资源描述
教 案
2016～2017学年度第一学期
课 程 名 称
思想道德修养与法律基础
教学单位
计算机系
教研室
数学
任 课 教 师
陈艺华
职 称
助教
授课班级
2017级各专业
锦州师范高等专科学校
2016～2017学年度第一学期
授课课程：思想道德修养与法律基础 授课教师：陈艺华
章 节
绪论-珍惜大学生活 开拓新的境界
授课班级
2017级数学教育1、2班
授课时间
2017 年11月11日
授课类型
理论
学时数
2学时
教学目的
1.了解大学生活的特点，了解大学学习的特点和方法；
2.了解人际交往的特点，掌握人际交往的原则和艺术。
教 学
重点和难点
重点：帮助学生认识大学生活特点，学习方法，构建和谐的人际交往关系
难点：如何引导新生尽快适应新环境，确立新目标。
教学(具)准备
多媒体课件
教学方法
视频播放、启发式和案例研讨教学法
教学
主要内容
一、介绍本门课程的教学内容、学时、考核方式、学习方法
二、观看并讨论视频
三、大学生活的新变化及适应策略
教 学 过 程 设 计
备 注
一、导入新课
视频播放贵州大学校长郑强教授在央视一套《开讲啦》做的一期节目，节目中郑强教授讲述了自己理解中的大学内涵。
讨论三个问题：
1、大学生活与中学生活相比，有什么变化？
2、大学生活有哪些新奇和惊喜，又有什么困惑和不适？
3、大学生活的新变化对大学生提出了哪些新要求？
二、讲授新课
（一）案例分析
过渡：通过以上的讲述我们知道了大学生活的特点及与中学生活的不同，面对学习要求、生活环境和社会活动方面的变化，我们是否要进行适应呢？能否很好的适应呢？适应不好的话，会产生哪些问题呢？:
案例1：反面
案例2：正面案例
总结：大学生活常见的不适应现象主要有：学习方法、人际交往、恋爱、心理健康等方面的问题。这些都是属于大学新生的普遍现象。我们要以积极的态度，勇敢地面对这些问题，主动而努力地去调整和适应大学的生活。
（二）适应策略
（1）提高独立生活能力
（2）树立新的学习理念
（3）培养优良学风
（4）确立成才目标，塑造崭新形象
（5）构建和谐的人际关系
1）人际交往原则
2）人际交往的艺术
三、课堂小结
1、给同学们推荐大学生必看励志书籍。
作业：结合自己的专业和大学学习的特点，制订一份大学学习计划书
1. 利用10分钟引入新课，播放视频
2. 利用25分钟组织学生讨论发言（启发式教学）
5分钟总结讨论
10分钟
归纳分析大学生活常见的问题
35分钟
理论讲述新生适应大学生活的基本策略
5分钟
布置作业和解疑
板 书 设 计
绪论 珍惜大学生活 开拓新的境界
一、认识大学
二、大学生活常见的不适应现象
三、适应策略
树立新的学习理念
构建和谐的人际关系
教学反思
章 节
1.1复数（二）
授课班级
2015级数学教育 班
授课时间
20 年 月 日
授课类型
理论
学时数
学时
教学目的
1.会求复数的乘幂与方根，掌握共轭复数的公式
2.掌握归纳的数学方法，能应用复数理论解决某些数学问题
教 学
重点和难点
重点：复数的方根. 难点：复数的开方运算.
教学(具)准备
三角板、圆规
教学方法
讲授法、讨论法、练习法
教学
主要内容
一、复数的乘幂和方根
二、共轭复数
三、应用
教 学 过 程 设 计
备 注
一、复习旧知
复习复数的三种形式，利用指数式来解决乘幂和方根
二、讲授新课
（一） 复数的乘幂与方根
1.乘幂. 设，则
当时，棣莫弗公式
例1.3 求用表示的式子
提示：利用棣莫弗公式及两复数相等的条件来解决此问题
2.方根. 解方程，求，设，带入得
从而有，则
结论：(1)开n次方就有n个根；(2)这n个根为内接于以原点为心，为半径的圆周的正n边形的n个顶点(图1-2).
图1-2
例1.4 解方程
步骤：(1)解出并将-8化为三角式或指数式（其中）
(2)
(3)分别解出三个根
（二） 共轭复数
1.模与辐角的关系：
2.常用公式(1) (2)设表示对于复数,…的任一有理运算，则
例1.5 设是两个复数，试证，并用此不等式证明.
证
又由于，则
两边开平方得.
（三） 应用
例1.6 连接的线段的参数方程为
连接的直线的参数方程为
引申：三点共线的充要条件为(为非0非1实数)
三、课堂练习
解方程
四、课堂小结
复数的乘幂和方根的求法，共轭复数的相关公式，三点共线的充要条件
五、布置作业
P42—3、4；P43—9
提问复数的三种形式
启发学生寻找复数与其乘幂模和辐角的关系，得出结论
学生容易得出错误结论，提示学生思考辐角意义
提示解题步骤，由老师学生共同完成
熟练灵活地运用这些公式，对化简计算、解答问题都会带来方便
提示学生利用共轭复数的相关公式
类比求动点轨迹方程，有学生说出第二题的答案
师生共同探讨参数为何值（教材上面有错误）
学生总结本堂课知识，不足的教师补充
板 书 设 计
板书1
四、复数的乘幂与方根 2.方根 练习
1、乘幂 推导过程
例题
例题
板书2
五、共轭复数 例题 六、应用
公式 例题
教学反思
章 节
1.2复平面上的点集 1.3复变函数(一)
授课班级
2015级数学教育 班
授课时间
20 年 月 日
授课类型
理论
学时数
学时
教学目的
1.熟悉平面点集基本概念，熟练区分简单闭曲线、光滑曲线和区域
2.对复变函数概念有初步了解
教 学
重点和难点
重点：区域的概念. 难点：复变函数概念的理解.
教学(具)准备
三角板、圆规
教学方法
讲授法、讨论法
教学
主要内容
一、平面点集的几个基本概念
二、复变函数的概念
教 学 过 程 设 计
备 注
一、导入新课
1.提问数学分析中聚点、孤立点、边界点、有(无)界集概念.
2.回忆上节提到的线段、直线等，它们都是复平面的点集，后续课中讲到解析函数，其定义域、值域均为复平面上某点集.
二、讲授新课
（一）平面点集基本概念
1.点集的基本概念
(1)的邻域,的去心邻域
(2)聚点、内点、孤立点、外点、边界点、边界
(3)闭集、开集；有界集、无界集
(4)区域、闭域
充分理解上述定义，得出以下结论：
1)内点必为聚点；2)聚点可能属于E，可能不属于E；3)孤立点必为边界点；4)有边界的不一定是有界集，无边界的必为无界集.
例1.7 (1)带形区域(图1-3)；(2)同心圆环区域(图1-4)
图1-3 图1-4
2.若当曲线
图1-5非简单曲线 图1-6简单曲线 图1-7非简单闭曲线
图1-8简单闭曲线 图1-9光滑曲线 图1-10 光滑闭曲线
（二）复变函数
1.定义(图1-11)
单值， 多值
图1-11
2.代数式，指数式
例1.8 设有函数试问它把平面上的下列曲线分别变成平面上的何种曲线？(1)以原点为心,2为半径,在第一象限例的圆弧；(2)倾角的直线；(3)双曲线.
解 设，则(1)对应平面的图形为以原点为心，4为半径，在轴上方的半圆周(2)射线(3) ，故，所以在平面上的像为直线.
三、课堂练习
设函数 (1) (2),分别写成什么形式？
四、课堂小结
若当曲线与区域的概念；复变函数的概念
五、布置作业
P43—10、11
邻域为复数列与极限论的基础
此部分内容师生共同讨论完成
对于若当曲线，给出图形举例，省去繁琐而抽象的定义赘述
对比数学分析中
函数的概念,找到异同点
解释复变函数的图象需要四维空间，不能形象描述
提示学生前两题考虑模与辐角，
三题考虑代数关
系，师生共同讨论完成
学生总结本堂课知识，不足的教师补充
板 书 设 计
板书1
1、平面点集基本概念 结论
画图解释 2、若当曲线与区域
画图解释若当曲线
例题
板书2
画图解释区域 2、复变函数 例题
定义
两种形式
教学反思
章 节
1.3复变函数(二) 1.4复球面与无穷远点
授课班级
2015级数学教育 班
授课时间
20 年 月 日
授课类型
理论
学时数
学时
教学目的
1.理解复变函数的性质，会应用极限、连续解决相关问题
2.充分理解无穷远点与复球面的概念
3.培养学生类比、归纳的能力
教 学
重点和难点
重点：复变函数的极限与连续
难点：利用极限、连续的语言解决问题
教学(具)准备
三角板、圆规
教学方法
讲授法、讨论法
教学
主要内容
1.复变函数的极限与连续
2.利用极限、连续的语言证明相关结论
3.复球面与无穷远点
教 学 过 程 设 计
备 注
一、复习旧知、导入新课
提问：数学分析中函数极限和连续的概念
二、讲授新课
（一）复变函数的极限与连续
1.极限
注：指沿四面八方通向的任何路径趋近于.
定理1.1 的充要条件为
，.
证 由于有
，则 即，
由，有和于是
即
2.连续
例1.9 证明在原点无极限，从而在原点不连续.
解 . 设，则=.极限不存在，故在原点不连续
例1.10 设，则在的某去心邻域内有界.
析：要找到某一,使.由知有
.在此式中想解出，需要利用绝对值不等式 ，解出
例1.11 设，则在的某邻域内恒不为零.
析：即证，由有有想证利用绝对值不等式得
只需取即可.
此题过程由学生完成.
（二）复球面与无穷远点
1.无穷远点的引入：首节课引例3知球面上点在平面上无对应点，引入无穷远点与之对应，得到扩充复平面，与之对应的球面为复球面.扩充复平面的一个几何模型就是复球面.
2.
3.相关结论：复平面以点为唯一边界点，扩充复平面以点为内点，且它是唯一无边界区域.
三、课堂练习
设函数 试证：在原点不连续.
四、课堂小结
复变函数极限和连续的语言，复球面与扩充复平面的概念
五、布置作业
P44-14、15
对比数学分析中的相关定义
书上的证明过程比较简洁，不易理解，将详细证明过程板书演示
连续满足三点，和实函数相同
提问：如果设，可否证明得出相应结论？
两道例题由教师分析解题思路，证明过程由师生共同完成
提问：是否可取其他值？只要取都可证明
学生总结本堂课知识，不足的教师补充
板 书 设 计
板书1
1、复变函数的极限与连续 定理与证明 (2)连续定义
(1)极限定义
例1.9
板书2
例题1.10 例1.11 2.复球面与无穷远点
(1)复球面、扩充复平面定义
(2)邻域、去心邻域
(3)结论
教学反思
章 节
2.1 解析函数的概念与柯西-黎曼方程
授课班级
2015级数学教育 班
授课时间
20 年 月 日
授课类型
理论
学时数
学时
教学目的
1.掌握复变函数的导数与微分的概念
2.了解解析函数的概念，掌握判断解析函数的方法
3.培养学生类比、归纳的能力
教 学
重点和难点
重点：解析函数的判断方法
难点：解析函数必要、充要条件定理的证明
教学(具)准备
三角板
教学方法
讲授法、讨论法
教学
主要内容
一、复变函数的导数与微分
二、解析函数及其简单性质
三、C.-R.方程
教 学 过 程 设 计
备 注
一、导入新课
复变函数研究的主要对象为解析函数，它是一类具有某种特性的可为函数，本节我们来研究这类函数和它的性质.
二、讲授新课
（一）解析函数
1.导数
2.微分
结论：(1)在一点可导可微 (2)可微连续
例2.1 证明在平面处处不可微
证 ，当分别取实数和纯虚数时，极限不同，则极限不存在，从而在平面处处不可微.
例2.2 求的导数
（二）解析函数及其简单性质
1. 解析函数：在区域内可微，则称为内的解析函数
“解析”概念解释：
(1)在解析：在的某一邻域内解析；
(2)在区域解析：在区域可微；
(3)在闭域解析：在包含闭域的区域解析.
经过上述解释，可得以下结论：
(1)在解析在可微；
(2) 在区域解析在区域可微
2. 奇点：不解析点(无定义、不连续、不可导)
（三）柯西-黎曼方程
1. C.-R.方程的引出
假设是复变函数的一个定义在区域内的函数.当二元实函数给定时，此函数也就完全确定.一般说来，如果函数相互独立，即使函数对所有的偏导数都存在，函数通常仍是不可微的.例如，处处连续，并且对的一切偏导数都存在且连续，但却是一个处处不可微的函数.
提出想法：如果函数是可微的，它的实部与虚部应不是独立的，而必须适合一定的条件，下面我们来探讨这种条件。
探讨：若在一点可微，则有
(2.1)
设,则(2.1)变为
(2.2)
先设，则(2.2)式变为
即 (2.3)
再设，则(2.2)式变为
即 (2.4)
比较(2.3)与(2.4)得出 (C.-R.)
上述方程称为柯西—黎曼方程，简称为C.-R.方程.
2. 函数若在一点可微
必要条件：在满足C.-R.方程.
充要条件：①在可微；②在满足C.-R.方程.
充分条件：①在连续；②在满足C.-R.方程.
3. 函数若在区域解析
充要条件：①在区域可微；②在区域满足C.-R.方程.
充分条件：①在区域连续；②在区域满足C.-R.方程.
4. 求导公式
例2.3 讨论函数的解析性
解 ，故.又这四个偏导数在平面上处处连续，则只在可微，但在整个平面上处处不解析.
例2.4 讨论函数的可微性和解析性.
解 故，要满足C.-R.方程，必须，故仅在直线上满足C.-R.方程，且偏导数连续，从而仅在直线上可微，但在平面上处处不解析. 并且
三、课堂练习
试证函数在平面上解析，且.
四、课堂小结
函数在某点可微的必要、充要、充分条件；函数在某区域的充要、充分条件
五、布置作业
P90—3、4、5、8
提问数学分析中导数与微分的概念，类比得出复变函数相关概念
例2.2的求导法则和数学分析中一样，由学生完成
熟练掌握解析的概念
学生分组讨论，完成证明过程，体现师范学生的示范性
教师点睛
掌握函数解析性的一般方法，由学生总结步骤
学生总结本堂课知识，不足的教师补充
板 书 设 计
板书1
1、复变函数的导数与微分 2、解析函数及其简单性质
(1)导数 (1)解析函数
(2)微分 例2.2
例2.1
(2)奇点
板书2
3、柯西-黎曼方程 (2)函数在某点可微的各条件 例2.3
(1) C.-R.方程的引出
(3)函数在某区域可微的各条件 例2.4
教学反思
章 节
2.2 初等解析函数
授课班级
2015级数学教育 班
授课时间
20 年 月 日
授课类型
理论
学时数
学时
教学目的
1.掌握指数函数和三角函数的性质，并掌握其与实变函数的异同
2.会利用解析函数的性质解决一般复数性问题
教 学
重点和难点
重点：指数函数、三角函数的性质. 难点：复函与实函相应知识的不同.
教学(具)准备
三角板
教学方法
讲授法、讨论法
教学
主要内容
一、指数函数
二、三角函数
三、双曲函数
教 学 过 程 设 计
备 注
一、导入新课
上节课我们将数学分析中的知识平行推广到复变函数中，本节课我们来研究初等函数在复变函数中的推广，会得到一些性质，其中有与数学分析不同的新性质，利用这些性质我们可以解决一些复数性问题。
二、讲授新课
（一）指数函数
1.定义
2.性质 (1) ;
(2) ;
(3) 以为基本周期，以为周期;
(4) 无意义;
(5) 不满足Rolle定理，满足罗比达法则.
（二）三角函数
1.定义
教学设计：由欧拉公式启发学生思考怎样求出和，将以复数代替，便得到正余弦的定义.
2.性质 (1);
(2) 是奇函数，是偶函数，并满足三角恒等式;
(3) 都以为基本周期;
(4) 的零点为，的零点为;
(5) 在复数域无界.
（三）双曲函数
定义 双曲正余弦
记忆方法：正余弦定义中去掉所有的即可.
例2.5 求的值
解
=
=
例2.6 ，若
解 由已知有，即,
于是 所以 则 .
三、课堂练习
利用定义证明
四、课堂小结
指数函数与三角函数的性质，与数分的不同之处
五、布置作业
P91—10 P92-13、14
(1)(2)学生回答;(3)给出基本周期和周期的概念，证明由学生完成,强调与数分中不同;(4)举例说明;(5)回忆数分相关知识, Rolle定理和罗比达法则，由学生验证
(2)验证和差化积公式之一;(3)由学生讨论并验证;(4)求解有难度,教师板演一个,另一个由学生完成;(5)反例无界,强调与数分中不同
双曲函数为选修内容
按照正余弦定义解决此类型问题
学生总结本堂课知识，不足的教师补充
板 书 设 计
板书1
1、指数函数 性质相关证明
(1)定义
(2)性质 2.三角函数
(1)定义
(2)性格
板书2
性质相关证明 3.双曲函数 例2.6
例2.5
教学反思
章 节
2.3 初等多值函数
授课班级
2015级数学教育 班
授课时间
20 年 月 日
授课类型
理论
学时数
学时
教学目的
1.明确对数函数和一般指数函数的概念
2.会求一个复数的对数和复指数
教 学
重点和难点
重点：复对数的求法. 难点：将一般指数函数归为求解复对数.
教学(具)准备
三角板
教学方法
讲授法、讨论法
教学
主要内容
一、对数函数
二、一般指数函数
教 学 过 程 设 计
备 注
一、导入新课
前几节课我们研究了初等解析函数，它们分别是指数函数、三角函数、双曲函数，这三类函数均为单值函数。本节课介绍两种多值函数——对数函数和一般指数函数.
提问：指数函数和三角函数的定义.
二、讲授新课
（一）对数函数
1.定义 指数函数的反函数即为对数函数，称为复数的对数，记为
2.求解公式推导.设 则变为，即，于是有 得出对数公式
主值
问：“负数无对数”在复数域是否成立？
例2.7
例2.8
（二）一般指数函数
1.定义 称为一般指数函数.
2.求解方法
例2.9 (1)
(2)
三、课堂练习
1. 求
2. 解方程(1)
(2)
(3)
(4)
3. 试求之值.
四、课堂小结
1.对数函数的求解方法
2.一般指数函数的求解方法.
五、布置作业
P93—20、24
找学生回答定义，巩固上节课的内容
提示注意区别
在设时，让学生思考设代数式还是指数式，学生讨论完成
负数也有对数，强调与实变函数的不同之处
例2.8由学生完成，并复习主辐角的求法
对比高中数学中的对数恒等式，提示注意区别
由学生板演，教师点评
学生总结本堂课知识，不足的教师补充
板 书 设 计
板书1
1、对数函数 练习
(1)定义
(2)求解公式推导 例题
板书2
2.一般指数函数 例题 练习
(1)定义
(2)求解方法
教学反思
章 节
3.1 复积分的概念及其简单性质
授课班级
2015级数学教育 班
授课时间
20 年 月 日
授课类型
理论
学时数
学时
教学目的
1.充分理解复积分的概念
2.会求简单的复积分
3.培养学生利用已知探索解题方法的自主学习精神
教 学
重点和难点
重点：复积分的计算. 难点：参数思想.
教学(具)准备
三角板
教学方法
讲授法、讨论法
教学
主要内容
一、复积分的定义
二、复积分的计算
三、复积分的性质
四、积分估值
教 学 过 程 设 计
备 注
一、导入新课
复积分是研究解析函数的一个重要工具，积分的概念和数学分析中积分的概念相似。提问：在数学分析中积分是如何定义的？分几个步骤求解？
二、讲授新课
（一）复积分的定义
1.准备知识
(1)周线：逐段光滑的简单闭曲线.
(2)方向：“反时针”为正，“顺时针”为负.
2.定义 设有向曲线以为起点，为终点，沿有定义.顺着从的方向在上取分点：把曲线分成若干个小弧段.在从的每一段弧上任取一点，作和数.当分点无限增多，而这些弧段长度的最大值趋于零时，如果和数的极限存在且等于，则称沿可积，而称为沿的积分，并记为.为积分路径.
3.注意 (1)若存在，一般不能写成，因为积分和路径有关.
(2)可积的必要条件是有界.
（二）复积分的计算步骤
1.写出积分路径的参数方程.
2.代入
3.计算此实积分.
例3.1 计算积分.(1)连接由0到的直线段 (2)连接0到1以及1到的直线段所组成的折线.
解 设点1为,点为
(1),
(2)
（三）复积分的基本性质
1.
2.
3. ，由衔接而成
4.
5.
（四）积分估值
定理3.1 连续，存在使，为之长，则.
三、课堂练习
证明
四、课堂小结
复积分的定义，计算方法，基本性质，积分估值
五、布置作业
P141—1，P142—2(1)(2)
定积分的求法：分割，近似求和，取极限
周线的概念为第二节做准备
由学生回忆数学分析中相应概念，对应着模拟出复积分的概念，教师给予及时评价
让学生考虑如果积分路径是顺时针，结果会怎样？
例题说明，即使起点终点一样，只要积分路径不同，结果就可能不同
将数学分析中的性质平移过来，让学生找出它们的异同
学生总结本堂课知识，不足的教师补充
板 书 设 计
板书1
1、复积分定义 (3)注意 例题
(1)准备知识
(2)定义 2.复积分的计算
步骤
板书2
3.复积分的性质 例题 4.积分估值
教学反思
章 节
3.2 柯西积分定理
授课班级
2015级数学教育 班
授课时间
20 年 月 日
授课类型
理论
学时数
学时
教学目的
1.掌握柯西积分定理及其3个推广
2.培养学生发现和延拓知识的能力
教 学
重点和难点
重点：柯西积分定理. 难点：定理的证明.
教学(具)准备
三角板
教学方法
讲授法、讨论法
教学
主要内容
一、柯西积分定理
二、不定积分
三、柯西积分定理的推广
教 学 过 程 设 计
备 注
一、导入新课
上节课我们讲到若积分路径不同，积分值也可能不同，本节课我们来研究积分值与积分路径无关的情况.
二、讲授新课
（一）柯西积分定理
1.准备知识
(1)单连通区域:在内任意画简单闭曲线，其内部都含于;
(2)周线:逐段光滑的简单闭曲线.
2.定理3.2(柯西积分定理) 设在平面的单连通区域内解析，为内任一周线，则.
3.定理3.3(柯西积分定理推广1) 设在平面的单连通区域内解析，为内任一闭曲线，则.
证 如图3-1，可看出曲线总可以看作由有限条周线衔接而成，于是有
由定理3.2知柯西积分定理的结论依然成立.
图3-1
推论3.4 在平面的单连通区域内解析,则在内积分与路径无关，即之值不依赖于内连接的曲线.
图3-2
证 是连接任意两曲线(如图3-2),则衔接成内一闭曲线.于是有，移项即得证
（二）不定积分
1.变上限积分 (定点，动点)
2.的关系.
定理3.5 在单连通区域内解析,则在内解析，且.
分析证明，即证，即证下式成立.
证 以为心作一个含于内的小圆，在小圆内取动点，于是
(3.1)
又因为 (3.2)
(3.1)减(3.2)得 .
根据在内的连续性，对于任给的，只要开始取的那个小圆足够小，则小圆内一切点均符合条件，于是有.即，即.
3.不定积分
(1)定义 如果函数连续，则称符合条件的函数为的一个不定积分或原函数.
(2)牛顿-莱布尼茨公式
（三）柯西积分定理的推广
1.柯西积分定理推广2
定理3.6(柯西积分定理等价定理) 设是一条周线，为之内部，函数在闭域上解析，则.
证 (i)由定理3.2推证定理3.6.由定理3.6的假设，函数必在平面上一含的单连通区域内解析，于是由定理3.2就有
(ii)由定理3.6推证定理3.2.由定理3.2假设：“函数在单连通区域内解析，为内任一周线”，设为之内部，则必在闭域上解析.于是由定理3.6有.
定理3.7(柯西积分定理推广2) 设使一条周线，为之内部，则在内解析，在上连续，则.
2.柯西积分定理推广3
(1)定义 考虑条周线，其中中每一条都在其余各条的外部，而它们又全都在的内部.在的内部同时又在外部的点集构成一个有界的连通区域，以为它的边界.在这种情况下，称区域的边界是一条复周线.(图3-3为的情形)
图3-3
(2)定理3.8(柯西积分定理推广3) 设是由复周线所围成的有界连通区域，函数在内解析，在上连续，则有
，
或写成 (3.3)
或写成 (3.4)
（式(3.4)意义为沿外边界积分等于沿内边界积分之和）
证 取条互不相交且全含在内的光滑弧段作为割线.用它们顺次地与连接.设想将沿割线割破，于是就被分成两个单连通区域(图3.3为的情形)，其边界各是一条周线，分别记为.由定理3.7，有.二式相加得.从而有(3.3)和(3.4)成立.
例
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