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固体物理固体物理（II）第八章第八章第八章第八章 电子输运理论及性质电子输运理论及性质电子输运理论及性质电子输运理论及性质第九章第九章第九章第九章 半导体电子论半导体电子论半导体电子论半导体电子论第十章第十章第十章第十章 固体的磁性固体的磁性固体的磁性固体的磁性第十一章第十一章第十一章第十一章 超导电性超导电性超导电性超导电性16/17/2024第八章第八章第八章第八章 电子输运理论及性质电子输运理论及性质电子输运理论及性质电子输运理论及性质能带结构能带结构能带结构能带结构输运性质输运性质输运性质输运性质载流子受到的散射或碰撞载流子受到的散射或碰撞三个问题三个问题外场下作用下载流子的运动规律外场下作用下载流子的运动规律外场和碰撞同时作用对载流子输运性质的影响外场和碰撞同时作用对载流子输运性质的影响 引入驰豫时间描述引入驰豫时间描述采用半经典模型采用半经典模型引入分布函数，并将这些影引入分布函数，并将这些影响归结到对分布函数的影响响归结到对分布函数的影响26/17/20248.1 8.1 外场下外场下BlochBloch电子运动的半经典模型电子运动的半经典模型 8.2 Boltzmann8.2 Boltzmann方程方程 8.3 8.3 外场和碰撞作用外场和碰撞作用 8.4 8.4 驰豫时间的统计理论驰豫时间的统计理论 8.5 8.5 电电-声子相互作用声子相互作用 8.6 8.6 金属电导率金属电导率 电阻率电阻率 8.8 8.8 磁输运性质磁输运性质 霍尔效应霍尔效应 磁电阻效应磁电阻效应 8.9 8.9 热输运性质热输运性质 热电效应热电效应 热导率热导率 热电势热电势36/17/2024对外电场、磁场采用经典方式处理对外电场、磁场采用经典方式处理半经典含义半经典含义对晶格周期场采用能带论量子力学方式处理对晶格周期场采用能带论量子力学方式处理模型模型每个电子具有确定的位置每个电子具有确定的位置 r、波矢、波矢 k 和能带指标和能带指标n 建立模型描述建立模型描述r、k 和和n 随随时间的变化规律时间的变化规律能带指标能带指标电子的速度电子的速度波矢随时间的变化波矢随时间的变化(1)电子总呆在同一能带中电子总呆在同一能带中(2)忽略不同带间的跃迁忽略不同带间的跃迁8.8.8.8.1 Bloch1 Bloch1 Bloch1 Bloch电子运动的半经典模型电子运动的半经典模型电子运动的半经典模型电子运动的半经典模型46/17/2024Bloch 电子电子的运动方程的运动方程对晶格周期场的量子力学处对晶格周期场的量子力学处理全部概括在理全部概括在 函数中函数中能带结构能带结构输运性质输运性质半经典模型使能带结构与输运性半经典模型使能带结构与输运性质即电子对外场的响应相联系质即电子对外场的响应相联系输运性质输运性质能带结构能带结构同基于理论得到的能带结构进行比较从同基于理论得到的能带结构进行比较从而验证能带结构的理论基础的正确与否而验证能带结构的理论基础的正确与否提供了从能带结构推断出提供了从能带结构推断出电子输运性质的理论基础电子输运性质的理论基础基于输运性质的测量结果基于输运性质的测量结果推断出电子的能带结构推断出电子的能带结构56/17/20248.2 8.2 BoltzmannBoltzmann方程方程方程方程对固体中电子输运性质的了解，除载流对固体中电子输运性质的了解，除载流子受到的散射或碰撞外，需要知道子受到的散射或碰撞外，需要知道外场外场作用下载流子的运动规律作用下载流子的运动规律以及外场和碰以及外场和碰撞同时作用对载流子输运性质的影响。撞同时作用对载流子输运性质的影响。外外场场下下载载流流子子运运动动规规律可基于半经典模型律可基于半经典模型现在要解决的是如何考虑碰撞以及碰撞和现在要解决的是如何考虑碰撞以及碰撞和外场同时作用对载流子运动规律的影响？外场同时作用对载流子运动规律的影响？引引入入分分布布函函数数，并并将将这这些些影影响响归归结结到到对对分分布布函函数数的的影响影响定义定义对于单位体积样品，对于单位体积样品，t时刻、第时刻、第n个能带中，在（个能带中，在（r,k）处处 相空间体积内的电子数为：相空间体积内的电子数为：每每一一个个电电子子对对电电流密度的贡献为流密度的贡献为n通通常常不不标标出出，因因为为考考虑虑的是同一带中的电子的是同一带中的电子所所以以总总电电流密度为流密度为碰撞以及碰撞和外场同时作碰撞以及碰撞和外场同时作用对用对 f 的影响？的影响？66/17/2024在热平衡情况下，即温度均匀且没有外场作用，电子系在热平衡情况下，即温度均匀且没有外场作用，电子系统的分布函数为费米分布函数统的分布函数为费米分布函数与位置无关与位置无关。有有外外场场/温温度度不不均均匀匀时时，电电子子将将偏偏离离热热平平衡衡，相应的分布函数相应的分布函数点范围内如何随时间变化呢？如何随时间变化呢？76/17/2024t 时刻（时刻（r,k）处的电子）处的电子由由于于碰碰撞撞的的存存在在，dt 时时间间内内从从（r-dr,k-dk）处处出出发发的的电电子子并并不不都都能能到到达达（r,k）处处，另另一一方方面面，t 时时刻刻（r,k）处处的的电电子子也也并并非非都都来来自自t-dt 时时刻刻（r-dr,k-dk）处处漂漂移移来来的的电子，因此有：电子，因此有：若若将将因因碰碰撞撞引引起起的的 f 变变化化写写成成 则有则有必来自必来自t-dt 时刻（时刻（r-dr,k-dk）处）处漂移来的电子漂移来的电子若没有碰撞，则有若没有碰撞，则有86/17/2024玻尔兹曼方程玻尔兹曼方程右边第一项展开，保留到右边第一项展开，保留到dt的线性项，有的线性项，有对于稳态对于稳态96/17/2024Boltzmann方程方程决定于体系的能带结构决定于体系的能带结构与外场有关与外场有关因此，因此，Boltzmann方程将能带结构、外场作用以及碰撞方程将能带结构、外场作用以及碰撞作用通过引入分布函数而相联系，成为研究固体电子输作用通过引入分布函数而相联系，成为研究固体电子输运性质的理论基础运性质的理论基础半经典模型半经典模型106/17/20248.3 8.3 外场和碰撞作用外场和碰撞作用外场和碰撞作用外场和碰撞作用(1)温度场温度场温度梯度的存在引起不均匀的分布函数温度梯度的存在引起不均匀的分布函数通常假定非平衡的稳态分布通常假定非平衡的稳态分布相对于平衡分布偏离甚少相对于平衡分布偏离甚少(2)电场电场忽略掉温度梯忽略掉温度梯度对度对f1的影响的影响116/17/2024(1)温度场温度场(2)电场电场(3)磁场磁场(3)磁场磁场126/17/2024玻尔兹曼方程最复杂的是碰撞项的处理，为了方便，可以做一些简化。玻尔兹曼方程最复杂的是碰撞项的处理，为了方便，可以做一些简化。假设假设没有外场没有外场，也，也没有温度梯度没有温度梯度，那么如果电子的分布函数，那么如果电子的分布函数偏离了平衡值，系统必须以碰撞机制来恢复平衡态的分布。偏离了平衡值，系统必须以碰撞机制来恢复平衡态的分布。(4)碰撞碰撞负号源于偏离随时负号源于偏离随时间的增加而减小。间的增加而减小。方程的解：方程的解：该该方方程程说说明明：由由于于碰碰撞撞作作用用，系系统统将将以以时时间间常常数数 弛豫回到平衡分布。弛豫回到平衡分布。一般可以用弛豫时间一般可以用弛豫时间 来描述这个恢复过程：来描述这个恢复过程：136/17/2024温温度度场场、电电场场、磁磁场场及及碰碰撞撞作作用同时存在下的用同时存在下的Boltzmann方程方程温度场温度场电场电场磁场磁场碰撞碰撞(4)碰撞碰撞(1)温度场温度场(2)电场电场(3)磁场磁场得得到到代入代入146/17/20248.4 8.4 固体固体固体固体电阻率电阻率电阻率电阻率在没有温度场、磁场的情况下，仅有电场时的在没有温度场、磁场的情况下，仅有电场时的Boltzmann方程为方程为泰勒定理泰勒定理：因此，该式相当于上述泰因此，该式相当于上述泰勒展开式的一级近似勒展开式的一级近似借助分布函数电借助分布函数电流密度可表示为流密度可表示为由于平衡分布对由于平衡分布对电流没有贡献电流没有贡献相相当当于于同时注意到同时注意到8.4.1 8.4.1 直流直流直流直流电导率电导率电导率电导率156/17/2024说明：在电场作用下，分布函数相当于平衡说明：在电场作用下，分布函数相当于平衡分布函数沿着外场相反的方向刚性移动了分布函数沿着外场相反的方向刚性移动了或者说，在或者说，在k空间中，外加电场引起费米空间中，外加电场引起费米球刚性平移了球刚性平移了注意到注意到166/17/2024知道了分布函数就可以很方便的知道了分布函数就可以很方便的求出电流密度，只需对分布函数求出电流密度，只需对分布函数在相空间求积分：在相空间求积分：代入代入176/17/2024两个等能面之间的距离为dk面元为ds体积元为由于：而：考虑考虑K空间的两个等能面空间的两个等能面186/17/2024由于由于 只在费米只在费米面附近才不为零，即面附近才不为零，即所以积分只需考虑所以积分只需考虑在费米面附近进行在费米面附近进行考虑一个立方体晶体，考虑一个立方体晶体，外场方向沿着外场方向沿着Ox方向，方向，电流沿着电流沿着Ox所以立方体晶体的电导率所以立方体晶体的电导率196/17/2024利用对称性利用对称性以及关系以及关系利用利用得到得到得到得到和和在在自自由由电电子子气气模模型型中中得得到到的的结结果果形形式式上上相相同同，不不同同之之处处有有两两点点，一一是是电电子子的的质质量量为为有有效效质质量量，二二是是驰驰豫豫时时间间为为费费米米面面上电子的驰豫时间。上电子的驰豫时间。206/17/2024在多种散射机制存在下，总的散射几率是：在多种散射机制存在下，总的散射几率是：总散射驰豫时间总散射驰豫时间电阻率源于传导电子的散射，固体因缺陷、杂质、晶格振动、电阻率源于传导电子的散射，固体因缺陷、杂质、晶格振动、库仑作用等，往往存在着多种散射机制库仑作用等，往往存在着多种散射机制Pi代表第代表第i 种机制种机制单位时间内单位时间内单位时间内单位时间内的散射几率的散射几率意味着总电阻率是不同散意味着总电阻率是不同散射机制引起的电阻率之和射机制引起的电阻率之和马西森马西森(Matthiessen)定则定则21 剩余电阻率剩余电阻率声声子子散散射射有有关的电阻率关的电阻率电电子子电电子子相相互互作作用有关的电阻率用有关的电阻率磁磁散散射射有有关关的电阻率的电阻率导体导体杂质、缺陷等散射杂质、缺陷等散射电子声子相互作用电子声子相互作用电子电子相互作用电子电子相互作用磁散射磁散射导体电阻率至少包含四个部分导体电阻率至少包含四个部分8.4.2 8.4.2 导体电阻导体电阻导体电阻导体电阻率率率率常见的散射机制常见的散射机制22 导体中或多或少存在缺陷或结构不完整或含有杂质离子，这些缺导体中或多或少存在缺陷或结构不完整或含有杂质离子，这些缺陷、结构不完整性和杂质将对传导电子产生散射，引起电阻。陷、结构不完整性和杂质将对传导电子产生散射，引起电阻。与此相对应的电阻率称为剩余电阻率，记为与此相对应的电阻率称为剩余电阻率，记为 0 0起因起因剩余电阻率与样品质量有关，是一个剩余电阻率与样品质量有关，是一个与温度无关的常数与温度无关的常数。通过低温下电阻率随温度关系的通过低温下电阻率随温度关系的测量并外推到绝对零度，即可得测量并外推到绝对零度，即可得到剩余电阻率。到剩余电阻率。很很明明显显，样样品品质质量量越越好好，也也就就是是说说，尽尽可可能能少少的的缺缺陷陷、结结构构尽尽可可能能完完整整、没没有有杂杂质质的的存存在在，0则则越越小小。如如果果是是理理想想导导体体，则剩余电阻率趋向于零。则剩余电阻率趋向于零。1、剩余电阻率、剩余电阻率23 2、磁散射有关的电阻率、磁散射有关的电阻率电子不仅携带电荷电子不仅携带电荷 而且还携带自旋而且还携带自旋因此，电阻率应包含一项与自旋散射或磁散射有关的部分因此，电阻率应包含一项与自旋散射或磁散射有关的部分电子的自旋自旋散射电子的自旋自旋散射磁性离子对传导电子的散射磁性离子对传导电子的散射磁性杂质对传导电子的散射磁性杂质对传导电子的散射高温高温自旋波对传导电子的散射引起的自旋波对传导电子的散射引起的电阻率随温度按电阻率随温度按T2关系变化，即关系变化，即：低温低温 在高温（在高温（TTc）时，磁自旋无序散射引起电阻率，对）时，磁自旋无序散射引起电阻率，对温度的依赖性不强。温度的依赖性不强。磁性离子对传导电子的散射磁性离子对传导电子的散射24 非磁金属非磁金属电阻率电阻率费米面附近电子费米面附近电子散射的驰豫时间散射的驰豫时间散射矩阵元的绝对值。散射矩阵元的绝对值。费米面能态密度。费米面能态密度。明显地，式中的物理量均与电子自旋是无关的明显地，式中的物理量均与电子自旋是无关的因此，在非磁性金属中，电子的输运与电子的自旋无关因此，在非磁性金属中，电子的输运与电子的自旋无关电子的自旋自旋散射电子的自旋自旋散射256/17/2024铁磁金属铁磁金属Stoner 提出了能带劈裂交换模型提出了能带劈裂交换模型对对于于铁铁磁磁过过渡渡金金属属来来说说,交交换换作作用用能能与与动动能能的的平平衡衡使使系系统统不不同同自自旋旋的的子子带带发发生生交交换换劈劈裂裂,自自旋旋向向上上的的子子带带与与自自旋旋向向下下的的子子带带发发生生相相对对位位移移,引引起起自自发发磁磁化化,这这样样一一来来系系统统的的动动能能虽虽然然增增加加了了,但但由由于于其其3d 电电子子在在费费密密面面附附近近具具有有非非常常大大的的态态密密度度,动动能能的的增增加加不不大大,而而交交换换作作用用能能却却大大大大减减小小,因因而而系系统统的的总总能能量量有有所所下下降降。交交换换劈劈裂裂使使自自旋旋向向上上的的子子带带(多多数数自自旋旋)全全部部或或绝绝大大部部分分被被电电子子占占据据,而而自自旋旋向向下下的的子子带带(少少数数自自旋旋)仅仅部部分分被被电电子子占占据据。二二者者的的差差异异造造成成了了铁铁磁磁过过渡渡金金属属元元素素原原子子磁磁矩矩的的非非整整数数性性.两两子子带带的的占占据据电电子总数之差正比于它的磁矩。子总数之差正比于它的磁矩。266/17/2024通常定义自旋极化度为通常定义自旋极化度为N和和N分别表示自旋向上和向下分别表示自旋向上和向下的电子数，的电子数，D和和D分别表示自分别表示自旋向上和向下子带的态密度旋向上和向下子带的态密度 材料材料 Ni Co Fe Ni80Fe20 Co50Fe50 Co84Fe16 自旋极化度自旋极化度()33 45 44 48 51 49例如例如或或276/17/2024电阻率电阻率电阻率电阻率由于能带中的电子浓度、有效质量、散射的驰豫时间、电由于能带中的电子浓度、有效质量、散射的驰豫时间、电子运动的平均自由程以及费米面附近的电子态密度均与电子运动的平均自由程以及费米面附近的电子态密度均与电子自旋的取向有关，因此，在过渡族金属及其合金中的电子自旋的取向有关，因此，在过渡族金属及其合金中的电阻率应与电子自旋的取向有关。阻率应与电子自旋的取向有关。高阻态：自旋取向无序；低阻态：自旋铁磁性取向高阻态：自旋取向无序；低阻态：自旋铁磁性取向 磁场可部分引起自旋铁磁性取向，导致电阻率变小，磁场可部分引起自旋铁磁性取向，导致电阻率变小，从而铁磁金属及其合金可表现出负磁电阻效应从而铁磁金属及其合金可表现出负磁电阻效应286/17/2024金属中掺有少量磁性杂质，实验发现，电阻率随温金属中掺有少量磁性杂质，实验发现，电阻率随温度降低而变小，在某一温度附近达到最小，然后随度降低而变小，在某一温度附近达到最小，然后随温度进一步降低而增加温度进一步降低而增加实验现象实验现象这这些些反反常常现现象象实实验验上上早早已已观观察察，多多年年来来一一直直是是金金属属研研究究中中的的一一个个疑疑难难问问 题题，直直 到到 19641964年年，近近 藤藤（J.Kondo）提提出出理理论论对对电电阻阻极极小小现现象象以解释。以解释。磁性杂质对传导电子的散射磁性杂质对传导电子的散射实验现象实验现象金属中掺入少量磁性杂质引起低温下出金属中掺入少量磁性杂质引起低温下出现电阻极小的现象，以及与此相关的一现电阻极小的现象，以及与此相关的一系列低温反常现象，称为近藤效应。系列低温反常现象，称为近藤效应。近近藤藤效效应应29 而声子散射有关的电阻率随而声子散射有关的电阻率随T降低而减少降低而减少传导电子本身携带自旋传导电子本身携带自旋磁性杂质具有局域磁矩磁性杂质具有局域磁矩杂质磁矩与传导电子自旋之间存在相互作用杂质磁矩与传导电子自旋之间存在相互作用这一作用引起对传导电子额外的散射，导致这一作用引起对传导电子额外的散射，导致额外的电阻率：额外的电阻率：近近藤藤理理论论ni杂质浓度，杂质浓度，J交换积分，交换积分，D导带半宽度导带半宽度两者的竞争必然在某一温度达到极小两者的竞争必然在某一温度达到极小实验现象实验现象30 1）电子电子-电子相互吸引作用的简单模型电子相互吸引作用的简单模型1950年年弗弗烈烈里里希希(Frolich)指指出出：电电子子-声声子子相相互互作作用用能能把把两两个个电电子耦合在一起，这种耦合就好像两个电子之间有相互作用一样子耦合在一起，这种耦合就好像两个电子之间有相互作用一样为了明确其物理图像，弗烈里希给出如下一个物理模型为了明确其物理图像，弗烈里希给出如下一个物理模型整齐排列的理想点阵中的两个电子整齐排列的理想点阵中的两个电子当当第第一一个个电电子子通通过过晶晶格格时时，电电子子与与离子点阵的库仑作用使晶格畸变离子点阵的库仑作用使晶格畸变当当第第二二个个电电子子通通过过畸畸变变的的晶晶格格时时，受受到到畸变场作用，畸变场吸引这第二个电子畸变场作用，畸变场吸引这第二个电子如如果果我我们们忘忘记记第第一一个个电电子子对对晶晶格格造造成成畸畸变变的的过过程程，而而只只看看最最后后结结果果，将将是是第第一一个个电电子吸引第二个电子子吸引第二个电子3 3、声子散射有关的、声子散射有关的电电阻率阻率31 32 当温度不为零时，离子实会在平衡位置附近发生当温度不为零时，离子实会在平衡位置附近发生小的振动，使得电子势变成小的振动，使得电子势变成 晶体中共有化运动的电子是在和晶体中共有化运动的电子是在和晶格具有相同周期的势场中运动：晶格具有相同周期的势场中运动：对理想完整的晶体，绝对零度时离对理想完整的晶体，绝对零度时离子实处在严格周期排列的位置子实处在严格周期排列的位置在在这这样样的的周周期期场场中中运运动动的的电电子子，其其状状态态是是由由确确定定能能量量和和确确定定波矢的波矢的Bloch波所描述的稳定态，这种稳定态不会发生变化。波所描述的稳定态，这种稳定态不会发生变化。明显地，周期势场因晶格振动而明显地，周期势场因晶格振动而被破坏，附加的偏离周期性势场被破坏，附加的偏离周期性势场离子实对平衡离子实对平衡位置的偏离位置的偏离 22）电电电电-声子相互作用的理论描述声子相互作用的理论描述声子相互作用的理论描述声子相互作用的理论描述33 可看作为微扰，它使得电子从一个稳可看作为微扰，它使得电子从一个稳定态跃迁到另一稳定态，即出现散射定态跃迁到另一稳定态，即出现散射 假设偏离很小，则有假设偏离很小，则有 为简单起见，只考虑简单格子，此时仅有声学支为简单起见，只考虑简单格子，此时仅有声学支 将波矢将波矢q、频率、频率 的简正模引起的原子位移写成实数形式的简正模引起的原子位移写成实数形式 为振动方向上的单位矢量为振动方向上的单位矢量 34 这是量子力学中典型的含时周期性微扰问题这是量子力学中典型的含时周期性微扰问题在这样的微扰下，在这样的微扰下，电子从电子从k态跃迁到态跃迁到k态的几率为态的几率为 函数保证了跃迁过程中能量是守恒的，即函数保证了跃迁过程中能量是守恒的，即35 离子实偏离平衡位置的运动组成晶体离子实偏离平衡位置的运动组成晶体中的格波，格波的能量是量子化的。中的格波，格波的能量是量子化的。格波的量子称为声子格波的量子称为声子 因此晶格振动对电子的散射实因此晶格振动对电子的散射实际上就是声子对电子的散射。际上就是声子对电子的散射。晶格运动对电子的散射过程相当于电子通晶格运动对电子的散射过程相当于电子通过吸收（过吸收（+）或发射声子（）或发射声子（-），从一个稳），从一个稳定态跃迁到另一稳定态的过程。定态跃迁到另一稳定态的过程。量子力学语言量子力学语言吸收声子吸收声子发射声子发射声子36 散射矩阵元散射矩阵元由于晶格平移对称性，求和部分仅仅由于晶格平移对称性，求和部分仅仅当波矢之和为倒格矢方不为零，由此当波矢之和为倒格矢方不为零，由此给出晶格动量守恒关系，即给出晶格动量守恒关系，即37 能量守恒关系能量守恒关系动量守恒关系动量守恒关系正常过程或正常过程或N过程过程此时此时说明电子在初态说明电子在初态k吸收（吸收（+）或发射（）或发射（-）一个波矢为）一个波矢为q的声子跃迁到末态的声子跃迁到末态k的过程能量和动量均是守恒的。的过程能量和动量均是守恒的。吸收声子吸收声子发射声子发射声子38 倒逆过程或倒逆过程或U过程过程此时此时说明电子在初态说明电子在初态k吸收（吸收（+）或发射（）或发射（-）一个波矢为）一个波矢为q的声子的声子跃迁到末态跃迁到末态k的过程能量是守恒的，但动量并不守恒。的过程能量是守恒的，但动量并不守恒。7.4.3 7.4.3 驰豫时间驰豫时间驰豫时间驰豫时间碰撞项碰撞项该该方方程程说说明明：由由于于碰碰撞撞作作用用，系系统统将将以以时时间间常常数数 弛豫回到平衡分布。弛豫回到平衡分布。另另外外一一方方面面，碰碰撞撞项也可以表示为：项也可以表示为：代代表表单单位位时时间间内内因因碰碰撞撞进进入入（r，k）处相空间单位体积中的电子数）处相空间单位体积中的电子数代代表表单单位位时时间间内内因因碰碰撞撞离离开开（r，k）处相空间单位体积中的电子数处相空间单位体积中的电子数39 若电子从若电子从k态跃迁到态跃迁到k态的几率为态的几率为wk,k，计及泡利不相容，计及泡利不相容原理，则有原理，则有同同理有理有因此因此可以论证可以论证则有则有40 在外加电场下在外加电场下对球形费米面对球形费米面如取电场方向为如取电场方向为k方向，则有方向，则有 为为k和和k之间的夹角之间的夹角写成积分形式写成积分形式41 33）声子散射有关的声子散射有关的声子散射有关的声子散射有关的电阻率电阻率电阻率电阻率故电阻率不仅与跃迁几率有关，故电阻率不仅与跃迁几率有关，还涉及（还涉及（1-cos）的权重因子）的权重因子很明显小角度的散射对产生电阻几乎没有贡献，起重要作用很明显小角度的散射对产生电阻几乎没有贡献，起重要作用的则是大角度散射，它使电子沿电场方向的速度有大的改变。的则是大角度散射，它使电子沿电场方向的速度有大的改变。由前面得分析看到，电子和格波的一个简正模（即一个声子）由前面得分析看到，电子和格波的一个简正模（即一个声子）相互作用导致电子从相互作用导致电子从k态到态到k态的跃迁，其跃迁几率正比于该态的跃迁，其跃迁几率正比于该格波振幅的平方格波振幅的平方对对 所描述的格波模所描述的格波模晶格中每个原子的振动动能晶格中每个原子的振动动能42 对时间平均后得到对时间平均后得到N个原子总的振动动能为个原子总的振动动能为可见，振幅的平方与相应格波模的能量相联系，可见，振幅的平方与相应格波模的能量相联系，用声子语言，则是比例于相应的声子数用声子语言，则是比例于相应的声子数频率为频率为 的格波的声子数的格波的声子数按德拜模型，总的声子数为按德拜模型，总的声子数为43 高温高温低温低温同时，高温下涉及的声子波矢较大，同时，高温下涉及的声子波矢较大，(1-cos)与与温度几乎无关，因此，电阻率正比于温度，即温度几乎无关，因此，电阻率正比于温度，即另外一方面，低温下涉及的声子波另外一方面，低温下涉及的声子波矢小，需要考虑矢小，需要考虑(1-cos)因子的影响因子的影响布洛赫布洛赫-格林艾森格林艾森T5定律定律44 更一般情况下电子受声子的散射引起的电阻率为：更一般情况下电子受声子的散射引起的电阻率为：A为材料有关的常数，为材料有关的常数，M原原子质量，子质量，D为德拜温度为德拜温度高温高温低温低温意味着高温时，因电意味着高温时，因电声子相互作用引起的电声子相互作用引起的电阻率随温度降低而线性阻率随温度降低而线性减小减小意味着低温时，因电意味着低温时，因电声子相互作用引起的电声子相互作用引起的电阻率按阻率按T5关系随温度降关系随温度降低而减少低而减少称为布洛赫称为布洛赫-格林艾森公式格林艾森公式45 4、电子电子相互作用有关的电阻率电子电子相互作用有关的电阻率金金属属中中的的传传导导电电子子虽虽拥拥在在一一起起，彼彼此此仅仅相相距距0.2nm，但在两次相互碰撞之间却运动了相当长的距离。但在两次相互碰撞之间却运动了相当长的距离。电电子子电电子子碰碰撞撞的的平平均均自自由由程程室室温温 下下 103 nm，1K下下10 cm这是金属的一个令人惊这是金属的一个令人惊异的性质！异的性质！为什么？为什么？注意到：正是因为如此长的平均自注意到：正是因为如此长的平均自由程，才使得自由电子模型在很多由程，才使得自由电子模型在很多方面给金属性质以令人满意的描述方面给金属性质以令人满意的描述两个原因两个原因泡利不相容原理降低了电子的碰撞几率泡利不相容原理降低了电子的碰撞几率两电子之间库仑相互作用的屏蔽两电子之间库仑相互作用的屏蔽以二体碰撞为例以二体碰撞为例来说明不相容原来说明不相容原理是如何降低电理是如何降低电子的碰撞几率的子的碰撞几率的波矢为波矢为k1的电子与波矢为的电子与波矢为k2的电子碰撞的电子碰撞根根据据泡泡利利不不相相容容原原理理，只只允允许许这这样样的的碰碰撞撞发发生生，即即其其终终态态k3和和k4在在碰撞以前是未被电子占据的态。碰撞以前是未被电子占据的态。碰撞后波矢分别变成碰撞后波矢分别变成k3和和k4考虑二体碰撞发生在激考虑二体碰撞发生在激发轨道发轨道1中的一个电子中的一个电子与费米海里填满的轨道与费米海里填满的轨道2中的一个电子之间中的一个电子之间124346 为为方方便便起起见见，将将费费米米能级取为能量零点能级取为能量零点这这样样，电电子子1 1的的能能量量E E1 1为为正正，电子电子2 2的能量的能量E E2 2为负。为负。根根据据不不相相容容原原理理，碰碰撞撞后后电电子子的的轨轨道道3 3和和4 4必必定定在在费费米米球球外外，相应的能量相应的能量E E3 3和和E E4 4均为正值。均为正值。1243能量守恒能量守恒意意味味着着只只有有当当轨轨道道2处处在在费费米米面面以以下下厚厚度为度为E1的能壳中时碰撞过程才可能发生的能壳中时碰撞过程才可能发生因因此此，处处在在充充满满轨轨道道中中的的电电子子，仅仅仅仅部部分分电电子子才才可可能能成成为为电电子子1的碰撞靶体，这部分作为靶体的电子占总数的比例约为的碰撞靶体，这部分作为靶体的电子占总数的比例约为动量守恒动量守恒即即使使处处在在上上述述能能壳壳中中的的电电子子可可作作为为电电子子1的的碰碰撞撞靶靶体体，但但碰碰撞撞过过程程还还要要求求满满足足动动量量守守恒恒，因因此此，处处在在上上述述能能壳壳中中的的电电子子也也只只有有部分参与了和电子部分参与了和电子1的碰撞，这部分电子所占的比例近似为的碰撞，这部分电子所占的比例近似为因此，泡利不相容原因此，泡利不相容原理使得电子电子碰理使得电子电子碰撞几率相对于经典值撞几率相对于经典值降低了一个因子降低了一个因子用热能用热能kBT代替代替E1，则降低因子可近似为则降低因子可近似为能量能量守恒守恒动量动量守恒守恒47 在在卢卢瑟瑟福福碰碰撞撞截截面面计计算算中中，电电子子被被看看成成是是一个未屏蔽的点电荷，相应的库仑势为：一个未屏蔽的点电荷，相应的库仑势为：然然而而，电电子子的的运运动动是是关关联联的的，关关联联的的后后果果是是使使得得点电荷产生的库仑势受到屏蔽，成为屏蔽库仑势点电荷产生的库仑势受到屏蔽，成为屏蔽库仑势 两电子之间库仑相互作用的屏蔽两电子之间库仑相互作用的屏蔽泡泡利利因因子子的的出出现现强强调调了了电电子子电电子子相相互互作作用用的的重重要要性性，而而屏屏蔽蔽效效应应引引起起碰碰撞撞截截面面的的减减小小因因而而降降低低了了电电子子电子相互作用的重要性电子相互作用的重要性因此，考虑电子电因此，考虑电子电子相互作用后，有效子相互作用后，有效碰撞截面近似为碰撞截面近似为泡利因子泡利因子屏蔽库仑相互作屏蔽库仑相互作用下的碰撞截面用下的碰撞截面屏蔽效应在电子电子碰撞过程中所起的作用是降低碰撞截面屏蔽效应在电子电子碰撞过程中所起的作用是降低碰撞截面 Q0，使之小于未屏蔽库仑势的卢瑟福碰撞方程所估计的碰撞截面使之小于未屏蔽库仑势的卢瑟福碰撞方程所估计的碰撞截面由于电子电子相互作由于电子电子相互作用，使得有效碰撞截面用，使得有效碰撞截面正比于温度的平方，因正比于温度的平方，因此，电子电子相互作此，电子电子相互作用有关的电阻率为用有关的电阻率为48 1、基本概念、基本概念极化场：极化场：离子晶体中的导电电子在移动时将使周围晶格极化，离子晶体中的导电电子在移动时将使周围晶格极化，正离子被吸向电子，负离子被电子排斥。这种正、负离子的正离子被吸向电子，负离子被电子排斥。这种正、负离子的相对位移，形成一个围绕电子的极化场。相对位移，形成一个围绕电子的极化场。极极化化子子：离离子子晶晶体体中中，导导电电电电子子与与它它周周围围的的极极化化场场所所构构成成的一个互相作用的整体，称为极化子。的一个互相作用的整体，称为极化子。从从场场论论角角度度看看，极极化化子子是是慢慢运运动动电电子子与与光光学学模模纵纵声声子子（LO声子）相互作用系统的准粒子。声子）相互作用系统的准粒子。大极化子与小极化子：大极化子与小极化子：极化子的尺寸由电子（或空穴）周围极化子的尺寸由电子（或空穴）周围晶格畸变区域的大小决定。当这个区域比晶格常数大得多时晶格畸变区域的大小决定。当这个区域比晶格常数大得多时称为称为大极化子大极化子。当电子周围的晶格畸变区小于或等于晶格常。当电子周围的晶格畸变区小于或等于晶格常数量级时称为数量级时称为小极化子小极化子。8.4.3 极化子极化子(polarons)有关的电阻率有关的电阻率49 极极化化子子的的尺尺寸寸：极极化化场场中中的的晶晶格格畸畸变变可可以以解解释释为为电电子子在在其其周周围围激激发发LO虚虚声声子子。因因此此，极极化化子子的的尺尺寸寸可可以以由由电电子子发发射射或或吸吸收收LO虚声子后的位置不确定度估计。虚声子后的位置不确定度估计。式中式中k,m,L依次是电子发射或吸收依次是电子发射或吸收LO虚声子后虚声子后的波数不确定度、电子的有效质量、声子的圆频率。的波数不确定度、电子的有效质量、声子的圆频率。对对极极性性离离子子晶晶体体半半导导体体，如如VI和和V族族化化合合物物，能能带带电电子子的的有有效效质质量量比比自自由由电电子子质质量量小小一一百百倍倍，极极化化子子的的尺尺寸寸约约为为100，远大于晶格常数，这些材料中的载流子是，远大于晶格常数，这些材料中的载流子是大极化子大极化子。对于多数离子晶体，如对于多数离子晶体，如碱金属的卤化物碱金属的卤化物，其能带电子的，其能带电子的有效质量可近似取自由电子质量，这样算出的极化子尺有效质量可近似取自由电子质量，这样算出的极化子尺寸略大于晶格常数，载流子近似为小极化子。寸略大于晶格常数，载流子近似为小极化子。50 以离子晶体为例说明一个极化子的形成过程以离子晶体为例说明一个极化子的形成过程对于窄带半导体，如对于窄带半导体，如NiO，能带电子的有效质量较大，能带电子的有效质量较大，r小于或等于晶格常数，属于小极化子情形。小于或等于晶格常数，属于小极化子情形。一般来说，小极化子出现在具有窄带和强耦合的系一般来说，小极化子出现在具有窄带和强耦合的系统中。统中。2、极化子形成过程、极化子形成过程51 KCl形成弹性点阵形成弹性点阵 由由于于K离离子子带带正正电电，如如果果传传导电子出现在导电子出现在K离子附近离子附近意意味味着着，在在弹弹性性点点阵阵情情况况下下，K K或或ClCl离离子子会会因因为为同同传传导导电电子子之之间间的的库库仑仑力力作作用用而而发发生生位位移移，即所谓的晶格应变即所谓的晶格应变同同样样由由于于Cl离离子子带带负负电电，当当传传导导电电子子经经过过时时，传传导导电电子子和和Cl离离子子之之间间的的库库仑仑排排斥斥力力作作用用使使得得Cl离离子子远远离离传传导导电电子子弹性点阵弹性点阵则则传传导导电电子子和和K离离子子之之间间的的库库仑仑吸吸引引力力作作用用，使使得得K离子向传导电子靠近离子向传导电子靠近52 电子加上与之联系的应电子加上与之联系的应变场称为一个极化子变场称为一个极化子离子的位移增大了电子的有效惯性，因此也就增离子的位移增大了电子的有效惯性，因此也就增大了它的有效质量，从而使得传导电子的运动速大了它的有效质量，从而使得传导电子的运动速度变缓度变缓。在在极极端端情情况况下下，传传导导电电子子自自陷陷于于应应变变场场中中，或或者者说说传传导导电电子子被被因因晶晶格格畸畸变变而而产产生生的的应应变变场场所所捕捕获获，成为束缚态电子成为束缚态电子。现现在在所所关关心心的的是是，电电子子如如何何从从一一个个束束缚缚态态过过渡渡到到另一个束缚态另一个束缚态53 极化子有关的电阻率极化子有关的电阻率高温下，传导电子借助于热激活机理可高温下，传导电子借助于热激活机理可以从一个束缚态过渡到另一个束缚态以从一个束缚态过渡到另一个束缚态 高温高温无外场时无外场时势能曲线势能曲线传导电子越过势垒向左和传导电子越过势垒向左和向右的几率势一样的向右的几率势一样的54 传导电子右端势垒高度传导电子右端势垒高度由原来的由原来的E0下降至下降至而传导左端而传导左端势垒高度增至势垒高度增至外场的作用使势垒不再对称外场的作用使势垒不再对称因此，传导越过因此，传导越过势垒向右的净几率为势垒向右的净几率为而电阻率而电阻率在弱场或高温下在弱场或高温下55 低温低温低温下传导电子借助隧穿机理而缓慢地通过晶体低温下传导电子借助隧穿机理而缓慢地通过晶体 三十年多前，基于极化子隧穿机理提出极化子输运理论三十年多前，基于极化子隧穿机理提出极化子输运理论按照该理论，低温（按照该理论，低温（kT2tp）下电阻率）下电阻率I.G.Lang and Yu.A Firsov,Sov.Phys.JEPT 16,1301(1963)其其中中tP是是极极化化子子跳跳跃跃积积分分，a为为晶晶格格常常数数，为为驰豫率驰豫率 光学声子模的平均频光学声子模的平均频率，率，A 为常数，取决于为常数，取决于裸带宽和电声子耦合裸带宽和电声子耦合强度强度 低温下只有低频模式才对低温下只有低频模式才对电阻率有贡献，而高频模电阻率有贡献，而高频模式可忽略不考虑，因此，式可忽略不考虑，因此，其中其中 s为软光学模式的平均频率，为软光学模式的平均频率，C为正比于极化子有效质量的常数为正比于极化子有效质量的常数 56 8.5 磁场中电子的运动磁场中电子的运动磁场中电子运动的基本方程磁场中电子运动的基本方程1、自由电子的准经典运动自由电子的准经典运动 自由电子的能量自由电子的能量576/17/2024回转频率回转频率可见可见 k空间电子在空间电子在 面上做圆周运动面上做圆周运动586/17/2024实空间电子的运动实空间电子的运动对时间求导对时间求导596/17/2024可见在可见在(x,y)平面做匀速圆周运动平面做匀速圆周运动回转频率回转频率606/17/20242、自由电子情况的量子理论、自由电子情况的量子理论 无磁场时自由电子哈密顿算符无磁场时自由电子哈密顿算符为整数为整数N个个电电子子基基态态从从 能能 量量 最最 低低k=0态态开开始始，按按能能