Cohen类时频分布.doc

第4章　Cohen类时－频分布

4.1 前言

　　除了Wigner分布和谱图以外，近几十年来人们还提出了很多其它具有双线性行式的时－频分布。1966年，Cohen给出了时－频分布的更一般表示形式［44］：
　　　（4.1.1）
该式中共有五个变量，即，，，和，它们的含义我们将在下一节解释。式中称为时－频分布的核函数，也可以理解为是加在原Wigner分布上的窗函数。给出不同的，就可以得到不同类型的时－频分布。通过后面的讨论可知，目前已提出的绝大部分具有双线性形式的时－频分布都可以看作是Cohen类的成员。通过对Cohen类分布的讨论有助于我们更全面地理解时－频分布，深入地了解它们的性质，并提出改进诸如交叉项这些不足之处的方法。在Cohen类时－频分布的讨论及抑制交叉项的方法中，在雷达信号处理中广泛应用的模糊函数（Ambiguity Function, AF）起着重要的作用。因此，本章首先给出模糊函数的定义及其与Wigner分布的关系，然后讨论Cohen类分布及其不同的成员。在4.4节讨论为确保Cohen类分布具有一系列好的性质而对所提出的要求。最后，在4.5节讨论核的设计问题。
文献[47]对非平稳信号的联合时－频分布给出了较为详细且是较为权威性的论述。

4.2 Wigner分布与模糊函数

令为一复信号，我们在第三章已定义
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　（4.2.1）
为的瞬时自相关函数，并定义相对的傅立叶变换
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4.2.2）
为的WVD。除去特别说明，该式及以下各式中的积分均是从。
　　的对称模糊函数定义为相对变量的傅立叶逆变换［17，46,47］，即：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4.2.3）
对比（4.2.2）和（4.2.3）两式可以看到，和之间似应有某种联系，起码在形式上有一种对称联系。由（4.2.3）式，有
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4.2.4）
对该式两边取相对变量的傅立叶变换，立即可得
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4.2.5）
该式说明，信号的WVD是其AF的二维傅立叶变换。WVD和AF是信号的两个不同的表示形式，其关系即是（4.2.5）式。有关WVD的含义我们已在第三章作了详细讨论。现对模糊函数的含义在此稍作解释。
　　令为一复信号，定义，分别是作正、负移位和正、负频率调制所得到的新信号，即：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4.2.6a）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　（4.2.6b）
式中为时移，为频移，显然
　　　　　　　　　　　　　　　　（4.2.7）
即模糊函数可理解为信号在作时移和频率调制后的内积。
　　我们知道，当将信号发射出去并由一固定目标作无失真反射回来时，反射信号应是。通过估计时间可知道从信号发射点到目标的距离。若目标是移动的，由多普勒效应，还将产生频移，即接受到的信号应是。因此，模糊函数在雷达理论中具有重要的作用。
　　读者可自行证明，模糊函数具有如下性质：
　　１．若 ，则　　 　　　　　　　（4.2.8）
　 2. 若 ，则　 　　　　　　　 （4.2.9）
　　３．的最大值始终在平面的原点，且该最大值即是信号的能量，即：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4.2.10）
如果我们再定义
　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4.2.11）
为的“瞬时”谱自相关，式中为的FT，则：

（4.2.12）

（4.2.13）
且　　　　　　　　　 　　　　　 （4.2.14）
以上各式给出了同一信号的WVD和AF的不同表示形式及内在联系，但WVD和AF有着如下本质的区别：
１. 不论是实信号还是复信号，其WVD始终是实信号，但其模糊函数一般为复
函数。两个信号，的互WVD满足
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4.2.15a）
而其互AF不存在上述关系，即
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4.2.15b）
　　２．WVD和AF分别处在不同的“域”：
　　在（4.1.1）及（4.2.1）～（4.2.15）各式中，我们遇到了五个变量，即，，，和。显然，是时间，是频率，由（4.2.6）式，应是时移，应是频移，是积分变量。前四个变量的不同组合形成了不同的“域”，即：
　　　　　　　：时－频域，对应
　　　　　　　：瞬时自相关域，对应
　　　　　　　：“瞬时”谱自相关域，对应
　　　　　　　：模糊函数域，对应
由此可以看出，我们之所以称为“模糊函数”，是因为和分别对应了频域的“频移”和时域的“时移”。这几个二维函数的关系如图4.2.1所示。图中表示对变量作FT，表示相对作傅立叶反变换，其它含符号类似。
　　至此，读者不难发现，（4.1.1）式中的窗函数也在处在模糊域。我们使用它的目的是为了抑制WVD中的交叉项。这一抑制一般是在模糊域中进行的。这就是在讨论时－频分布的同时要讨论模糊函数的原因。
　　3．现举例说明和在和平面上的位置的不同。

图4.2.1　WVD和AF的关系
例4.2.1　　令
　 　　　　　　　　　　　　 　　（4.2.16）
我们在例3.3.5中已求出其WVD是
　　　　　　　　 　　　　　（4.2.17）
同样可求出其模糊函数是
　　（4.2.18）

分析这样一结果，可以看出：
　　（1）是实函数，而是复函数；
　　（2）的中心在在处，它是一高斯型函数，时域、频域的扩展受的控制；
　　的中心在处，其幅值也是高斯型函数，且受到一复正弦的调制。该复正弦在和轴方向上的震荡频率由和所控制。这就是说，和并不影响的中心位置，影响的只是其震荡速度。
例4.2.2　令
　　　　　　　　　　　　　　　　（4.2.19）
这是我们在例3.5.4已遇到的信号，其WVD已由（3.5.2）式给出。可以求出，其模糊函数是［13］
　　　　　　 　　　　（4.2.20）
式中，分别是的自项，它们已由（4.2.18）式给出。它们的中心都位于平面的原点。及是的AF的互项，其中：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4.2.21）
式中　　 ，
为两个自项中心位置在时、频方向上的几何中心。而
，
是其距离。这样，的中心在处，同理，的中心在处，它们都是远离原点的。显然，和，和相差越大，则它们离开原点的距离越大。的AF如图4.2.2所示。图中的下图为两个时－频“原子”的时－频分布图。由该图可以看出，二者的时－频中心分别在（32，0.4）和（96，0.15）。上图是二者的联合模糊函数。

4.2.2　的模糊函数与时－频分布, (a) 模糊函数, (b) 时－频分布

现将（3.5.2）式中的WVD的互项及（4.2.21）式均写成极坐标的形式，即：
　　　　　　 　　　　　　　　　（4.2.22a）
　　　　　　　　　　　　　　　　（4.2.22b）
由（4.2.21）式，有 ，　　　　　（4.2.23a）
由（3.5.2）式，有 ，　　　 （4.2.23b）

该式结果表明，WVD互项的相位对和的偏导数分别对应于该信号模糊函数的互项的中
心坐标，即。通常，相位的导数意味着是频率，所以，AF中互项的位置直接反映了WVD中交叉项的震荡状况。WVD中交叉项震荡越厉害，那么，AF中互项的中心距平面的原点越远，反之，我们由AF互项的中心位置又可大致判断WVD互项的震荡程度。WVD和AF各自互项与自项的位置及它们互项间的关系为我们抑制WVD中的交叉项提供了一个有效途径，即：
　（1）首先对求模糊函数，由于的自项始终在平面的原点处，而互项远离原点，因此，我们可设计一个平面的低通滤波器对滤波，从而有效地抑制了中的交叉项；
　　（2） 对滤波后的AF按（4.2.5）式作二维傅立叶变换，得到。这时的已是被抑制了交叉项的新WVD。
实际上，（4.1.1）式中的即是实现这一目的平面上的二维低通滤波器。它的作用是对原含有交叉项的WVD作平均。我们知道，震荡频率越高的项，平均后变的越
小。这就是说，AF中越是远离原点的交叉项，在的作用下，抑制的效果越明显。图4.2.3给出了同一信号AF及WVD互项与自项的位置示意图[13]。

图4.2.3 同一信号AF及WVD互项与自项的位置示意图

4.3 Cohen类时－频分布

我们在（4.1.1）式给出了Cohen类分布的统一表示形式，并在4.2节简单地说明了核函数的作用，即给定不同的核函数，就可以得到不同形式的时－频分布。例如，令，有：
　　　　　（4.3.1）
这一结果表明，当核函数取最简单的形式，即时，Cohen类分布变为Wigner分布。也就是说，Wigner分布是Cohen类的成员，且是最简单的一种。
　　，这意味着该核函数是平面的二维全通函数。由上节的讨论及图4.2.3所示，平面模糊函数的自项对应WVD的互项（即交叉项），且AF的互项远离平面的原点。由于Wigner分布的是全通函数，它对AF的互项无抑制作用，因此，其WVD也就存在着较大的交叉项。这就是WVD中存在较严重的交叉项干扰的原因。自然，应该选择平面上的二维低通函数来作为。
　　近二十年来，人们提出的时－频分布的形式不下十多种。除了我们已讨论过的谱图及Wigner分布外，还有：
　　　　　　　　　　　 Rihaczec分布
　　　　　　　　　　 Page分布
　　　　　　　　　　　　Choi－Willams分布
　　　　　　　　 Born－Jordan分布
读者自然会想到，的选取将对时－频分布的性质产生重要的影响。关于这一点，我们将在下一节详细讨论。现在讨论除了（4.1.1）式外，Cohen类分布的其它表示形式。
　　（1）、用的频谱表示，即
　（4.3.2）
　　（2）、用模糊函数表示。　　对比（4.2.1）、（4.2.3）及（4.1.1）式，有
　　　　　　　　 　　　　　　（4.3.3）
上式说明，可由AF乘上后作傅立叶变换得到。
　　（3）、用WVD表示。　　在（4.3.3）式中，和在域相乘，其结果对应的是二者各自的变换在域做卷积。由（4.2.5）式，的傅立叶变换是，令是的傅立叶变换，那么：
　　　　　　　　　　　　（4.3.4）
该式有两重含义，一是任意信号的都可以由该信号的WVD和加权函数作2－D线性卷积而得到。前已述及，已知的其余所有时－频分布都可以由Cohen的统一表示形式所得到，那么也就是说，已知的所有分布都可以由Wigner分布来表示；第二个含意是，WVD本身可能为负值，且有交叉项存在，那么和的卷积，可在某种程度上减少负值和交叉项的影响。这实际上是对WVD作平滑，平滑的结果正是。
　　（4）、用广义模糊函数表示[44】　　在（4.3.3）式中，定义
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4.3.5）
为信号的广义模糊函数，那么
　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4.3.6）
这是一个标准的二维傅立叶变换表达式。
　　（5）、用广义时间相关表示。定义
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4.3.7）
为时间自相关域的核函数，那么广义时间自相关定义为：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4.3.8）
式中由（4.2.1）式定义，这样，可表示为的傅立叶变换，即：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4.3.9）
　　（6）、用广义谱自相关表示。定义
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4.3.10）
为谱自相关域的核函数，那么广义谱自相关定义为：
　　　　　　　　　　　　　　（4.3.11）
式中由（4.2.11）式定义，这样，可表为的傅立叶逆变换，即：　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4.3.12）
　　以上给出了Cohen类时－频分布的六种表达形式，归纳起来可分为四类：
　　（1）和在域内的卷积（4.3.4）；
　　（2）、广义模糊函数的傅立叶变换（4.3.5）、（4.3.6）及（4.3.3）；
　　（3）、瞬时时间自相关和时间自相关域核函数在方向上卷积后的傅立叶变换（（4.3.7）～（4.3.9））；
　　（4）、瞬时谱自相关和谱自相关域核函数在方向上卷积的傅立叶变换（（4.3.10）～（4.3.12））
　　这些表示形式见于不同的文献中。这四类、六个函数充分揭示了Cohen类分布的内在关系，它们在核函数设计（提出一个新的分布）和对某一分布实现时都具有重要的作用。一般情况下，前两类关系用于核的设计，后两类用于分布的实现。
由（3.2.29）式的Moyal’s公式，可以证明，图谱也是Cohen类的成员，即：
　　　　　 　　　　　（4.3.13）
式中是作STFT时所用时域窗函数的WVD。比较（4.3.4）式，对应，它应是某一模糊函数的傅立叶变换。
表4.3.1给出了已提出的不同形式的时－频分布及其核函数，它们都属于Cohen类的成员。

表4.3.1　　已知时－频分布及其核函数［2］

分布名称
核函数
时－频分布表达式
Wigner
1

伪Wigner
　分布

Re［Rihaczek］

Rihaczek

Born－Jordan
　（Cohen）

Page

Choi－Williams
　（ED）

Zhao－Atlas
－Marks

Spectrogram
（谱图）

注：为一窗函数。
4.4　时－频分布所希望的性质及对核函数的制约

由表4.3.1可以看出，给出不同的核函数可以得到不同的分布。因此，通过对核函数的性能的分析，可以考察其时－频分布的能性，可以得到一个新的分布，对核函数施加一些制约条件，有可能得到我们所希望的时－频分布的性质。表4.4.1列出了这些性质及对核函数的制约。

　　　　　　表4.4.1　所希望的时－频分布的性质及对核函数的制约[2,76]
性质名称
　　表达式
　　　对核函数的制约
：非负性

：是某些函数的模糊函数
：实值性

：
：时移

：不决定于
：频移

：不决定于
：时间边界条件

：
：频率边界条件

：
：瞬时频率

：及
：群延迟

：及
：时间支持域
若对，则

：
：频率支持域
若对，则

：
：减少干扰

：是一个低通滤波器

表4.4.2给出了几个常见分布满足性质的情况比较，在目前已提出的时－频分布中，还没有一个能满足至的。

　　　　　　表4.4.2　六个时－频分布满足性质情况比较［37］
　　　　性质名称
分布名称

　Wigner
　Rihaczek
　Re［Rihaczek］
　Choi－williams
　Spectrogram
　Born－Jordan
Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes
Yes Yes Yes Yes Yes Yes
Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes
Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes
Yes Yes Yes Yes Yes Yes
Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes

　现对表中性质及对核函数的要求给出一些解释。
　　1．，时－频分布的非负性，即。但遗憾的是，对已知的许多分布，它们并不满足这一性质。如表4.4.2中的六个分布，只有谱图总是正的。当然，对于一些特殊的函数，如例3.3.5和3.3.6中的高斯信号或调制高斯信号，它们的WVD是恒正的。条件指出，若想保证Cohen类的某一成员是恒正的分布，则应是某一函数的模糊函数。现对这一结论证明如下：
　　证明：给定一个函数，设其模糊函数为，即：
　　　　　　　　　　　　　　　　（4.4.1）
那么，对的傅立叶反变换即是，即

　　　　　　　　　　（4.4.2）
式中由（4.3.7）式定义。由（4.3.8）和（4.3.9）及上式结果，有

令 ，，则上式变成
　　 　　　　　　（4.4.3）
于是结论得证。式中是乘上窗函数后的傅立叶变换。该式说明，如果是某一函数的模糊函数，那么用此所得到的等效于谱图。因此，谱图也是Cohen类成员。
　　2．，实值性，即，
　　　　：　　　
　　证明：由（4.1.1）式，

令　，，则上式变为

显然，如要求 ，必有
　　3、时移：
　　　：　若　　，则
　　　：　不决定于
　　　证明：因为处于域，和无关，所以它不影响分布的时移性质；
　　4、频移：
　　　　　　：　若，则
　　　　　　：与无关
　　　性质与称为Cohen类时－频分布的“移不变”性质，它包含了时移和频移。
　　5、时间边缘条件，即
　　　　：
　　　　：
　　　证明：　将（4.1.1）式两边对积分，有

欲使上式的积分等于，必有

欲使该式成立，必有，也就是说，为保证具有WVD的边界性质，在轴上始终为1。
　　6、频率边缘条件，即
　　　：　　　
　　　：　　　
其证明请读者自己完成。
　　前已述及，为了有限的抑制AF中远离的互项，希望应为平面上的低通函数。但和要求在和轴上应为１。这样，如果AF中的互项正好落在轴或轴上，将得不到抑制。
　　7、瞬时频率与的关系，即
　　　：　　
　　　：　　及
　　8、群延迟与的关系，即
　　　：　　
　　　：　　及
我们已在3.2节证明了WVD和瞬时频率与群延迟的关系，此处的证明从略。有关瞬时频率定义的解释及瞬时频率的估计可参看文献[27,28]。这是两篇详细讨论瞬时频率的论文。
　　9、时域支撑范围，即
　　　：　若　时，，希望，对
　　　：　　　
　　10、频域支撑范围，即
　　　：　若　时，，希望
　　　：　
现对和作一简单的解释。
　　给定一个信号，记其时－频分布为。假定在和的范围内为零，若在和的范围内也为零，则称具有弱有限时间支撑性质。同理，假定在之外为零，若在也为零，则称具有弱有限频率支撑性质。和指的是弱有限支撑。
　　若信号分段为零，在为零的区间内也为零，则称具有强有限时间支撑性质。强有限支撑的含义是：只要为零，在所对应的时间段内恒为零。同理可定义强有限频率支撑。
　　由（4.3.7）式，的要求是：
　　　　，　对　。
式中是时间域的核函数。当该核函数在平面上在这一范围内为零时，即具有弱有限时间支撑性质。有关的由来见下一节的讨论。
　　　10、：减少交叉项干扰
　　　　　：是平面上的2－D低通函数。
　　减少交叉项干扰分布（Reduced　Interference　Distribution，RID）又称RID分布。其核函数有着其它的特殊性质，我们将在下一节进一步讨论。

4.5核函数对时－频分布中交叉项的抑制

　　我们在1.5节已给出了单分量信号和多分量信号的概念。其区别是在任意固定的时刻，该信号的瞬时频率是单值的还是多值的。一个多分量信号又可表为单分量的和，即：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　（4.5.1）
式中都是单分量信号，因此

（4.5.2）
相应的时－频分布
　　　　　　　　　　　　　　（4.5.3）
同样也由自项和互项所组成。互项即是交叉项，它是对真正时－频分布的干扰，应设法将其去除或尽量减轻。减轻中交叉项的一个有效途径是通过的模糊函数来实现。由4.2节的讨论，的广义模糊函数：
　　　　　　　　　　　　　（4.5.4）
式中
　　　　 　　　　　　 （4.5.5）
　　 　　　　　　（4.5.6）
分别是AF的自项和互项。我们在本章第二节的讨论中已指出，模糊函数的自项通过平面的原点，互项远离平面的原点，而AF中的互项又对应了时－频分布中的交叉项，这就为我们去除或抑制时－频分布中的交叉项提供了一个有效的途径。即令核函数取平面上的2-D低通函数。
　　由上节的讨论可知，为保证具有时间及频率边缘条件性质，核函数应满足和，即在和轴上应恒为1，这也是设计核函数时必须考虑的要求。当然，除了难于满足外，应尽量满足。
　　现举例说明核函数对交叉项的效果。
　　Choi－Willarms于文献[37]提出了一个指数核，即
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4.5.7）
其相应的T－F分布称为指数分布（ED），由表4.3.1，它属于Cohen类。显然，，，且当和同时不为零时。式中为常数。越大，自项的分辨率越高，越小，对交叉项的抑制越大。因此，的取值应在自项分辨率和交叉项的抑制之间取折中，并视信号的特点而定。若信号的幅度和频率变化得快，那应取较大的，反之取较小的。的取值推荐在0.1～10之间。当时，，ED变成WVD，在这种情况下ED（即WVD）具有最好的分辨率，但交叉项也变得很大。ED可以有效地抑制交叉项，但不能保证性质和。
　　ED对应的时域的核为［13］
　　　　　　　　　　　（4.5.8）
相应的时－频分布是
　　　　 （4.5.9）
例4.5.1　令由三个时－频“原子”组成，和具有相同的归一化频率（0.4），但具有不同的时间位置（分别是32和96）。令和具有相同的时间位置，但归一化频率为0.1。的时域波形如图4.5.1a所示，其理想的时－频分布如图4.5.1b所示。其WVD如图4.5.1c所示。可以看到，图c中存在着由这三个“原子”两两产生的共三个交叉项。
　　图4.5.1d是的模糊函数。由该图可以看出，AF的自项位于中心，在轴和轴上各有两个互项，在第二和第四象限也各有一个互项，因此，该信号的AF共有6个互项。图4.5.1e是指数核的等高线图，它在原点最大，在轴和轴上恒为1。改变，可调节坐标轴两边两个等高线的距离。越大，距离越大，反之距离越小。
　　的作用是抑制AF中的互项。将图（d）和图（e）对应相乘，即，其结果示于图（f）。显然，在第二和第四两个象限的互项已被去除，在轴和轴上的四个互项在图中体现出来，但实际上也被抑制。
　　图4.5.1g是用ED求出的的时－频分布。可以看出，这时的交叉项较之图4.5.1b的WVD，已大大减轻。

图4.5.1 核函数对交叉项抑制的说明，该图由上及下分别为a~g
Cohen类分布的其它成员，所用对交叉项抑制的原理和上述过程大致相同。

4.6　减少交叉项干扰的核的设计

除了我们在前面几节提到的Cohen类的各种时－频分布外，人们还希望能设计出其它更好的时－频分布。为此，文献［76］给出了一个核设计的方法，现给以简单地介绍。
　　　如果可以写成变量，的积的函数，即

那么该核函数称为“积核”，在表4.3.1中，，，sinc及ED核都是积
核。如果可以写成各自函数的积，即

那么称为可分离的核。对这一类核，其计步骤如下：
　　　步骤1　设计一个基本函数，使之满足下述条件：
　　　　　　（a）有单位面积，即；
　　　　　　（b）为偶对称，即；
　　　　　　（c）是时限的，即当时。
　　　　　　（d）以=0为中心向边际平滑减少，以保证含有较少的高频分量。
　　　步骤2　取的傅立叶变换，即

　　　步骤3　用代替中的，得到积核函数
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 　（4.6.1）
按照这种原则设计出的核，所对应的分布称为减少干扰分布，即RID。RID主要强调如何抑制交叉项干扰，但同时也兼顾时－频分布的其它性质。现考察一下这类核对表4.4.1的的满足情况。这类核对无法保证满足，但对是满足的。这是因为同样和无关。由于（4.6.1）的中的和以乘积的形式出现，所以和满足，因此条件（a）对应和。由于由得到的是实函数（偶对称），所以满足，即条件（b）保证了。此外，若存在，条件（b）也保证了和。现在考察条件（c）。现将（4.6.1）两边相对作傅立叶变换，即
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4.6.2）
式中即是（4.3.7）式的时域核。按（4.6.2）式，的傅立叶反变换对应的是。按傅立叶变换的变量加权性质，有
　　　　　 　 　　　　　　　　　（4.6.3）
条件（c）要求时，即是当时，（4.6.2）式恒为零，也即时。这正是，同理，条件（c）意味着满足。
　　条件（d）的目的是用以减少交叉项干扰，即令是平面的2－D低通函数，因此条件（d）满足。
　　文献[74]考察了不同所对应的T－F分布形式，如果：
　　（1）若，那么，对应的分布是WVD。满足条件（a）、（b）和（c），但不满足（d），因此WVD不具备性质及相应的制约
　　（2）若，则，对应Re［Rihaczek］分布，也只满足条件（a）～（c），不满足（d），所以该分布也和WVD一样，满足，不满足及相应的制约。
　　（3）若，则，此为复数核形式的Rihaczek分布，满足条件（a）和（c），不满足条件（b）和（d），因此该分布只满足性质和。
　　（4）若对，则，对应Born－Jordn分布，满足条件（a）～（d），所以该分布满足性质。
　　（5）若，此对应Choi－Willams分布，满足条件（a），（b）和（d），所以相应的T－F分布有性质和。
　　由于（4）和（5）的对应的分布满足性质，所以它们属于减少干扰类（RID）分布。现以Born－Jodan分布为例，说明这一设计方法的思路及所得到的核在四个域内的形状。
　　Born－Jodan（BJ）分布对应的，对。该满足上述（a）～（d）的四个条件。由

用代替，得BJ分布的核，即
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4.6.4）
这是模糊域的核函数。其形状如图4.6.1（a）所示。
　　对应域，有

令，，则，利用傅立叶变换的定标性质，有

因为的存在区间是（～），所以上式中的取值范围是，考虑到是偶函数，有
　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4.6.5）
同理可得在域的表示形式，即
　　　　　　　　　　　　　　　（4.6.1）
和的形状如图4.6.1（c）和（d）所示。在各自的平面上它们的存在范围有着“蝴蝶结”似的形状。由于（4.6.5）和（4.6.6）式的对称性。二者的形状几乎相同。
　　由上面的导出过程可知，给定的只要满足条件（c）的时限性质，其在和域的核的自变量的取值范围必然要受到（4.6.5）和（4.6.6）式的制约。这也就是表4.4.1中的制约和。
最后，在域的表示形式应是的2－D傅立叶变换，即
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4.6.7）
其形状如图4.6.1（b）所示。
由于BJ分布使用的是在（～）内的矩形窗，所以是平面的D sinc函数，但在轴和轴上始终为1，因此可有效地抑制除、轴以外的交叉项。
　　对于其它属于RID的分布，其核函数在四个域内有着类似的形状。

图4.6.1　BJ分布核函数在四个域内的形状
　　　　（a）域，（b）域，（c）域，（d）域

　　上面的讨论揭示了不同形式时－频分布的内在联系，给我们指出了一个设计较好的时－频分布的总的原则。有关核的分析与设计还可参考文献[121]，有关时－频分布应用的例子请参考文献［2］。
　　前已述及，对性质，即时－频分布的恒正性，除谱图以外，目前对能否构造出既具有时频分布的意义（如性质～），同时又是恒正的分布，目前尚不知道，这一问题仍有待研究。