§4.1---A-B-C系统磁链的电压方程式.doc

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§4 同步电机的动态分析
在同步电机的暂态过程中，其运行参数（电压、电流、磁链、转距和转速等）的微分方程有多种表达形式。在同步参考坐标系即d、q、0坐标系中的一组方程式被称为同步电机基本方程式。这组方程式首先由Park提出，所以又称为Park方程式。它表明在d、q、0坐标系中，任意瞬间同步电机的电流、电压、磁链、转矩和转速等运行参数的相互关系。这是一组常系数微分方程，同步电机的动态性能可能通过分析和求解这组微分方程而获得。而同步电机的稳态过程作为暂态过程的一个特例，也能从态特性中分析得到。
§4.1 同步电机的基本方程式
一、 A B C系统磁链的电压方程式
（一）、同步电机的组成：
同步电机由定子和转子两部分组成，定子和转子处于相对运动中，定子上有ABC三个绕组，转子纵轴方向有励磁绕组Ｆ和阻尼绕组Ｄ，横轴上有阻尼绕组Ｑ。这６个绕组之间有电磁耦合关系，如果其中的一个绕组的电流发生变化，那么在其它绕组中就可能有相应的感应电流产生。由于定子和转子之间的相对运动，故在暂态中这种电磁耦合关系变得十分复杂，从而使得同步电机暂态特性的分析和计算变得十分复杂和困难。
（二）、同步电机的理想化
为了简化分析，我们对同步电机进行理想化。
（1）磁饱和、磁滞和涡流的影响可以略去不计，磁路是线性的，可以采用叠加原理进行分析。
虽然不考虑饱和，但必要时可采用适当的饱和参数来近似地计及饱和的影响。
（2）定子绕组的电流在电机空气隙中只产生正弦分布的磁势，忽略磁场的高次谐波。
（3）定子是三相对称的。 即它们是三个完全相同的绕组，各绕组的轴线在空间上相互差1200。
（4）电机定子的空载电势是正弦波。即转子绕组和定子绕组之间的互感系数是转子位置角的正弦或余弦函数。
（5）各导条阻尼绕阻可以简化为两个独立等效阻尼绕阻，分别在纵轴d和横轴q方向上各自短路。
凡满足以上条件的电机称为理想电机。实验指出，根据理想电机所得到的计算结果与实际电机的实验非常接近，误差不超过工程上允许的范围，因此实际电机可以当作理想电机来研究。
XD
rD
Xf
Rf
（三）、A、B、C系统的磁链和电压方程式

A
B
C
A
C
B

XQ
rQ

图4－1 同步电机的定子和转子回路

让我们来研究转子纵轴和横轴上各有一个阻尼绕组的同步电机。这时同步电机中共有６个绕组回路。即定子绕组A 、 B 、 C ，励磁绕组ƒ 。纵轴和横轴阻尼绕组D、Q。设定子三相绕组ABC 分别接在电压为Ua、 Ub 、Uc 的电源上，励磁绕组接在Uƒ上，Ｄ Ｑ短路。六个绕组可以建立６个方程式，在建立方程式前，要先选定定子和转子的纵轴和横轴的正方向。如图４－１，选取由定子绕组端点流入电机中心方向作为定子各相电流的正方向；规定绕组磁链Ψ和电流i方向符合右手螺旋规则；定子绕组的感应电势可以作反电势e=
定子的外加电压Ｕ（t）与电势e及电阻压降ri(t)相平衡；励磁绕组外加直流电压Uƒ,纵横轴的阻尼绕组为短路，无外加电压。
根据选定的电流电压的正方向，可对定子绕组ＡＢＣ，励磁绕组ƒ，纵轴和横轴阻尼ＤＱ，写出以下六个电压平衡方程式。
e= +
e= +
e= +
e= +
e= + = 0
e= + = 0
式中r、rƒ、rD、rQ分别是定子绕组，励磁绕组，转子纵轴和横轴阻尼绕组的内阻；ΨＡ，ΨＢ，ΨＣ，ΨＤ，ΨＱ，Ψƒ为各线圈的磁链。这些磁链由A、B、C、D、Q、ƒ等6个电流共同产生 。
再由图４－２示出三相定子绕组Ａ、Ｂ、Ｃ及纵轴Ｄ和横轴Ｑ的正向关系，取Ｑ轴超前Ｄ轴９０度，各绕组轴线的正方位向作为磁链的正方向，各绕组的正向电流产生自身的正向磁链，可以得出６个磁链方程式：
＝

ΨA
ΨB
ΨC
Ψƒ
ΨD
ΨQ
LAA MAB MAC MAƒ MAD MAQ
MBA LBB MBC MBƒ MBD MBQ
MCA MCB LCC MCB MCD MCQ
MƒA MƒB MƒC Lƒ MƒD 0
MDA MDB MDC MDƒ LD 0
MQA MQB MQC 0 0 LQ
A B C ƒ DQ

式中ＬＡＡ、ＬＢＢ、ＬＣＣ、Ｌƒ、ＬＤ、ＬＱ分别为各绕 组的自感系数。＝是互感系数。在凸极电机中,由于各绕组磁通路径所对应的磁导随着转子位置角θ而变化，所以式（４－２）中自感系数和互感系数随转子位置角θ而变化 ，即（４－２）中（４－１）中微分方程的系数是时间的周期函数，不易求解。为了寻找解微分方程组（４－１）的方便途径，必须研究式（４－２）中各自感系数和互感系数。

C相定子轴线
B相定子轴线
d
C
C
B
QC
ω
A
A相定子轴线
A
B
(图4－2)
θ

（四）同步电机各绕组自感系数和互感系数的确定。
（1）定子绕组的自感系数ＬＡＡ，ＬＢＢ，ＬＣＣ
在同步电机定子线圈中通以电流后，由电流产生的磁链按其性质分为两类：漏磁链和定子与转子互感磁链，漏磁链对应电感系数与转子位置无关且为恒值；定子与转子互感磁链与转子位置相关。
对于理想凸极同步电机，以轴作为参考坐标轴时，在距离轴角度为θ的Ｐ点处（即图４－２中定子A相轴线处）单位面积的气隙磁导可以足够精确地表述为：
λδ(θ)＝λσ０＋λσ2cos2θ （４－３）
式中：θ为d轴超前Ａ相定子轴线的角度，λσ０为磁导平均值，λσ２为磁导的二次谐波幅值。
当θ＝００时，即d轴方向气隙磁导 λσd=λσ0+λσ2
当θ＝9００时，即d轴方向气隙磁导 = -
由上面两式可以得到 ＝( +）
＝( -）
所以＝( +）＋( -） （４－４）
在图（４－１）中，当通以电流A时，在Ａ相轴线方向的磁势 FA=（为比例系数）, 与Ｐ点气隙磁导相对应的Ａ相气隙磁链ΨＡσ与成正比，即
＝
＝{( +）＋( -） }
＝{( +）＋(- ）} （４－５）
式中= ＝
如果Ａ相电流产生的漏磁链，与此漏磁链对应的漏感为,则根据自感定义有
＝（＋）
所以 ＝+（+）＋（－）
＝+ （４－６）
式中=+(+）
＝(－) (4-7)
为自感系数平均值
为自感系数二次谐波幅值
由于Ｂ相绕组和Ｃ相绕组与Ａ相绕组只是在空间上互差1200，因此把（４－６）中的θ分别用θ－1200和θ＋1200来代换，即可求得B相和C相的自感系数。三相的自感系数为

（4－8）
对于隐极电机由于具有均匀的气隙,在此情况下，气隙各处的磁导与转子位置角θ关无而为一恒值。所以有 。即各相自感系数相等，且为一恒值。
（2）定子绕组间的互感系数

当A相绕组有电流流过时，A 相轴线方向上的磁势
可以分解为d轴分量和轴分量。

在d轴产生的磁链为

在轴产生的磁链为

由于d轴与B相定子轴线相差（），因此只有一部分 与B相定子交链， 也只有一部分与B相定子相交链，因此A相电流产生的经过气隙与B相交链的磁链为：

（4－9）
设A、B两相之间的漏磁互感系数为,它对应的漏磁互感磁链（包括端部漏磁，槽漏磁及齿顶漏磁互感磁链）为，则。 其中是一个与转子位置θ无关的系数，而且由于A、B相绕组在空间分布上相差，所以是一个负值，令
则 (4-10)
根据定义：是定子A相单位电流所产生的与B相交链的磁链
故： 把（4－9）与（4－10）代入上式得：
（4－11）
式中
（4－12）
以与代入（4－11）式中，即可得到B、C两相及C、A两相之间的互感系数。A、B、C 三相的互感系数为：

（4－13）
由（4－7）和式（4－12）可知：对理想电机由于自漏感和互漏感远小于（）,所以定子绕组的自感系数和互感系数之间存在以下关系：

（4－14）

隐极电机：隐极同步电机和异步电机一样，定子各相互感系数中的二次谐波分量为0，即，此时，定各相之间的互感都相等且为与转子位置角θ无关的恒值。

（3）定子和子之间的互感系数。
对于理想电机，定子和转子电流所产生的气隙磁场均为正弦分布，因此定子，转子绕组之间的互感系数随角度θ按余弦规律变化。当定子某相绕组的轴线与转子某一绕组的轴线重合时，峡谷绕组的互感系数达到最大，当两个绕组的轴线垂直时，它们之间的互感系数为0。如图（4－2）所示。
励磁绕组与定子三相绕组间的互感系数为：

（4－15）
式中为励磁绕组与定子绕组轴线重合时的互感系数。同理阻尼绕组与定子绕组间的互感系数为：

转子横轴阻尼绕组与定子三相绕组的互感系数为：

（4）转子绕组的自感系数和转子组间的互感系数。
转子绕组的自感系数：、、都是固定常数，与转子位置角无关。由于纵轴和横轴之间没有磁通交链 ，所以
。励磁绕组与d轴阻尼绕组之间的互感系数也是与转子位置角θ无关的常数，且 。 为单位励磁电流所产生的与d轴阻尼绕组D所交链的磁链，即。由两部分组成，一部分是产生的经过气隙的公共磁链，也就是说同时还与定子交链即是同时与励磁绕组，阻尼绕组D和定子绕组交链的经过气隙的公共磁链。另一部分励磁电流计产生的只与d轴阻尼绕组D交链的互漏磁链，由于互漏远小于公共磁链，所以实际上可以认为互感只由穿过气隙的公共磁链所确定。同理，也可以认为互感和 也只由d轴方向穿过气隙的公共磁链决定而忽略相应的互漏磁链。

二、d、q、o系统的电压和磁链方程

根据上图所示的d、q正方向，类似于交流中的变化矩阵，我们可以得到下面的公式：
(4-18)
变换阵：
C= (4-19)
同理：
， (4-20)
由C矩阵，我们可以看到,即C是正交矩阵，故我们有：
， ， (4-21)
式中：

把前面求得的自感、互感表达式（4-8）、（4-13）、（4-15）~(4-17)带入磁链式（4-21）的代入式（4-21）的，利用与之间的变换关系：

可以求得为：
（4-22）
式中，分别被称为直轴同步电感、交轴同步电感和零序电感，他们分别为：
（4-23）
利用与之间的变换关系，由公式（4-2）的后面三个关系式可以求得用表示的三个转子绕组的磁链方程：
（4-24）
d、q、0系统中同步电机定子方程可求得如下：由式（4-18）及（4-19）及式（4-20）得：
（4-25）
把以上各式带入式（4-1）的定子A相电压平衡方程式：
，得到一下关系式：
角为任意值时上式均应该成立，故有：
（4-26）
式中,三个转子绕组f、D、Q的电压平衡方程式不做变化，仍然是式（4-1）的最后三个关系式：
（4-27）
由式（4-22）和式（4-24）可以看到：经过d、q、0变换以后，在d、q方向上的等效定子绕组d、q、0和三个转子绕组f、D、Q的磁链都不再是的角函数，而仅仅是电流的线性函数，再由电压方程式（4-26）和式（4-27）可以看到，当角速度为常量时，他们是一组常系数微分方程。这说明经过d、q、0变换以后，电压磁链方程可以得到很大的简化，即使时，他们也要比变换前简单的多。在物理上，这种变换相当于用d、q方向上的两个定子绕组代替原来的三个定子绕组。由于是随d、q轴以的速度旋转的，所以在等效定子绕组d、q中既因的大小变化而产生脉动电势，又会因以速度旋转而在等效的定子绕组d和q（又被称为伪静止绕组）中产生旋转电势。根据这以物理概念，在d、q系统中的电压方程式（4-22）都可以不经过冗长的数学推导而直观的引出，如同在异步电机d、q、0系统的方程式所做的物理分析一样。

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