相似三角形中证明技巧.doc

相似三角形中的辅助线添加和相似三角形证明技巧
在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：
一、作平行线
例1. 如图，的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证：

证明：过点C作CG//FD交AB于G
小结：本题关键在于AD＝AE这个条件怎样使用。由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例。
例2. 如图，△ABC中，AB<AC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：AB·DF=AC·EF。

分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。
方法一：过E作EM//AB，交BC于点M，则△EMC∽△ABC（两角对应相等，两三角形相似）。

方法二：如图，过D作DN//EC交BC于N

二、作垂线
3. 如图从 ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：。

证明：过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥AC于N ∴ ∽
∴ ∴ （1）
又 ∽ ∴ ∴ （2）
（1）+（2）
又 ∴ AN=CM
∴
三、作延长线
例5. 如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：FG=CFBF

解析：欲证式即 由“三点定形”，ΔBFG与ΔCFG会相似吗？显然不可能。（因为ΔBFG为RtΔ），但由E为CD的中点，∴可设法构造一个与ΔBFG相似的三角形来求解。
不妨延长GF与AC的延长线交于H
则
∴
又ED=EC ∴FG=FH 又易证RtΔCFH∽RtΔGFB
∴ ∴FG·FH=CF·BF
∵FG=FH ∴FG2=CF·BF
四、作中线
例6 如图，中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。

解：取BC的中点M，连AM ∵ AB⊥AC ∴ AM=CM ∴ ∠1=∠C
又 BD=DC ∴ ∴
∴ ∽ ∴ 又 DC=1 MC=BC
∴ （1）
又 ∽ 又 ∵ EC=1 ∴ （2）
由（1）（2）得， ∴
小结：利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取BC中点M，构造与相似是解题关键
练习题
1、在△ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F。
求证：EF×BC=AC×DF

2、中，，AC=BC，P是AB上一点，Q是PC上一点（不是中点），MN过Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求证：。

例1： 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．
求证： BC2＝2CD·AC．
证法一（构造2CD）：如图，在AC截取DE＝DC，
∵BD⊥AC于D，
∴BD是线段CE的垂直平分线，
∴BC=BE，∴∠C=∠BEC，
又∵ AB＝AC，
∴∠C=∠ABC．
∴ △BCE∽△ACB．
∴， ∴
∴BC2＝2CD·AC．
证法二（构造2AC）：如图，在CA的延长线上截取AE＝AC，连结BE，
∵ AB＝AC，
∴ AB＝AC=AE．
∴∠EBC=90°，
又∵BD⊥AC．
∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°，
∴∠E=∠DBC，
∴△EBC∽△BDC
∴即
∴BC2＝2CD·AC．
证法三（构造） ：如图，取BC的中点E，连结AE，则EC=．
又∵AB=AC，
∴AE⊥BC，∠ACE=∠C
∴∠AEC=∠BDC=90°
∴△ACE∽△BCD．
∴即．
∴BC2＝2CD·AC．
证法四（构造）：如图，取BC中点E，连结DE，则CE= ．
∵BD⊥AC，∴BE=EC=EB，
∴∠EDC=∠C
又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
∴△ABC∽△EDC．
∴J即．
∴BC2＝2CD·AC．
例2．已知梯形中，，，是腰上的一点，连结
（1）如果，，，求的度数；
（2）设和四边形的面积分别为和，且，试求的值
（1）设，则
解法1 如图，延长、交于点
，， ，为的中点
又 ，又 为等边三角形 故

解法2 如图
作分别交、于点、
则，得平行四边形
同解法1可证得为等边三角形
故
解法3 如图

作交于，交的延长线于
作，分别交、于点、
则，得矩形
，
又 ，故为、的中点
以下同解法1可得是等边三角形
故
解法4 如图，

作，交于，作，交于，得平行四边形，且
读者可自行证得是等边三角形，故
解法5 如图
延长、交于点，作，分别交、于点、，得平行四边形
可证得为的中点，则，故
得为等边三角形，故
解法6 如图（补形法），
读者可自行证明是等边三角形，
得
（注：此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等）
（2）设，则
解法1（补形法）如图
补成平行四边形，连结，则
设，则，
由得， ，

解法2 （补形法）如图，延长、交于点，

，，又

设，则，，
，
解法3（补形法）如图

连结，作交延长线于点
连结
则∽，故（1）
，

故（2）
由（1）、（2）两式得 即
解法4（割补法）如图
连结与的中点并延长交延长线于点，如图，过、分别作高、，则且，
，又
，，故
说明 本题综合考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题关键是作辅助线，构造相似三角形.
例3．如图4-1，已知平行四边ABCD中，E是AB的中点，，连E、F交AC于G．求AG：AC的值．

解法1： 延长FE交CB的延长线于H，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ，∴ ∠H=∠AFE，∠DAB=∠HBE
又AE=EB，∴ △AEF≌△BEH，即AF=BH，
∵ ，∴ ，即．
∵ AD∥CH，∠AGF=∠CGH，∠AFG=∠BHE，∴ △AFG∽△CGH．∴ AG：GC=AF：CH，
∴ AG：GC=1：4，∴ AG：AC=1：5．
解法2： 如图4—2，延长EF与CD的延长线交于M，由平行四边形ABCD可知，，即AB∥MC，
∴ AF：FD=AE：MD，AG：GC=AE：MC． ∵ ，∴ AF：FD=1：2，
∴ AE：MD=1：2．
∵ ．∴ AE：MC=1：4，即AG：GC=1：4，
∴ AG：AC=1：5
例4、如图4—5，B为AC的中点，E为BD的中点，则AF：AE=___________.
解析：取CF的中点G，连接BG．∵ B为AC的中点，
∴ BG：AF=1：2，且BG∥AF，又E为BD的中点，
∴ F为DG的中点．
∴ EF：BG=1：2．
故EF：AF=1：4，∴ AF：AE=4：3．
例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，E为AB延长线上一点，OE交BC于F，若AB=a，BC=b，BE=c，求BF的长．
解法1： 过O点作OM∥CB交AB于M，
∵ O是AC中点，OM∥CB，
∴ M是AB的中点，即，
∴ OM是△ABC的中位线，，
且OM∥BC，∠EFB=∠EOM，∠EBF=∠EMO．
∴ △BEF∽△MOE，∴，
即，∴.
解法2： 如图4-8，延长EO与AD交于点G，则可得△AOG≌△COF，

∴ AG=FC=b-BF，∵ BF∥AG，∴．即，
∵ ∴ .
解法3： 延长EO与CD的延长线相交于N，则△BEF与△CNF的对应边成比例，即．
解得.
例6、已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．求证：．
分析1 比例线段常由平行线而产生，因而研究比例线段问题，常应注意平行线的作用，在没有平行线时，可以添加平行线而促成比例线段的产生．此题中AD为△ABC内角A的平分线，这里不存在平行线，于是可考虑过定点作某定直线的平行线，添加了这样的辅助线后，就可以利用平行关系找出相应的比例线段，再比较所证的比例式与这个比例式的关系，去探求问题的解决．
证法1： 如图4—9，过C点作CE∥AD，交BA的延长线于E．在△BCE中，∵ DA∥CE，∴ ①
又∵ CE∥AD，∴ ∠1=∠3，∠2=∠4，且AD平分∠BAC，
∵ ∠1=∠2，于是∠3=∠4，
∴ AC=AE．代入②式得．
分析2 由于BD、CD是点D分BC而得，故可过分点D作平行线．
证法2： 如图4—10，过D作DE∥AC交AB于E，则∠2=∠3．

∵ ∠1=∠2，∴ ∠1=∠3．
于是EA=ED．
又∵，∴ ，∴ .
分析3 欲证式子左边为AB：AC，而AB、AC不在同一直线上，又不平行，故考虑将AB转移到与AC平行的位置．
证法3： 如图4—11，过B作BE∥AC，交AD的延长线于E，则∠2=∠E．

∵ ∠1=∠2，∴ ∠1=∠E，AB=BE．
又∵，∴ .
分析4 由于AD是∠BAC的平分线，故可过D分别作AB、AC的平行线，构造相似三角形求证．
证法4 如图4—12，过D点作DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．

易证四边形AEDF是菱形．则 DE=DF．
由△BDE∽△DFC，得．
又∵ ，∴ .
一、如何证明三角形相似
例1、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽ ∽ 。

例2、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD
例3：已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD
求证：△DBE∽△ABC
例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。
二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式
例5、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：DFAC=BCFE

例6：已知：如图，在△ABC中，∠BAC=900，M是BC的中点，DM⊥BC于点E，交BA的延长线于点D。
求证：（1）MA2=MDME；（2）
例7：如图△ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E，交AB于F，求证：AE：ED=2AF：FB。
三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。
例8：已知：如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且。求证：∠AEF=∠FBD

例9、在平行四边形ABCD内，AR、BR、CP、DP各为四角的平分线， 求证：SQ∥AB，RP∥BC
例10、已知A、C、E和B、F、D分别是∠O的两边上的点，且AB∥ED，BC∥FE，求证：AF∥CD
例11、直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BCDE是正方形，AE交BC于F，FG∥AC交AB于G，求证：FC=FG
例12、Rt△ABC锐角C的平分线交AB于E，交斜边上的高AD于O，过O引BC的平行线交AB于F，求证：AE=BF
一、 判定相似三角形的基本思路:
1. 找准对应关系：两个三角形的三个对应顶点、三个对应角、三条对应边不能随便写，一般说来，相等的角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角。
2. 记住五个判定定理：判定相似三角形依据是五个定理，即预备定理、判定定理一、判定定理二、判定定理三、直角三角形相似的判定定理。
二、 相似形的应用：
1. 证比例式；
2. 证等积式；
3. 证直线平行；
4. 证直线垂直；
5. 证面积相等；
三、 经典例题：
例1.如图，在ΔABC中，D是BC的中点，E是AC延长线上任意一点，连接DE与AB交于F，与过A平行于BC的直线交于G。
求证：.

变式1：如图，在ΔABC中，与互余，CDAB，DE//BC，交AC于点E，求证：
AD:AC=CE:BD.
例2：如图：已知梯形ABCD中，AD//BC，，且BDCD于D。
求证：① ；②
例3.如图，在ΔABC中，，M是BC的中点，DMBC交BA的延长线于D，交AC于E。
求证：
例4.已知：在ΔABC中，AD是的平分线，点E在AD上，点F在AD的延长线上，且
求证：BE//FC。
例5.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB、AC上一点，切BE=BF，BPCE，垂足为P。
求证：PDPF.
例6.在ΔABC的中线AD,BE相交于G。
求证：ΔAGB的面积等于四边形CEGD。
A
B
C
D

1.如图，在中，，是边上一点，连接．
（1）要使，还需要补充一个条件是 （只要求填一个）
（2）若，且，，求的长．
2. 如图，在平行四边形ABCD中，R在BC的延长线上，AR交CD于Q，若DQ∶CQ＝4∶3，求AQ∶QR的值。

3.如图，梯形中，，且，，分别是，的中点，与相交于点．
（1）求证：；
（2）若，求．
4.如图，△ABC中AB=BD，AD为中线，点E是BD的中点。
求证：（1） △ABE∽CBE； （2）求证：AC=2AE

5. 如图，点，分别在的边，上，四边形是等腰梯形，．与交于点，且．
（1）试问：成立吗？说明理由；
（2）若，求证：是等腰三角形．
6、已知：如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线EF交CB的延长线于点F,求证：

7、已知：如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=900,过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F。
　求证：
8、如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.
(1)ΔABE与ΔADF相似吗？说明理由.
(2)ΔAEF与ΔABC相似吗？说说你的理由.

9、已知：∠A=60°，BD、CE是△ABC的高。
（1）△ADE与△ABC相似吗？说明理由。
（2）图中共有几对相似三角形？
思考：去掉∠A=60°条件以上结论还成立吗？
10.M为线段AB的中点，AE与BD交于C，∠DME=∠A=∠B=，且DM交AC于F，ME交BC于G。（1）写出图中相似三角形；
（2）连接FG，若=45°，AB=，AF=3，求FG的长。
1、如图，△ABC中，三条内角平分线交于D，过D作AD垂线，分别交AB、AC于M、N，请写出图中相似的三角形，并说明其中两对相似的正确性。
2、如图，AD为△ABC的高，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，试判断∠ADF与∠AEF的大小，并说明明理由，
3、如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AB上，且∠CAD=∠ADE=∠B，AC：BC=1：2，设△EBD、△ADC、△ABC的周长分别为m1 、m2、m3，求的值，
4、如图，已知△ABC中，D为BC中点，AD=AC，DE⊥BC，DE与AB交于E，EC与AD相交于点F，（1）△ABC与△FCD相似吗？请说明理由；（2）若S =5，BD=10，求DE的长。
6、已知:如图，在△PAB中,∠APB=120O,M、N是AB上两点，且△PMN是等边三角形。
求证: BM·PA=PN·BP
7、已知：如图，D是△ABC的边AC上一点，且CD=2AD，AE⊥BC于E, 若BC=13, △BDC的面积是39, 求AE的长。     

8、已知：如图，在△ABC中，AB=15，AC=12，AD是∠BAC的外角平分线且AD交BC的延长线于点D，DE∥AB交AC的延长线于点E。
9、已知: 如图，四边形ABCD中，CB⊥BA于B，DA⊥BA于A，BC=2AD，DE⊥CD交AB于E，连结CE，求证：DE2=AE•CE
10、如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F.
(1)ΔABE与ΔADF相似吗？请说明理由.(2)若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长.

11、如图：三角形ABC是一快锐角三角形余料，边BC＝120mm,高AD ＝80mm,要把它加工成正方形零件，是正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
12、已知：如图：FGHI为矩形，AD⊥BC于D，，BC＝36cm,AD＝12cm 。
求：矩形FGNI的周长。

13、已知:如图,DE∥BC,AF∶FB=AG∶GE。求证:ΔAFG∽ΔAED。

14、己知:如图,AB∥CD,AF=FB,CE=EB. 求证:GC2=GF·GD.
15、如图,在正方形ABCD中,E是CD的中点,EF⊥AE. 求证:AE2=AD×AF.
[提示：延长AE、BC交于G，先证ΔADE≌ΔGCE，ΔGCE∽ΔAEF]
16、如图,∠ADC=∠ACB=900,∠1=∠B,AC=5,AB=6,求AD的长
17、如图,正方形ABCD中,E是AD的中点,DM⊥CE,AB=6,求DM的长。

18、己知:如图,AD是ΔABC的角平分线,EF垂直平分AD交BC的延长线于F.
求证:FD2=FB·FC. [提示:连结AF]
19、已知:如图,ΔABC中,∠ACB=900,F为AB的中点,EF⊥AB.求证:ΔCDF∽ΔECF.

20、已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:ΔAEF∽ΔACB.
21、已知:如图,DE∥BC,AD2=AF·AB。求证:ΔAEF∽ΔACD。

22、已知:如图,ΔABC中,∠ACB=900,CD⊥AB,DE⊥BC,AC=6,DE=4,求CD和AB的长

23、已知:如图,ΔABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC.求证:AB·BC=AC·CD.

24、已知:如图,CE是RtΔABC的斜边AB上的高,BG⊥AP. 求证:CE2=ED·EP.

25、已知:如图,ΔABC中,AD=DB,∠1=∠2.求证:ΔABC∽ΔEAD.

26、已知:如图,∠1=∠2,∠3=∠4. 求证:ΔDBE∽ΔABC.
27、如图，∠B=900，AB=BE=EF=FC=1。求证：ΔAEF∽ΔCEA.

28、如图，在梯形ABCD中，AB⊥BC，∠BAD=90°，对角线BD⊥DC。
（1）△ABD与△DCB相似吗？请说明理由。 （2）如果AD=4，BC=9，求BD的长。

29、已知，如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点，△ADQ与△QCP是否相似？为什么？
30、已知：如图所示，D是AC上一点，BE//AC，BE=AD，AE分别交BD、BC于点F、G，∠1=∠2。则BF是FG、EF的比例中项吗？请说明理由
31、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。

32、如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，DE⊥DF，且DE和DF
分别交AB、
45°
A
E

F
B
C
33、如图,已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点E、F在AB上,∠ECF=45°.（1）求证:△ACF∽BEC；（2）设△ABC的面积为S，求证:AF·BE=2S.
A
C
E
F
D

B
34、如图，在ABCD中,过点B作BE⊥CD,垂足为E,连结AE,F为AE上一点,且∠BFE=∠C.（1）求证:△ABF∽△EAD；（2）若AB=4,∠BAE=30°，求AE的长；（3）在（1）（2）的条件下,若AD=3,求BF的长.
A
F
E
M
C
D
G
B
第5题图
35、将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折线交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC交于点G,（1）如果M为CD的中点,求证:DE∶DM∶EM=3∶4∶5.（2）如果M为CD上任一点,设AB=2a，问△CMG的周长是否与点M的位置有关?若有关,请把△CMG的周长用含DM的长x（即DM=x）的代数式表示；若无关,请说明理由.
A
D
C
M
图①
B
A
D
C
图②
B
36、某生活小区的居民筹集资金1600元,计划在一块上、下底分别为10米,20米的梯形空地上种植花木如图①，（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花,单价为8元/㎡，当△AMD地带种满花后（图中阴影部分）共花了160元,请计算种满△BMC地带所需费用.（2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉两种花木可供选择,单价分别为12元/㎡和10元/㎡，应选择哪种花木,刚好用完所筹集的资金.（3）若梯形ABCD为等腰梯形,面积不变（如图②）请你设计一种花坛图案,即在梯形内找到一点P,使得△APB≌△DPC,且S△APD=S△BPC，并说明你的理由.
37、如图,正方形ABCD的边长为2,AE=EB,MN=1,线段MN的两端在BC、CD上,若△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似,求CM的长.
B
C
D
M

N
E
A

A
P
Q
B

C
M
A
P
Q
B

C
38、如图,已知△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ∥AB,P点在AC上（与A、C不重合），Q在BC上.（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时,求CP的长.（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时,求CP的长.（3）试问:在AB上是否存在一点M,使得△PQM为等腰直角三角形,若不存在,请简要说明理由；若存在,请求出PQ的长.
40、如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,DE⊥AC,M为DE的中点,AM与BE相交于N,AD与BE相交于F.
A
D
B
F
E
N
M
C

求证:（1）=；（2）△BCE∽△ADM；（3）AM与BE互相垂直.
A
Q
P

D
C
B
41、如图,在矩形ABCD中,AB=12㎝，BC=6㎝,点P沿AB边从点A开始向点B以2㎝/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1㎝/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）,那么（1）当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形；（2）求四边形QAPC的面积,提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似?
A
D
C

E
B
42、如图,已知点E是四边形ABCD的对角线BD上一点,且∠BAC=∠BDC=∠DAE.（1）求证:BE·AD=CD·AE；（2）根据图形特点,猜想可能等于哪两条线段的比（只需写出图形中已有线段的一组比即可），并证明你的结论.
A
B
C
E

D
M
H
K
43、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,M是CD上的点,DH⊥BM于H,DH的延长线交AC的延长线于E.求证:（1）△AED∽△CBM；（2）AE·CM=AC·CD.
44、如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,D为CB延长线上一点,E为BC延长线上点,且满足AB2=DB·CE.
（1）求证:△ADB∽△EAC；（2）若∠BAC=40°，求∠DAE的度数
A
B
C
E

D

A
B
P
D
Q

C
45、如图,P为正方形ABCD的边BC上的点,BP=3PC,Q是CD中点,（1）求证:△ADQ∽△QCP；（2）在现在的条件下,请再写出一个正确结论.
46、如图,在△ABC中,∠BAC=90°D为BC的中点,AE⊥AD,AE交CB的延长线于点E.（1）求证:△EAB∽△ECA；（2）△ABE和△ADC是否一定相似?如果相似,加以说明,如果不相似,那么增加一个怎样的条件, △ABE和△ADC一定相似.
A
B
D
E

C

47、已知,如图,在△ABC中,D是BC的中点,且AD=AC,DE⊥BC交AB于点E,
A
B
D
E

C
F
EC与AD相交于点F.（1）求证:△ABC∽△FCD；（2）若S△FCD=5,BC=10,求DE的长.
48、已知,梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC,且AD=5,AB=DC=2.（1）P为AD上一点,满足∠BPC=∠A,
求证:△ABP∽△DPC；（2）如果点P在AD边上移动（P与点A、D不重合），且满足∠BPE=∠A,
B
C
D
A
P
E
Q
PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么,当点Q在线段DC的延长线上时,设AP=x，CQ=y，
求关于的函数解析式,并写出函数的定义域.
B
C
D
A
P

A
Q
B
E
P
F
C

49、已知,如图,等边三角形ABC中,AB=2,点P是AB边上的任意一点（点P与点A重合,但不与点B重合），过点P作PE⊥BC于E,过点E作EF⊥AC于F,过点F作FQ⊥AB于点Q,设BP=x，AQ=y.（1）写出y与x之间的函数关系式：（2）当BP的长等于多少时,点P与点Q重合；（3）当线段PE、FQ相交时,写出线段PE、EF、FQ所围成三角形的周长的取值范围.
A
F
B
C
D

E

50、如图,在△ABC中,AC=BC,F为边AB上的一点,BF∶AF=m∶n（m、n＞0），取CF的中点D，连结AD并延长交BC于点E。（1）求BE∶EC的值；（2）若BE=2EC，那么CF所在的直线与边AB有怎样的位置关系？证明你的结论。（3）E点能否成为BC中点？若能，求出相应的ｍ∶ｎ，若不能，证明你的结论。
51、如图,已知，在△ABC中,BA=BC=20㎝，AC=30㎝,点P从A点出发,沿AB以4㎝/s的速度向点B运动；同时点Q从C点出发,沿CA以3㎝/s的速度向A点运动,设运动时间为x，
B
P
A
C
Q

（1）当x为何值时,PQ∥BC；（2）当S△BCQ∶S△ABC=1∶3时,求S△BPQ∶S△ABC的值；（3）△APQ能否与△CQB相似,若能,求出AP的长,若不能,请说明理由.
B
E
A
C
D

52、如图,△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°，CE⊥BD于E,连结AE.（1）写出图中所有相等的线段,并加以说明；（2）图中有无相似三角形,若有,请写出一对,若没有,请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比.
53、如图，在⊿ABC（AB>AC）的边AB上取一点，在边AC上取一点E，使AD=AE，直线DE和BC的延长线交于点P，求证：BP：CP=BD：CE
B
C
D
A
E
54、已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AB，AD交BC于点E，DC⊥BC，与AD交于点D．
求证：AC2＝AE·AD．提示：证明△AEC∽△ACD．
B
C
D
A
E
F
55、已知：如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，点E是AC边的中点，ED的延长线与AB的延长线交于点F．
求证：△AFD ∽△DFB．
56、已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，OF⊥AC于点O，交AB于点E，交CB的延长线于点F，求证：AO2＝OE · OF．
B
C
D
A
F
E
O

57、已知：如图，ΔABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点E、F是AB边所在直线上的两点，且∠ECF＝135°．
（1）求证：ΔECA∽ΔCFB；
（2）若AE＝2，设AB＝x，BF＝y，求y与x之间的函数关系式，并求定义域；
B
C
A
E
F
（3）若点P（a，b）在上述（2）中的函数图象上移动，点P到点M（0，1）的距离为PM，P到x轴的距离为PN，PM－PN的值有变化吗？若认为没有变化，请简要说明理由；若认为有变化，请加以证明．
（1）略；（2）y＝x2（x＞0）；（3）PM－PN＝1，不变
. . . .