩擦由材料的粘弹和热弹性决定；外摩擦决定于材料所处的工作环境。
1.4.2 度量
度量波的衰减程度通常采用衰减系数α、损耗因子Q-1。
（1）衰减率α 振幅衰减率、应力衰减率
（1-6）
表示应力波在单位长度上的振幅衰减。
， （1-7）

其中，σ0为在x=0处的应力波幅值；σ为在任一位置x处的应力波幅值，相当于前面的σmax。
（2）损耗因子Q-1 Q——品质因素
（1-8）
式中 △w——一次应力循环所损失的能量；
w——应变达到最大时所贮存的弹性能。
（3）能量衰减率

（1-9）
由此可见能量衰减率是振幅衰减率的两倍。
（4）损耗因子Q-1与衰减率α的关系
（1-10）
1.4.3 衰减率α的测定

，，，，
（1-11）
但在岩土工程中，品质因素Q或损耗因子Q-1的应用更为普及，大量科研表明损耗因子Q-1对岩石物理性质变化的反映比声速更明显和可靠。由于衰减系数α在很宽的频率范围内是线性函数，因而Q-1与频率无关，这时。
损耗因子的测试大多采用频谱振幅比法，该方法涉及到频谱分析技术，比较复杂。参考《应用声学》1987（4）或《地震研究》1983（4）等有关文献。

§1.5 考虑杆的横向效应的波动方程
前面讨论的一维应力纵波理论都假设杆的平截面在变形后仍保持平截面，并在平截面上只作用着均匀的轴向应力σx。这时实际忽略了杆中质点横向运动的惯性作用，即忽略了杆的横向收缩或膨胀，因而是一种近似理论，通常称为初等理论或工程理论。
由材料力学可知，广义虎克定律如下
，，
当一维杆受σx作用时，即σy=σz=0时
，，
即
，
，
单位体积的平均横向动能为

式中 rg——截面对x轴的转动半径，
上面在推导一维波动方程时，是从分析杆中微段的受力着手，在运动着的微元体上作用着一对静力平衡的力Aσ和一非静力平衡的力。非静力平衡的力与微元体的纵向惯性有关，其所作的功转化为微元体的纵向动能，单位时间所作的功等于纵向动能的增加率，即

整理后，微元杆端的运动方程为
（1-12）
一对静力平衡的力Aσ所作的功，在初等理论中全部转化为应变能。在计及横向运动的情况下，下可看作由两部分组成：一部分使微元体应变能增加，另一部分转变成了杆的横向动能。这样，就单位时间、单位体积而言，有

（1-13）
当横向动能相关的第二项可忽略时，上式可以作这样的理解：在考虑了横向惯性后，Hook定律应被上式所表示的新的应力—应变关系所代替。既然横向修正项与成正比，显然只有在载荷随时间有十分显著变化的情况下，这一修正才是必要。
将（1-13）式代入（1-12）式，并将代入，得
（1-14）
与（1-1）对照可知，等号右边的第二项代表横向惯性效应，有了这一项，杆中的弹性纵波将不再如初等理论中那样恒速传播，而是对不同频率f（或波长λ）的谐波将以不同的波速（相速）c传播。
取，式中k为波数，；c为相速度，代入式（1-14），得

化简得

令，（相对波速），则

当时，近似有

对于半径为R的圆柱杆，，得
（1-15）
式（1-15）是考虑横向惯性修正的Rayleigh近似解。
当时，可不考虑横向效应，对圆截面杆，有
，μ=0.29，

即

由式（1-15）可知，高频波（短波）的传播速度低，而低频波（长波）的传播速度较高。对于线弹性波来说，既然任意波形的波总可看作由不同频率的谐波分量迭加组成，而不同频率的谐波分量现在将各自按自己的相速传播，因此波形不能再保持原形而必定在传播过程中分散开来，即发生所谓波的弥散，又叫几何弥散，不同于非线性本构弥散和粘性弥散。

§1.6 杆中的扭转波与弯曲波
杆中的横波包括扭转波和弯曲波。
1.6.1 扭转波
杆中的扭转波波动方程的推导与纵波波动方程（1-1）完全类似，形式也相同。
（1-16）
ct为弹性扭转波波速，与无限介质中的剪切波波速相一致。

因为，μ=0～0.5，所以～，即纵波传播速度是扭转波或剪切波的1.4～1.7倍。钢材中的纵波速度为5100m/s，而剪切波为3220m/s。
需要指出的是：在圆截面杆中，不同频率的扭转波都以相同的相速，不发生弥散现象。

1.6.2 弯曲波
杆中的弯曲波波动方程为
（1-17）
弯曲波的波速是变化的，波形也是变化，是一种比较复杂的波。不作要求。

第2章 二维和三维弹性波理论基础
§2.1 弹性体的运动微分方程
仍采用线弹性假设和小位移假设，则弹性力学中的几何方程和物理方程都将不变。
几何方程
，，
，，
物理方程

其中，
将几何方程代入物理方程得出用位移表示应力分量的弹性方程

但是波动问题中微元体的惯性是不可忽略，因而静态平衡微分方程用运动方程代替，即在平衡微分方程中加上惯性项。同时在波动问题中，一般体积力是可以忽略，因而具有如下的运动微分方程（静力平衡方程→运动微分方程）。
（2-1a）
（2-1b）
（2-1c）
将上式应力分量用位移分量表示，即将（3）式代入式（2-1），得

式中，、是拉密首先用来表示物理弹性的的两个常数，因而称为拉密（梅）常数。。

§2.2 弹性体的无旋波与等容波
运动方程或波动方程（2-2）的通解是难以获得，现作如下处理。
（2-2a）
（2-2b）
（2-2c）
2.2.1 无旋波(纵波、P波)
将式（2-2）两边分别对x、y、z微分，然后相加，得
（2-3）
改写后，得

因方程（2-3）或（2-4）中仅含体积应变，而不含旋转扰动，因而称为无旋波或膨胀波，也就是通常所说的纵波或P波。
无旋波也可以通过位移势函数ψ满足、、来求得。

2.2.2 等容波(横波、S波)
将式（2-2b）对x微分减去式（2-2a）对y微分，得

令，有

在弹性体中的任意一点，是x方向的线段绕z轴的旋转角，而是y方向的线段绕z轴的旋转角，因而是两个旋转角的平均值，可以表示弹性体在该点的绕z轴的旋转量。

作相应处理后，得

因方程（2-5）只有旋转量，而没有体积应变e，故称为等容波，也就是通常所说的横波或S波。其中。
等容波也可以通过令=0代入式（2-2）来求得。

§2.3 平面波的传播
波前为平面的波称为平面波。当观察区域与波源相距很远时，波前的曲率半径为无穷大，波前可以当作平面处理。平面波仅有两种形式。
纵波——质点运动方向平行于波的传播方向，又称为P波；
横波——质点运动方向垂直于波的传播方向，又称为S波。

2.3.1 平面纵波(V//c)
（1）波动方程
将波的传播方向取为x轴，则弹性体的位移分量可表示为
，v=w=0
由此可以得出
、、、、
代入波动方程（2-2），其中式（2-2b）、（2-2c）为恒等式，而式（2-2a）为

该方程的形式与一维杆中的纵波的初等理论的波动方程相一致，但那是一维应力问题，而现在讨论的平面纵波实际是一维应变问题。平面纵波的v=w=0、，相当于在与波的传播方向（x轴）相垂直的方向物体的横向尺寸有无限大，以致于阻碍了任何横向运动。
波动方程（2-6）的通解为
u=u1+u2=f1(x-c1t)+f2(x+c1t)
考虑一个右行波

（2）应力状态
平面纵波中只有、，体积应变，代入§2-1中的物理方程，得

由此可知，由于侧向应力σy、σz的存在，，平面纵波实际上处于三向应力状态。

2.3.2 平面横波(V⊥c)
将波的传播方向取为x轴，位移方向与y轴一致，则弹性体的位移分量可表示为
，u=w=0
由此可以得出

e=0、、
代入波动方程（2-2），其中式（2-2a）、（2-2c）为恒等式，而式（2-2b）为

波动方程（2-8）的通解
v=v1+v2 =f1(x-c2t)+f2(x+c2t)
考虑一个右行波

与之相应的平面横波只有一个应变分量γxy和一个应力分量τxy

其余应变分量和应力分量均为零。
与位移相应，弹性体中的质点沿y方向的速度分量为

而弹性体中的质点沿x方向、z方向的速度分量均为零。
由本节和上一章有关公式，注意到应变分量与质点速度分量的关系不因波的类型变化而变化，只是比例系数即波速发生改变。

§2.4 薄板中的应力波

2.4.1 控制方程
运动方程

几何方程
，，
物理方程
或
将物理方程代入运动方程并利用几何方程，得波动方程
（2-9a）
（2-9b）
式中，，。

2.4.2 纵波
只有、，而γxy=0或。将波动方程（2-9a）对x求导，方程（2-9b）对y求导，然后相加，得

化成

改写为

（2-10）
其中，。

2.4.3 横波
令、，γxy≠0，则
，
，
，
则波动方程（2-9）变为
（2-11）
其中。两式合并，得

2.4.4 各种波速关系
（1）一维杆中纵波波速∶
（2）二维薄板中纵波波速∶
（3）三维弹性体的纵波波速（平面纵波是特例）∶
（4）杆中扭转波波速ct、二维薄板中的横波波速cs、三维弹性体的横波波速（平面横波是特例）

c2∶
对于一般材料有0＜μ＜0.5，显然c2＜c0＜cd，并有
，cd＜c1
故
c2＜c0＜cd＜c1
也就是说横波的传播速度不随物理所占空间的维数的多少而变化，波速值也是最小；而弹性纵波的传播速度却与物理所占空间的形式（维数）相关，弹性纵波的传播速度随物理所占维数增加而提高。

§2.5 球面波
（参见《固体中的应力波》§3-4、P20-24，《应力波基础》第八章）
爆炸或高度集中的冲击荷载产生的非平面波，在实际应用中有重要的作用。球面波与平面波的显著区别是随着波的传播，其波前表面积成几何增长，从而迅速地改变波形中应力分布。
2.5.1 波动方程及其解
球面波在介质中传播时，其位移存在一个应力函数φ，满足
，，
于是
，
，
，
将上式代入式（2-2），得球面波的波动方程
（2-12）
设方程（2-12）的解为

其中，r是任意点对坐标原点的矢径，于是有

（2-13）
有
（2-14）
同样
（2-15）
（2-16）
将式（2-14）、式（2-15）、式（2-16）代入式（2-12），得
（2-17）
或
（2-18）
式（2-18）为球面弹性波的波动方程，解可写成
（2-19）
式中、为任意函数。是由原点向外传播的扰动，波速为c1；是向着原点传播的扰动，波速为c1。

附注：
（1）P20倒数第三式有误，应为，式（3-29）中c1差一个平方。
（2）P23的图3-4并不是波前的应力历程图，而是波前经过某球面以后，该面上的应力历程图；
（3）该图纵坐标乘上了系数，同一张图上不同曲线不能比较大小。
（4）对同一条曲线而言，其横坐标上的r是不变的，即只有t在变，但不同曲线的r不相同。

§2.6 柱面波
（参见《固体中的应力波》§3-5、P24-27，《应力波基础》第八章P194-195）
对应力状态的分析，同样要注意球面波的三个注意点。

第3章 应力波的相互作用
§3.1 一维应力波在界面的反射和透射
应力波如其它波一样，在介质密度、弹性模量或截面积有显著变化的界面上，会发生反射和透射。如图细长杆中的纵波，经过波阻突变的界面，会产生透射波和反射波。
（入射：incident；反射：reflect；透射：transmission）

界面处应满足边界条件：（1）作用力等于反作用力；（2）界面处的质点速度相等。有

且

令，解得
（3-1a）
（3-1b）
和
（3-2a）
（3-2b）
（3-3a）
（3-3b）
式中，、。

通常将μ和f分别称为透射系数和反射系数，也将T和Q称为透射系数和反射系数。显然，有

表明透射波等于入射波和反射波之和。分两种情况讨论。

3.1.1 应力波在不同介质界面的反射和透射
设A1=A2，ρ1c1≠ρ2c2，，此时有
（3-4a）
（3-4b）
（1）因为μ>0，故透射波与入射波具有相同性质，即压应力波透射后仍为压应力波；拉应力波透射后仍为拉应力波。
f的正负取决于两种介质波阻率的相对大小。
（2）当R>1，即ρ2c2>ρ1c1时，相当于应力波由“软”材料进入“硬”材料。这时有
①f >0，反射波应力与入射波应力同号（反射加载）；
②μ>1，T<1，透射波应力强于入射波应力，质点速度小于入射波的质点速度；
③特殊情况下，当R→∞（ρ2c2→∞）时，相当于弹性波在刚性壁的反射。这时，有μ=1、f=1，T=0、Q=-1。刚性壁上v=0、σ=2σi，速度为零，应力加倍。
（3）当R<1，即ρ2c2<ρ1c1时，相当于应力波由“硬”材料进入“软”材料。这时有
①f<0，反射波应力与入射波应力异号（反射卸载）；
②μ<1，T>1，透射波应力弱于入射波应力，质点速度高于入射波的质点速度；
③特殊情况下，当R→0（ρ2c2→0）时，相当于弹性波在自由端的反射。这时有μ=0、f=-1，T=2、Q=1。自由端上v=2vi、σ=0，速度加倍，应力为零。
可见，应力波的应力在刚性壁的传播特性与应力波的质点速度在自由端的传播特性相同。
（4）阻抗匹配
两种不同介质，即使ρ、c各不相同，但只要波阻率相同，即ρ2c2=ρ1c1，R=1时，f=0，即弹性波在通过这两种介质的界面时将不产生反射，称为阻抗匹配。在凿岩工程中，为了提高凿岩机的能量利用率，要求钎具与岩石阻抗匹配；在爆破工程中，为了提高炸药的能量利用率，要求炸药与岩石阻抗匹配。

以上几种情况如下表所示。
应力波在不同介质界面的反射和透射(A1=A2，R=ρ2c2/ρ1c1)

σr/σi
σt/σi
vr/vi
vt/vi
R→0
-1
0
1
2
0<R<1
(-1，0)
(0，1)
(0，1)
(1，2)
R=1
0
1
0
1
R>1
(0，1)
(1，2)
(-1，0)
(0，1)
R→∞
1
2
-1
0

3.1.2应力波在变截面杆中的反射和透射
设A1≠A2，ρ1c1=ρ2c2，，此时有
（3-5a）
（3-5b）
（3-6a）
（3-6b）
（1）因为T>0，故透射波与入射波具有相同性质（同号）。f或Q的正负取决于A1、A2的相对大小。
（2）当R>1，即A2>A1时，相当于应力波由小截面进入大截面。这时，有
①f>0，反射波应力与入射波应力同号（反射加载）；
②<1，因而透射波应力和质点速度都将小于入射波的相应的值；但μ>1，即透射波的总力Ft却大于入射波的总力Fi。
（3）当R<1，即A2<A1时，相当于应力波由大截面进入小截面。这时，有
①f<0，反射波应力与入射波应力异号（反射卸载）；
②T>1，因而透射波应力和质点速度都将高于入射波的相应的值；但μ<1，即透射波的总力Ft却小于入射波的总力Fi。
可见，大轴一端受冲击时，另一端如有一小轴相连，将起到“捕波器”的作用。不过，当时，T→2，所以应力波每通过一个截面积间断时，单级应力放大倍数的极阻为2。

注意：由于截面积引起波阻的变化与由于界面性质引起的波阻的变化而导致的透射应力波相对于入射应力波的强弱变化不同。
以上几种情况如下表所示。
应力波在变截面杆中的反射和透射(ρ1c1=ρ2c2，R= A2/ A1)

σr/σi
vr/vi
σt/σi，vt/vi
R→0
-1
0
2
0<R<1
(-1，0)
(0，1)
(1，2)
R=1
0
0
1
R>1
(0，1)
(-1，0)
(0，1)
R→∞
1
-1
0

§3.2 两杆相撞的入射波
如图，设两弹性杆B1、B2的波阻分别为m1、m2，以V1>V2的匀速运动飞行，在t0=0时相撞，撞击后，在撞击面产生一扰动，扰动在B1杆中产生一左行波，在B2杆中产生一右行波。

撞击面满足作用力相等（作用力等于反作用力）、质点速度相等（速度连续条件），有
， （3-7）
即

令，解得
、 （3-8）
和
、 （3-9）
= （3-10）

式中，称为撞击系数。
讨论几种特殊情况。
（1）当V2=0，V1=V冲时，相当于活塞撞击钎杆的情况。
、 （3-11）
式中，。
这就象有一个入射波从B1杆传到B2杆里去一样，只不过是这一入射波的状态为、。也就是说，撞击相当于整个冲击速度一半的波从一杆向另一杆透射了，可以这样理解，具有整体速度V冲的B1杆可看着一个右行波（，）和一个左行波（，）的合成作用，撞击时，右行波透过撞击面到B2杆里去了，故和波的透射有相同特性。
（2）当两弹性杆B1、B2材料相同，截面相同时，即A1ρ1c1=A2ρ2c2=Aρc，m1=m2，R=1时
、 （3-12）
和
，=
如果V2=-V1，则
v1=-V1，v2=V1，v1+ V1= v2+ V2=0

可见两根相同的细杆对撞后速度为零，但受力却不为零。
（3）当A2ρ2c2→∞、v2=0时，即B1杆撞击刚壁。
v1=-V1，v2=0

可见与A1ρ1c1=A2ρ2c2=、V2=-V1结果相同。

§3.3 传播图与状态图
3.3.1传播图
传播图表示波阵面传播的轨迹，传播图是以时间t和位置x作坐标，