数学13算法案例辗转相除法与更相减损术课件新人教A版必修3市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

算算 法法 案案 例例(第一课时)ks5u精品课件第1页ks5u精品课件第2页1.回顾算法三种表述：回顾算法三种表述：自然语言自然语言程序框图程序框图程序语言程序语言（三种逻辑结构）（三种逻辑结构）（五种基本语句）（五种基本语句）ks5u精品课件第3页2.思索：思索：小学学过求两个数最大条约数方法？小学学过求两个数最大条约数方法？先用两个公有质因数连续去除，一直除先用两个公有质因数连续去除，一直除到所得商是互质数为止，然后把全部除数连到所得商是互质数为止，然后把全部除数连乘起来乘起来.ks5u精品课件第4页1、求两个正整数最大条约数、求两个正整数最大条约数（1）求）求25和和35最大条约数最大条约数（2）求）求49和和63最大条约数最大条约数25（1）5535749（2）77639所以，所以，25和和35最大条约数为最大条约数为5所以，所以，49和和63最大条约数为最大条约数为72、除了用这种方法外还有没有其它方法？、除了用这种方法外还有没有其它方法？算出算出8256和和6105最大条约数最大条约数.ks5u精品课件第5页辗转相除法（欧几里得算法）辗转相除法（欧几里得算法）观察用辗转相除法求观察用辗转相除法求8251和和6105最大条约数过程最大条约数过程 第一步第一步 用两数中较大数除以较小数，求得商和余数用两数中较大数除以较小数，求得商和余数8251=61051+2146结论：结论：8251和和6105条约数就是条约数就是6105和和2146条约数，求条约数，求8251和和6105最大条约数，只要求出最大条约数，只要求出6105和和2146条约数就能够了。条约数就能够了。第二步第二步 对对6105和和2146重复第一步做法重复第一步做法6105=21462+1813同理同理6105和和2146最大条约数也是最大条约数也是2146和和1813最大条约数。最大条约数。ks5u精品课件第6页完整过程完整过程8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0例例2 用辗转相除法求用辗转相除法求225和和135最大条约数最大条约数225=1351+90135=901+4590=452显然显然37是是148和和37最大条约数，最大条约数，也就是也就是8251和和6105最大条约数最大条约数 显然显然45是是90和和45最大条约数，也就是最大条约数，也就是225和和135最大条约数最大条约数 思索思索1：从上面两个例子能够看出计算规：从上面两个例子能够看出计算规律是什么？律是什么？S1：用大数除以小数：用大数除以小数S2：除数变成被除数，余数变成除数：除数变成被除数，余数变成除数S3：重复：重复S1，直到余数为，直到余数为0ks5u精品课件第7页 辗转相除法是一个重复执行直到余数等于辗转相除法是一个重复执行直到余数等于0停顿步骤，这实际上是一停顿步骤，这实际上是一个循环结构。个循环结构。8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0m=n q r用程序框图表示出右边过程用程序框图表示出右边过程r=m MOD nm=nn=rr=0?是否ks5u精品课件第8页1 1、辗转相除法（欧几里得算法）、辗转相除法（欧几里得算法）（1）算理：所谓辗转相除法，就是对于给定）算理：所谓辗转相除法，就是对于给定两个数，用较大数除以较小数。若余数不为两个数，用较大数除以较小数。若余数不为零，则将余数和较小数组成新一对数，继续零，则将余数和较小数组成新一对数，继续上面除法，直到大数被小数除尽，则这时较上面除法，直到大数被小数除尽，则这时较小数就是原来两个数最大条约数。小数就是原来两个数最大条约数。ks5u精品课件第9页（2 2）算法步骤）算法步骤第一步：输入两个正整数第一步：输入两个正整数m,n(mn).第二步：计算第二步：计算m除以除以n所得余数所得余数r.第三步：第三步：m=n,n=r.第四步：若第四步：若r0,则则m,n最大条约数等于最大条约数等于m；不然转到第二步不然转到第二步.第五步：输出最大条约数第五步：输出最大条约数m.ks5u精品课件第10页（3 3）程序框图）程序框图（4 4）程序）程序INPUT “m,n=“;m,nDO r=m MOD n m=n n=rLOOP UNTIL r=0PRINT mEND开始开始输入输入m,n r=m MOD n m=nr=0?是是否否 n=r 输出输出m结束结束ks5u精品课件第11页九章算术九章算术更相减损术更相减损术 算理：算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。数约之。第一步：第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。约简；若不是则执行第二步。第二步：第二步：以较大数减较小数，接着把所得差与较小以较大数减较小数，接着把所得差与较小数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得减数和差相等为止，则这个等数就是所求最大条得减数和差相等为止，则这个等数就是所求最大条约数。约数。ks5u精品课件第12页2、更相减损术、更相减损术（1）算理）算理：所谓更相减损术，就是对于给：所谓更相减损术，就是对于给定两个数，用较大数减去较小数，然后将差定两个数，用较大数减去较小数，然后将差和较小数组成新一对数，再用较大数减去较和较小数组成新一对数，再用较大数减去较小数，重复执行此步骤直到差数和较小数相小数，重复执行此步骤直到差数和较小数相等，此时相等两数便为原来两个数最大条约等，此时相等两数便为原来两个数最大条约数。数。ks5u精品课件第13页（2）算法步骤）算法步骤第一步：输入两个正整数第一步：输入两个正整数a,b(ab);第二步：若第二步：若a不等于不等于b,则执行第三步；不然转则执行第三步；不然转到第五步；到第五步；第三步：把第三步：把a-b差赋予差赋予r;第四步：假如第四步：假如br,那么把那么把b赋给赋给a,把把r赋给赋给b;不不然把然把r赋给赋给a，执行第二步；，执行第二步；第五步：输出最大条约数第五步：输出最大条约数b.ks5u精品课件第14页（3 3）程序框图）程序框图（4 4）程序）程序INPUT “a,b=“;a,bWHILE ab r=a-b IF br THEN a=b b=r ELSE a=r END IFWENDPRINT bEND开始开始输入输入a,bab?是是否否 输出输出b结束结束 b=ra=br=a-brb?a=r否否是是ks5u精品课件第15页例例3 3 用更相减损术求用更相减损术求9898与与6363最大条约数最大条约数解：因为解：因为6363不是偶数，把不是偶数，把9898和和6363以大数减小数，以大数减小数，并辗转相减并辗转相减 989863633535636335352828353528287 728287 7212121217 7212114147 77 7所以，所以，9898和和6363最大条约数等于最大条约数等于7 7 用更相减损术求两个正数用更相减损术求两个正数8484与与7272最大条约数最大条约数 练习：练习：先约简，再求先约简，再求21与与18最大条约数最大条约数,然后乘以然后乘以两次约简质因数两次约简质因数4ks5u精品课件第16页例例3、求、求324、243、135这三个数最大条约这三个数最大条约数。数。思绪分析：求三个数最大条约数能够先求出两个数思绪分析：求三个数最大条约数能够先求出两个数最大条约数，第三个数与前两个数最大条约数最大最大条约数，第三个数与前两个数最大条约数最大条约数即为所求。条约数即为所求。ks5u精品课件第17页比较辗转相除法与更相减损术区分比较辗转相除法与更相减损术区分（1 1）都是求最大条约数方法，计算上辗转相除法）都是求最大条约数方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，尤其当两个数字大辗转相除法计算次数相对较少，尤其当两个数字大小区分较大时计算次数区分较显著。小区分较大时计算次数区分较显著。（2 2）从结果表达形式来看，辗转相除法表达结果）从结果表达形式来看，辗转相除法表达结果是以相除余数为是以相除余数为0 0则得到，而更相减损术则以减数与则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到差相等而得到小结小结ks5u精品课件第18页