于基基梁和约束梁的平衡方程被动约束层阻尼1pcld技术--毕业设计.doc

广 西 工 学 院 2011 届 毕 业 论 文目 录目 录0第1章 绪 论31.1课题研究的背景和意义31.2目前国内外的研究现状41.3本文的研究思路及内容7第2章 数值方法和基本理论82.1 精细积分算法82.1.1引 言82.1.2 精细积分法的基本原理92.1.3指数矩阵的精细算法112.1.4精细积分法的研究现状132.2 传递矩阵法14第3章 被动约束层阻尼梁的控制方程153.1 PCLD梁的控制方程153.2 粘弹阻尼层的剪切应变173.3 粘弹阻尼层的法向平衡方程183.4 基梁和约束层的中面作用力183.5 PCLD梁的整合一阶常微分矩阵方程19第4章 被动约束层阻尼梁的动力学特性分析254.1 精细积分法求解254.2方法验证264.3阻尼层厚度和约束层厚度对动力学响应的影响26结 论30参考文献31致 谢35附 录36摘 要被动约束层阻尼(PCLD) 技术被广泛用于航天航空、航海、交通运输和土木建筑等领域的结构振动控制中，它具有控制频率宽、可靠性高、鲁棒性强、结构简单和成本低的优点。本文基于基梁和约束梁的平衡方程，考虑被动约束层阻尼（PCLD）的剪切耗能以及层间的相互作用力，通过对各状态向量进行无量纲化处理，导出了适用于一般情况的PCLD梁的谐激励作用下的整合一阶常微分矩阵方程。他的8个状态变量都具有明确的物理意义，由梁的位移和内力组成。通过将该模型和其次扩容精细积分法结合构建一种高效率和高精度的半解析半数值方法，得到系统的固有频率和损耗因子。与解析解结果进行了对比，验证了该方法的有效性和正确性。并对PCLD梁结构进行了动力学分析。关键词： 被动约束层阻尼梁 一阶常微分矩阵方程 精细积分法 ABSTRACTPassive constraint layer damping (PCLD) technology has been widely used in aviation, maritime, transportation and civil buildings and other field areas of structural vibration control. It could be effective in a wide frequency band. Meanwhile, it is high reliable and robust, simple structure with low cost. Based on the equilibrium equations of the base beam and constrained layer beam, by considering the energy consumption relationship of the passive constrained layer damping (PCLD) and shear forces acting between the interface, this paper deduces the control equations of a PCLD beam by dimensionless processing on each state vector. It is applicable to the general situation for PCLD beams under harmonic excitation. Furthermore, the control is represented in the form of first-order ordinary differential matrix equation , in which the unknown variables are consist of eight state variables. Each state variable has distinct physical meaning and is composed by the displacements and internal forces of the PCLD beam. On the basis of the control equations, combining with the precise integration method, a semi-analytical method is developed, to get the natural frequencies and the corresponding loss factors of PCLD beams. Compared with the analytical solutions, the numerial results is verified to be correct and effective by using the semi-analytical method. Finally, dynamic analysis of the PCLD beam structure is carried on.KEY WORDS：Passive constrained layer damping beam First order ordinary differential matrix equation Precise integration method第1章 绪 论1.1课题研究的背景和意义振动与噪声现象普遍存在于人们的生产和生产之中，振动的危害几乎涉及到国民经济的各主要商业领域，航空航天中的飞行器与太空 结构、航海中的船舶、土木界的桥粱与房屋、机械行业的机床与刀具、各种交通工具以及动力机械等，都在以特有的形态进行着振动。很多机器设备由于振动造成破坏或者报废，造成了巨大的经济损失。因此改善、控制这些振动具有重大的意义1。振动和噪声的控制问题非常复杂，振动力系统中减少振动和噪声的方法有很多，大体可以分为主动控制、被动控制和半主动控制2。主动控制法是使用一些活性元件，例如应用扬声器、激振器和微处理器产生状态输出信号来减少扰动，那些没有适时主动运算法则的方法都被纳入被动控制方法。在半主动方法中，主动控制主要是用来提高被动元件的阻尼特性。如电流交换(ER)、磁流交换（MR）和主动约束阻尼，在这种方法中约束层用灵敏材料代替。因为主动和半主动减振技术的成本太高，而且藏体内的声音场过于复杂，它们在汽车和商用航空业的大量应用很缓慢，相比之下，被动阻尼的应用更简单有效。对结构进行阻尼处理是工程上用来控制结构振动的一种有效方法。最简单的阻尼形式是在原基体结构表面粘黏弹性材料或喷涂一层大阻尼的材料而构成自由阻尼层。当结构发生振动时，阻尼层因发生应变而将振动的能量转化为应变能并以热的形式进行耗散，构成的阻尼层结构具有减振和防噪声的效果。现已被广泛用于航天航空、航海、交通运输和土木建筑等领域，研究阻尼层结构的震振动效果具有重要的现实意义。从六十年代初期，被动阻尼技术应用一直在非商业的航空领域占有统治地位，随着仿真分析和实验技术的快捷有效的发展，在材料和结构动力学特性方面的分析计算也越来越精确，这带动了被动阻尼技术更广阔的领域中应用。根据实际需要的不同，结构粘弹阻尼的敷设可有如下几种形式：(1)自由阻尼层敷设(如图1.1(a)所示)：直接将粘弹性材料粘贴或喷涂在需要减振的结构元传的表面上。(2)约束阻尼层敷设(如图1.1(b）所示)：在阻尼层外再加上一层约束层（弹性层）。(3)多阻尼层敷设(如图1.1(c)所示)：结构中有多层阻尼。(4)不连续阻尼(局部阻尼)敷设(如图1.1(d)所示)：图中所示的是不连续的自由阻尼层敷设，当然也可以是不连续的约束阻尼层敷设。约束阻尼结构的研究从约束阻尼粱的动力学理论扩展到板、壳等复杂结构，并建立了考虑多种变形因素和惯性因素的复杂模型，国内外学者提出了大量理论。虽然对约束阻结构的运动方程和边界条件研究己经较为深入，但由于涉及到在复数域内求解高阶非线性方程组，对它们求解还存在很大的计算上的困难。目前，考虑多种变形因素和惯性因素的梁、板和壳结构模型只有在模态振型为实数的边界条件下(如简支)才可求解。而随着计算技术的发展和计算机的广泛应用，数值计算己成为当前结构分析的强有力工具。而在本课题中，利用线弹性究弹性-粘弹性复合结构的振动特性。讨论和分析了结构边界条件、结构几何尺寸对结构动力学特性的影响。图1.1 结构粘弹阻尼敷设形式1.2目前国内外的研究现状关于机械结构的减振问题，约束阻尼层(Constrained Layer Damping，CLD)是一种常用且有效的方式。早期理论可见于1959年Kerwin3将阻尼层放在两平板中成为三层系统，考虑梁的横向位移以正弦函数表示，且同时以复数的方式去表示梁的弯曲刚度，研究阻尼层在三层结构所形成的阻尼减振效应。1965年DiTaranto4推导了在有限长度下含弹性层和粘弹性层梁所受到弯曲变形所产生的振动分析理论。1969年Mead和Markus5分析具有粘弹性夹层简支梁受载荷弯曲振动的模态。约 束 层 阻 尼 （CLD）分 为 主 动 约 束 层 阻 尼 （ACLD，约 束 层 采 用 压 电 材 料 ）和 被 动 约 束 层 阻 尼 （PCLD，约 束 层 采 用 普 通 弹 性 材 料 ）两 种 ，而约束阻尼层中粘弹性材料的粘弹特性来吸收损耗振动能量，达到有效抑制结构振动和噪音，被称为被动式约束阻尼层(Passive Constrained layer Damping，PCLD)结构。许多学者进而修正或推广上述理论于其他应用上。例1972年Yah和Dowell6在板与粱结构上的研究。1978年Douglas与Yang7建立横向压缩阻尼的数学理论模型且应用于粘弹性夹层梁，以实验解析相互验证粘弹性层阻尼效应：这种复数模型亦被Van Nostrand和lnman8所采用。同年，Rao9使用能量法推导出夹层粱的运动方程，Rao更考虑了夹层梁的剪切应变能与所受弯矩、拉伸产生的能量，利用哈密顿原理(Hamiltons principle)得到一个六阶微分方程，并获得在不同边界条件下的微分方程解。1988年Lall10等人用Marlms方法和Rayleigh-Ritz方法和经典欧拉梁法探讨了部分覆盖夹层梁对固有频率与损耗因子的影响。1991年Mead和Yaman11研究了三层方板结构的谐响应分析。1993年Rao与He将其理论推广至多层阻尼梁结构12。 对于复合结构的动力分析，Trompette等13 研究了局部敷设粘弹性约束阻尼层梁的振动和阻尼，并对阻尼进行了优化。Johnson等14用复特征值法和模态应变能法研究了夹层梁，用模态应变能法研究了夹层环和夹层板，在附录中对两种方法进行了理论对比。Roy等14对约束阻尼层圆形板进行了振动和阻尼分析。Ravi等15研究了两端固定的局部或全部敷设自由阻尼层和约束阻尼层梁的动态响应，应用的是模态叠加法。Babe等16研究了简谐激励下的粘弹性夹层梁。Shin等研究了约束阻尼层板在简谐激励下的振动响应，分别用模态应变能法和直接频率响应分析法进行了计算，并进行了实验研究。Wang等17对对称和非对称粘弹性夹层环形板复合结构的振动和阻尼性能进行了分析。Yang等18用用有限元方法对运动中的夹层粱作了振动和动态稳定性分析，并研究了其损耗因。Mead19研究了评价约束阻尼和自由阻尼梁和板的损耗因子计算的精确方法。到90年代，主动约束层阻尼（ACLD）开始得到更多的关注。ACLD结构使用主动元件（通常是压电层）来代替或添加在被动约束层上，以提高阻尼能量耗散。于此，提出了一些ACLD的解析公式。其中，Baz 和Shen 建立的数学模型是应用最广泛的。Baz20导出了全敷设和部分敷设ACLD Euler-Bernoulli梁在弯曲振动时的六阶常微分控制方程，而Shen21的数学模型则描述了敷设有ACLD的Euler-Bernoulli梁在弯曲和轴向运动时的耦合特性。最近，Huang22等与后来的Gao 和Shen23使用假设模态法和闭环速度反馈控制律，得出了通过部分敷设自适应ACLD块控制悬臂梁振动的运动方程。基于这些模型进行了各种解析和数值分析，ACLD的可行性和性能也由试验得到确定。而在振动结构的主动和被动约束层阻尼的敷设方式的优化设计方面，学者们也进行了大量的工作研究。这些努力旨在于，通过确定最佳的材料和几何参数来获得最大限度的模态阻尼系数和模态应变能量，或通过选择最优的长度和位置，使得敷设重量尽可能小。例如，Baz和Ro24用单变量的搜索方法，分别优化了采用比例微分控制器时的全敷设ACLD梁的敷设性能，以此选择粘弹层的最优的厚度和剪切模量，以及控制增益。Marcelin等25用遗传算法和梁的有限元法，以最大限度地增加局部梁的阻尼系数,设计变量为敷设块的尺寸和位置。数学上，CLD块的布局优化可定义为一个非线性优化问题为：找设计变量，也就是，敷设块的长度和位置，经过一个CLD允许附加重量的不等式约束，使得一个目标函数，敷设CLD结构的振动响应，最小。有很多优化算式、研究方法可以用来解决这个问题。大多数现存的优化算法被设用来找到一个局部最优。其中一个例子就是序列二次规划算法，它已被证明对多数最优化问题，是稳定的和有效的。在国内，许多学者也对阻尼层做了大量的研究，陈前26提出了复合结构的“对偶保守结构”概念，取“对偶保守结构”的固有频率作为复合结构共振频率初值，并将“对偶保守结构”的模态向量用于模态应变能法来计算损耗因子初值，由此得到复特征值初值，进入局部线性化逆跌代过程。李军强27利用扩阶状态变量，提出了一种弹性粘弹性复合结构动力响应的分析方法。高淑华等28利用通用的FEM程序探讨了粘弹性结构动力学分析的等效粘性阻尼算法。刘天雄29等对约东阻尼层板的有限元建模进行了研究，并与经典GHM方法和实验方法进行了对比，计算结果准确。邓年春30等基手虚功原理，提出了一种新的建立约束阻尼板结构动力学有限元模型的方法。钱振东31等分析了简支矩形板的固有振动，讨论其振动特点。曾海泉等32介绍了几种典型的复合阻尼结构，并用振动控制理论对其中的一些结构进行了分析。冉志等33提出了一种新的计算弹性-粘弹性复合结构随机响应的各阶谱矩的计算方法，分析了粘弹性对备阶谱矩的影响。陈国平等34研究附加约束阻尼后梁的振动分析。在引入的位移模式中考虑了附加部分对原结构运动的相对特性和阻尼层的横向剪切效应，据此推导了附加阻尼层后梁的运动方程和边界条件。通过对简支梁的固有振动分析，讨论了其振动特点。李 恩 奇 、唐 金 国 等35 基 于Hamilton原 理 提 出 了一 种 分 析 PCLD 梁 动 力 学 问 题 的 传 递 函 数 法 ，建 立 了 以 位 移 及 其 高 阶 导 数 为 状 态 向 量 的一 阶 常 微 分 矩 阵 方 程 ，这 对 拓 展 传 递 矩 阵 法 或 传 递 函 数 法 的 应 用 范 围 起 到 了积 极 的作 用 。近年来，随着国外各类大型结构动力分析计算程序的研发应用，有限元分析技术开始被引入到粘弹性阻尼结构的动特性分析中。结 构 的 建 模 和 分 析 方 法 方 面 ，从 目 前 已 发 表 的 文 献 来 看 ，主 要 以 有 限 元 法 居 多。运用有限元分析的方法研究、计算粘弹性阻尼结构的动特牲，可以很方便的处理各种结构形式和边界条件，并利用计算机迅速地得到满足工程精度要求的数值解，因此在应用上有明显的实用意义。但 有 限元 法 却 存 在 离 散 变 量 和 自 由 度 过 多 而 导 致 太 费 机 时 ，且 由 于 采 用 低 阶 形 函 数 离 散 插 值 ，高 频 响应 精 度 差 ，故 仅 适 用 于 中、低 频 范 围 。1.3本文的研究思路及内容本 文 从 梁 的 基 本 方 程 出 发 ，计 及 粘 弹 层 剪 切 耗 能 的 影 响 和 层 间 相 互 作 用 ，导 出 了PCLD 梁 在 最 一般 情 况 下 的 整 合 一 阶 常 微 分 矩 阵 方 程 ，方 程 中 的 8个状 态 变 量 包含 了 全 部 独 立 的 位 移 变 量 和 内 力 变 量 ，可 以 很 方 便 地 直 接 用 于 几 乎 所 有 的 边 界 支 承 条 件 和 任 意 间 断 布 置 P C L D覆 盖 层 的 问 题 。该 模 型 的 建 立 ，为 后 面 采 用精 细 积 分 法 求 解 PCLD 梁 的 动 力 学 问 题 奠 定 了 基 础 。主要内容有：1、 第1章主要是介绍本文的研究背景及其意义，通过查阅资料，大概总结了国内外学者在PCLD和CLD梁问题及解决问题的数学方法本文的研究成果。2、第2章主要介绍了本文本文所用到的方法和理论。3、第3章基于线弹性理论，通过对梁的一般模型进行分析研究，得出梁的微分平衡方程，通过对其状态向量无量纲化处理，得到梁的一阶状态向量常微分矩阵方程。4、第4章根据齐次扩容精细积分算法，对PCLD梁的控制方程进行求解，并了解约束层和黏弹层的几何参数对其阻尼特性和动力学响应的影响。5、最后对全文进行总结。第2章 数值方法和基本理论2.1 精细积分算法2.1.1引 言 从2 0世纪7 0年代开始，为研究结构的动力学响应，研究者提出了大量的数值时间积分格式。这些格式主要基于两种思想36:第一，时间离散，不是在任意时刻去满足控制方程，而只是在离散时刻来满足控制方程；第二，在每个时间每隔内，位移、速度和加速度变化基于一定合理的近似。这些直接积分格式，如差分方法，线性加速度法等，广泛应用于工程实践中。然而这些方法都有缺点，比如这些格式只有一阶或二阶精度， 因此在高频段其精度要变差。同时， 这些格式都有内在的算法阻尼， 这阻尼起到两方面作用，一方面有效的滤除了高频成分对系统响应的影响，另一方面当高频成分与系统响应相关时，它会扭曲高频响应。 为克服上述问题，钟万勰37提出了精细时间积分法，这种方法可以达到任意阶的精度。在线性时不变齐次动力学系统中，在积分点上能够给出精确的数值结果。然而当它应用在非齐次的动力学系统上时， 算法的精度由矩阵求逆和施加的载荷所决定。当施加的载荷通过分段线性来模拟时，就是线性的精细时间积分法法(Precise Time Step Intergrafion-Linear，PTSIM-L)。Lin等38出了非齐次项为Fourier级数形式的精细积分法，称为FIS1MF，其中F表示Fourier。对于非齐次动力方程涉及到矩阵求逆的困难，计算精度取决于非齐次项的拟合精度等问题，这些问题的存在限制了精细积分方法的广泛应用。为了解决这个问题， 提出了增维精细积分法39，将非齐次项看作状态变量，从而将非齐次方程转化为齐次方程，而增加了系统维数， 增大了矩阵的存储量，同时还与载荷的形式有关。汪梦甫等将高斯积分法和精细积分算法中的矩阵指数计算方法结合在一起，提出了一种改进的精细积分法。新的精细积分方法只需进行指数矩阵运算， 避免了矩阵求逆问题， 无需对齐次项进行数学拟合，这个积分格式的计算精度取决于高斯积分点的数量，从理论上说，这种算法可达任意高精度。 2.1.2 精细积分法的基本原理在工程实践中，经常需要对变截面梁或变截面轴进行动力分析，求其横向振动的固有频率。为了简化计算，将变截面梁看成一系列集中质量、无质量的梁和支承一个接着一个连接而成的系统。这种力学模型显然是不精确的。为提高计算精度，势必要增加分割单元的数目，则计算工作量随之而增加。如果采用连续体力学模型来计算变截面梁横向振动的固有频率，则计算精度必然大为提高。但按传统的计算方法是很繁琐的：按梁的不同刚度分段分别建立以挠度表示的高阶微分方程；考虑段与段连接处内力、变形的连续条件，求出此高阶微分方程的通解；再由梁两端边界条件，最后求出梁自由振动时各阶固有频率。求解方程过程复杂，难以编制适合于不同形状、刚度的变截面梁求解固有频率的通用计算机程序，不利于工程设计的应用。下面将介绍一种变截面自由振动的精细积分法，它将变截面梁沿长度分割成很多微梁单元（单元的份数由计算的精度和截面参数的变化程度而定），每个单元采用上述等截面梁力学模型，建立一个一阶线性齐次方程，然后采用精细积分法求解。多自由度系统的运动方程方程: （2-1）引入变换： （2-2）将式(3-2)代入式(3-1)得： （2-3） 故式（2-2）和（2-3）整合起来可以写为： （2-4）简写为： （2-5）其中： 式（2-5）是结构动力学响应方程，其通解为： （2-6）引入指数矩阵： （2-7） 为精确计算式(2-7)，将式(2-7)化为： （2-8）其中可选用，由问题看出，本来是不大的时间区间，从而将是更小的时间区段。对于时间区段，运用Taylor展开，有： （2-9）其中， ，这里的L表示Taylor展开的截断阶段。将式(2-9)代入式(2-8)， 从而有： (2-10)由2的递推规律： 这里的 故式(2-10)可以通过下式计算： (2-11)一般取的计算就已经足够精解了。对于齐次方程，此时式(6)右端的积分项为零，对于时不变系统，日是常矩阵方程的通解形式为: （2-12）令时间步长,则 （2-13）由上面的方法精细地算得 T矩阵后，时程积分就变为： （2-14）而对于非齐次方程，若非齐次项r在时间步内为线性，即方程为: （2-15）可表示为: (2-16)非齐次项向量为 r：,其中和为常向量，则精细积分公式为： (2-17)其中：,如果非齐次项向量可展开为下述的Fourier级数形式 (2-18)其中为Fourier级数的项数，则精细积分公式为： (2-19)其中 , 式(2-16)、(2-17 )、(2-19)的计算涉及一系列矩阵运算， 即使非齐次项为常数也是如此。其中有关矩阵求逆的运算， 引起程序实现的困难， 特别是求逆过程可能产生数值不稳定， 甚至逆矩阵不存在， 这是十分不利的。因此在精细积分中要设法避免矩阵求逆的运算。2.1.3指数矩阵的精细算法在结构动力、优化控制等问题中，通过变换都可以将运动（控制）微分方程写成状态向量形式 (2-20)式中，为阶状态向量；是阶常数矩阵；为阶载荷向量（或控制微量）。 当时，一阶线性常系数齐次微分方程组的解可写成 （2-21） 当积分步长时，指数矩阵（或传递矩阵）为 (2-22) 因此，如何精确地求得指数矩阵（或传递矩阵）的值，就成为这类方法的核心。 钟氏精细算法中其要点是利用加法定理，取，将矩阵缩小后，保证用泰勒级数展开计算的可靠性。 （2-23）式中，；表示单位矩阵，同时将式（2-23）作如下形式的分解 （2-24）由于 (2-25)因此式（2-24）和（2-25）相当于循环语句 for (;) (2-26)当N次循环结束后有 (2-27) T=exp(A)能获得高精度计算结果的根本原因是： 数值计算的相对误差不随递推过程的进行而扩散。指数矩阵T=exp(A)的计算精度取决于的计算精度以及矩阵的谱半径和积分步长的大小，所以通过选取适当的N(m=2)和积分步长的大小， 能够使计算结果达到很高的精度，甚至达到计算机所能表达的满精度。2.1.4精细积分法的研究现状在哈密顿体系下,钟万勰院士在九十年代初提出了精细时程积分法,该方法放弃了求解动力方程常用的差分格式，其求解一种齐次常系数线性微分方程组的精度很高，是其他时程积分方法无法比拟的，其数值解甚至可与精确解相比。该法不仅是相容的、收敛的，同时还具有很好的稳定性、零振幅衰减率、零周期率以及无超越性等优良特性，它为结构动力系统的高精度计算开辟了新的途径，从特性上而言，精细积分方法不仅适合频率密集的大型柔性结构，而且也适用于大型复杂结构在突加荷载或冲击荷载作用下的瞬态响应分析。由于精细积分法的数值结果的高度精确，已经在结构动力分析、优化控制、 偏微分方程的精细求解、非稳态随机动力学等领域得到了广泛应用。可以肯定，随着对这一方法在计算精度估计、计算效率以及并行计算技术等方面的进一步研究，它在各个方面都得到很广泛的应用。除了应用于自动控制理论中，在其他的一些领域，如动力学响应求解、瞬态热传导等问题，也得到了很多研究与应用。此外很多学者对工程领域中精细积分的应用效率以及实用性也进行了研究在精细积分法效率、精度及稳定性方面，陈奎孚、张森文等讨沦了算法的参数选择问题；汪梦甫等研究了精细积分的稳定性；赵丽滨、王寿梅等研究了该算法稳定性及精度问题，同时还给出了精细积分参数优化公式；董聪、丁李粹等揭示了动力学系统精细算法高效率、高精度的逼近机理以及误差界。张淘安、姜节胜基于线性方程的精细算法思路，对具有惯性、阻尼、刚度非线性的动力方程提出了线性化迭代算法；赵秋玲给了精细积分法在求解非线性动力学问题上的原则和基本方法。吕和祥、裘春航和蔡志勤等在哈密顿体系下，对结构动力方程的精细求解方面作了大量研究。顾元宪、陈飙松等在瞬态热传导方程求解中引入精细算法，对精细积分算法在瞬态热传导问题中的应用作了探讨。2.2 传递矩阵法 传递矩阵法由于其建模灵活，计算效率高，无需建立系统的总体动力学方程等优点，被广泛应用于解决诸如转子动力学等领域的线性链式、时不变系统的动力学问题，并逐步被推广到弹性结构力学、多体系统动力学11。 梁是工程中常用的也是极为重要的结果元件，其相关力学为题的求解一直是固体力学研究的一个重要内容。在结构工程中，常遇到连续梁的动力分析。目前，有两种常用的分析方法：解析法和数值法。有限元是最有效的数值方法之一，它可以处理各种边界条件的连续梁，但是它的缺点是如果要获得高精度的数值解，必须将单元细分，随之而来的是未知量剧增；需求解大型特征值问题时，对计算机内存和速度要求较高。如连续梁的两对边简支，利用傅里叶级数展开获得解析解，这时将中间支座的反力作为未知量。应用这种方法求解时，随着跨数的增加，计算将十分复杂。传递矩阵法是利用微型计算机求解复杂结构的有效方法，它具有分析简单，计算量小的优点。 传递矩阵法的计算原理和方法实现，可以发现该法的力学概念非常清晰、只需通过一系列矩阵相乘，即可实现梁与板壳结构内力和位移的求解。只是，在运用计算枧进行数值计算时如果矩阵连乘次数过多可能造成求解结果精度的下降，为此需要对各参量进行无量纲化处理。第3章 被动约束层阻尼梁的控制方程3.1 PCLD梁的控制方程如下图所示PCLD梁（以矩形截面梁为例）剖面图，PCLD梁由弹性基层、粘弹层、约束层三层组成，其厚度分别为、，横面积分别为、，截面惯性矩分别为：、，基梁长度为。基梁，粘弹层和约束层的材料密度分别为、，杨氏模量分别为、。为了简化，做如下假设：（a）不计PCLD梁厚度方向的挤压线性应变，三层材料沿径向的位移相同；（b）各层之间粘结完好没有滑移，层间位移连续；（c）粘弹阻尼层只考虑主要的横向剪切变形，略去其拉压和弯曲刚度；（d）在粘弹阻尼层中只考虑横（径）向振动惯量，面内惯性忽略不计。图3-1 层合梁示意图基梁 (1)粘弹层(2)约束层(3)在谐激励作用下，基梁的平衡方程可写成： （3-1）式中，分别表示基梁上单位长度的梁内力、弯曲内力和剪切力幅值；，分别表示基梁沿x、y方向的位移幅值；表示梁的弯曲转角；为密度；，为作用在x、y方向的面力幅值。将上式做无量纲处理，并引入无量纲变量，则上式可写成矩阵的形式，如下： （3-2）其中，系数矩阵 。可得到基梁控制方程为 （3-3）式中，表示外谐激励频率。同理，约束层的控制方程可写为： （3-4）3.2 粘弹阻尼层的剪切应变由（，）和（，）分别表示基梁和约束层中面沿X，Y两个方向的位移幅值。根据前面的假设，可以推导出粘弹层内沿x方向的剪应力幅值为 （3-5） （3-6）式中，为粘弹层的复剪切模量。图3-2 层合壳变形协调关系Shell(1)VEM(2)CL(3)3.3 粘弹阻尼层的法向平衡方程对于粘弹层，根据前面的假设，不计其抗拉、抗弯刚度，记及其方向惯性，忽略面内惯性。由图3的受力图，可以写出在频域内的法向平衡方程： （3-7）式中，表示基层和粘弹层之间的法向相互作用力；表示约束层与粘弹层之间的法向相互作用力。约束层（3）粘弹芯（2）基壳层（1）图3-3 层合梁之间的法向相互作用力图3-4 粘弹芯中的剪切力3.4 基梁和约束层的中面作用力 在基梁方程（3-3）和约束层方程（3-4）中，中面作用力、及、包含了外激励力和各层之间的相互作用内力。从粘弹层的中面截开，图4是粘弹层剪切力的作用示意图，其表达式已经由（3-6）给出，将式（3-6）用Fourier级数展开，并引入无量纲变量后，得： （3-8）综上所述各层间的法向和切向相互作用力（如图3、4所示），基层和约束层的中面力、及、可以写成： （3-9a） （3-9b）其中，（3-9a）式和（3-9b）式中含的项为计及偏心影响带来的等效剪力。、分别表示作用在基层和约束层中面上各方向的外激励力幅值.3.5 PCLD梁的整合一阶常微分矩阵方程式（3-9）中不仅包含有可以用其他变量表示的剪切力（式3-8），同时还包含有未知的法向相互作用力和。正是因为这两个未知的内力，使得微分方程（3-3）和（3-4）无法直接求解，因此需要利用式（3-6）将他们从基梁和约束层的控制方程中消掉才能建立直接求解的控制方程，只是很重要的一步。式（3-3）和（3-4）可写为：（1）基梁控制方程 （3-10） （3-11） （3-12） （3-13） （2-14） （3-15）（2）约束层梁控制方程 （3-16） （3-17） （3-18） （3-19） （3-20）