相似三角形中证明技巧.doc

相似三角形中的辅助线添加和相似三角形证明技巧在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：一、作平行线例1. 如图，的AB边和AC边上各取一点D和E，且使ADAE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证： 证明：过点C作CG/FD交AB于G 小结：本题关键在于ADAE这个条件怎样使用。由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例。例2. 如图，ABC中，ABAC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：ABDF=ACEF。 分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。 方法一：过E作EM/AB，交BC于点M，则EMCABC（两角对应相等，两三角形相似）。 方法二：如图，过D作DN/EC交BC于N 二、作垂线3. 如图从 ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：。证明：过B作BMAC于M，过D作DNAC于N （1） 又 （2） （1）+（2） 又 AN=CM 三、作延长线例5. 如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：FG=CFBF解析：欲证式即 由“三点定形”，BFG与CFG会相似吗？显然不可能。（因为BFG为Rt），但由E为CD的中点，可设法构造一个与BFG相似的三角形来求解。 不妨延长GF与AC的延长线交于H则 又ED=EC FG=FH 又易证RtCFHRtGFB FGFH=CFBF FG=FH FG2=CFBF四、作中线例6 如图，中，ABAC，AEBC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。解：取BC的中点M，连AM ABAC AM=CM 1=C 又 BD=DC 又 DC=1 MC=BC （1） 又 又 EC=1 （2） 由（1）（2）得， 小结：利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取BC中点M，构造与相似是解题关键练习题 1、在ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F。求证：EFBC=ACDF2、中，AC=BC，P是AB上一点，Q是PC上一点（不是中点），MN过Q且MNCP，交AC、BC于M、N，求证：。例1： 已知：如图，ABC中，ABAC，BDAC于D求证： BC22CDAC 证法一（构造2CD）：如图，在AC截取DEDC，BDAC于D，BD是线段CE的垂直平分线，BC=BE，C=BEC，又 ABAC，C=ABC BCEACB， BC22CDAC证法二（构造2AC）：如图，在CA的延长线上截取AEAC，连结BE， ABAC， ABAC=AEEBC=90，又BDACEBC=BDC=EDB=90，E=DBC，EBCBDC即BC22CDAC证法三（构造） ：如图，取BC的中点E，连结AE，则EC=又AB=AC，AEBC，ACE=CAEC=BDC=90ACEBCD即BC22CDAC证法四（构造）：如图，取BC中点E，连结DE，则CE= BDAC，BE=EC=EB，EDC=C又AB=AC，ABC=C，ABCEDCJ即BC22CDAC例2已知梯形中，是腰上的一点，连结（1）如果，求的度数；（2）设和四边形的面积分别为和，且，试求的值（1）设，则解法1如图，延长、交于点， ，为的中点又 ，又 为等边三角形 故 解法2如图作分别交、于点、则，得平行四边形同解法1可证得为等边三角形故解法3如图作交于，交的延长线于作，分别交、于点、则，得矩形 ，又 ，故为、的中点以下同解法1可得是等边三角形故解法4如图，作，交于，作，交于，得平行四边形，且读者可自行证得是等边三角形，故解法5如图延长、交于点，作，分别交、于点、，得平行四边形可证得为的中点，则，故得为等边三角形，故解法6如图（补形法），读者可自行证明是等边三角形，得（注：此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等）（2）设，则解法1（补形法）如图补成平行四边形，连结，则设，则，由得， ， 解法2（补形法）如图，延长、交于点，又设，则，解法3（补形法）如图连结，作交延长线于点连结则，故（1），故（2）由（1）、（2）两式得即解法4（割补法）如图连结与的中点并延长交延长线于点，如图，过、分别作高、，则且，又，故说明 本题综合考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题关键是作辅助线，构造相似三角形. 例3如图4-1，已知平行四边ABCD中，E是AB的中点，连E、F交AC于G求AG：AC的值解法1： 延长FE交CB的延长线于H， 四边形ABCD是平行四边形， ， H=AFE，DAB=HBE又AE=EB， AEFBEH，即AF=BH， ， ，即 ADCH，AGF=CGH，AFG=BHE， AFGCGH AG：GC=AF：CH， AG：GC=1：4， AG：AC=1：5解法2： 如图42，延长EF与CD的延长线交于M，由平行四边形ABCD可知，即ABMC， AF：FD=AE：MD，AG：GC=AE：MC ， AF：FD=1：2， AE：MD=1：2 AE：MC=1：4，即AG：GC=1：4， AG：AC=1：5例4、如图45，B为AC的中点，E为BD的中点，则AF：AE=_.解析：取CF的中点G，连接BG B为AC的中点， BG：AF=1：2，且BGAF，又E为BD的中点， F为DG的中点 EF：BG=1：2故EF：AF=1：4， AF：AE=4：3例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，E为AB延长线上一点，OE交BC于F，若AB=a，BC=b，BE=c，求BF的长解法1： 过O点作OMCB交AB于M， O是AC中点，OMCB， M是AB的中点，即， OM是ABC的中位线，且OMBC，EFB=EOM，EBF=EMO BEFMOE，即，.解法2： 如图4-8，延长EO与AD交于点G，则可得AOGCOF， AG=FC=b-BF， BFAG，即， .解法3： 延长EO与CD的延长线相交于N，则BEF与CNF的对应边成比例，即解得.例6、已知在ABC中，AD是BAC的平分线求证：分析1 比例线段常由平行线而产生，因而研究比例线段问题，常应注意平行线的作用，在没有平行线时，可以添加平行线而促成比例线段的产生此题中AD为ABC内角A的平分线，这里不存在平行线，于是可考虑过定点作某定直线的平行线，添加了这样的辅助线后，就可以利用平行关系找出相应的比例线段，再比较所证的比例式与这个比例式的关系，去探求问题的解决证法1： 如图49，过C点作CEAD，交BA的延长线于E在BCE中， DACE， 又 CEAD， 1=3，2=4，且AD平分BAC， 1=2，于是3=4， AC=AE代入式得分析2 由于BD、CD是点D分BC而得，故可过分点D作平行线证法2： 如图410，过D作DEAC交AB于E，则2=3 1=2， 1=3于是EA=ED又， ， .分析3 欲证式子左边为AB：AC，而AB、AC不在同一直线上，又不平行，故考虑将AB转移到与AC平行的位置证法3： 如图411，过B作BEAC，交AD的延长线于E，则2=E 1=2， 1=E，AB=BE又， .分析4 由于AD是BAC的平分线，故可过D分别作AB、AC的平行线，构造相似三角形求证证法4 如图412，过D点作DEAC交AB于E，DFAB交AC于F易证四边形AEDF是菱形则 DE=DF由BDEDFC，得又 ， .一、如何证明三角形相似例1、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则AGD 。例2、已知ABC中，AB=AC，A=36，BD是角平分线，求证：ABCBCD例3：已知，如图，D为ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在ABC外作CBE=ABD，BCE=BAD求证：DBEABC例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例5、ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：DFAC=BCFE例6：已知：如图，在ABC中，BAC=900，M是BC的中点，DMBC于点E，交BA的延长线于点D。求证：（1）MA2=MDME；（2）例7：如图ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E，交AB于F，求证：AE：ED=2AF：FB。三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。例8：已知：如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且。求证：AEF=FBD例9、在平行四边形ABCD内，AR、BR、CP、DP各为四角的平分线， 求证：SQAB，RPBC例10、已知A、C、E和B、F、D分别是O的两边上的点，且ABED，BCFE，求证：AFCD例11、直角三角形ABC中，ACB=90，BCDE是正方形，AE交BC于F，FGAC交AB于G，求证：FC=FG例12、RtABC锐角C的平分线交AB于E，交斜边上的高AD于O，过O引BC的平行线交AB于F，求证：AE=BF一、 判定相似三角形的基本思路:1. 找准对应关系：两个三角形的三个对应顶点、三个对应角、三条对应边不能随便写，一般说来，相等的角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角。2. 记住五个判定定理：判定相似三角形依据是五个定理，即预备定理、判定定理一、判定定理二、判定定理三、直角三角形相似的判定定理。二、 相似形的应用：1. 证比例式；2. 证等积式；3. 证直线平行；4. 证直线垂直；5. 证面积相等；三、 经典例题：例1.如图，在ABC中，D是BC的中点，E是AC延长线上任意一点，连接DE与AB交于F，与过A平行于BC的直线交于G。求证：.变式1：如图，在ABC中，与互余，CDAB，DE/BC，交AC于点E，求证：AD:AC=CE:BD.例2：如图：已知梯形ABCD中，AD/BC，且BDCD于D。求证：；例3.如图，在ABC中，M是BC的中点，DMBC交BA的延长线于D，交AC于E。求证：例4.已知：在ABC中，AD是的平分线，点E在AD上，点F在AD的延长线上，且求证：BE/FC。例5.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB、AC上一点，切BE=BF，BPCE，垂足为P。 求证：PDPF.例6.在ABC的中线AD,BE相交于G。求证：AGB的面积等于四边形CEGD。ABCD1.如图，在中，是边上一点，连接（1）要使，还需要补充一个条件是 （只要求填一个）（2）若，且，求的长2. 如图，在平行四边形ABCD中，R在BC的延长线上，AR交CD于Q，若DQCQ43，求AQQR的值。 3.如图，梯形中，且，分别是，的中点，与相交于点（1）求证：；（2）若，求4.如图，ABC中AB=BD，AD为中线，点E是BD的中点。求证：（1） ABECBE； （2）求证：AC=2AE5. 如图，点，分别在的边，上，四边形是等腰梯形，与交于点，且（1）试问：成立吗？说明理由；（2）若，求证：是等腰三角形6、已知：如图，AD是ABC的角平分线，AD的垂直平分线EF交CB的延长线于点F,求证：7、已知：如图，四边形ABCD中，A=BCD=900,过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F。求证：8、如图，四边形ABCD是平行四边形，AEBC于E，AFCD于F.(1)ABE与ADF相似吗？说明理由.(2)AEF与ABC相似吗？说说你的理由.9、已知：A=60，BD、CE是ABC的高。（1）ADE与ABC相似吗？说明理由。（2）图中共有几对相似三角形？思考：去掉A=60条件以上结论还成立吗？10.M为线段AB的中点，AE与BD交于C，DME=A=B=，且DM交AC于F，ME交BC于G。（1）写出图中相似三角形；（2）连接FG，若=45，AB=，AF=3，求FG的长。1、如图，ABC中，三条内角平分线交于D，过D作AD垂线，分别交AB、AC于M、N，请写出图中相似的三角形，并说明其中两对相似的正确性。2、如图，AD为ABC的高，DEAB，DFAC，垂足分别为E、F，试判断ADF与AEF的大小，并说明明理由，3、如图，在ABC中，点D、E分别在BC、AB上，且CAD=ADE=B，AC：BC=1：2，设EBD、ADC、ABC的周长分别为m1 、m2、m3，求的值，4、如图，已知ABC中，D为BC中点，AD=AC，DEBC，DE与AB交于E，EC与AD相交于点F，（1）ABC与FCD相似吗？请说明理由；（2）若S =5，BD=10，求DE的长。6、已知:如图，在PAB中,APB=120O,M、N是AB上两点，且PMN是等边三角形。求证: BMPA=PNBP7、已知：如图，D是ABC的边AC上一点，且CD=2AD，AEBC于E, 若BC=13, BDC的面积是39, 求AE的长。8、已知：如图，在ABC中，AB=15，AC=12，AD是BAC的外角平分线且AD交BC的延长线于点D，DEAB交AC的延长线于点E。9、已知: 如图，四边形ABCD中，CBBA于B，DABA于A，BC=2AD，DECD交AB于E，连结CE，求证：DE2=AECE10、如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DFAE于F.(1)ABE与ADF相似吗？请说明理由.(2)若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长.11、如图：三角形ABC是一快锐角三角形余料，边BC120mm,高AD 80mm,要把它加工成正方形零件，是正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？12、已知：如图：FGHI为矩形，ADBC于D，BC36cm,AD12cm 。求：矩形FGNI的周长。13、已知:如图,DEBC,AFFB=AGGE。求证:AFGAED。14、己知:如图,ABCD,AF=FB,CE=EB. 求证:GC2=GFGD.15、如图,在正方形ABCD中,E是CD的中点,EFAE. 求证:AE2=ADAF.提示：延长AE、BC交于G，先证ADEGCE，GCEAEF16、如图,ADC=ACB=900,1=B,AC=5,AB=6,求AD的长17、如图,正方形ABCD中,E是AD的中点,DMCE,AB=6,求DM的长。18、己知:如图,AD是ABC的角平分线,EF垂直平分AD交BC的延长线于F.求证:FD2=FBFC. 提示:连结AF19、已知:如图,ABC中,ACB=900,F为AB的中点,EFAB.求证:CDFECF.20、已知:如图,ABC中,CEAB,BFAC.求证:AEFACB.21、已知:如图,DEBC,AD2=AFAB。求证:AEFACD。22、已知:如图,ABC中,ACB=900,CDAB,DEBC,AC=6,DE=4,求CD和AB的长23、已知:如图,ABC中,ABC=2C,BD平分ABC.求证:ABBC=ACCD.24、已知:如图,CE是RtABC的斜边AB上的高,BGAP. 求证:CE2=EDEP.25、已知:如图,ABC中,AD=DB,1=2.求证:ABCEAD.26、已知:如图,1=2,3=4. 求证:DBEABC.27、如图，B=900，AB=BE=EF=FC=1。求证：AEFCEA.28、如图，在梯形ABCD中，ABBC，BAD=90，对角线BDDC。 （1）ABD与DCB相似吗？请说明理由。 （2）如果AD=4，BC=9，求BD的长。29、已知，如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点，ADQ与QCP是否相似？为什么？30、已知：如图所示，D是AC上一点，BE/AC，BE=AD，AE分别交BD、BC于点F、G，1=2。则BF是FG、EF的比例中项吗？请说明理由31、如图，CD是RtABC的斜边AB上的高，BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，ACAE=AFAB吗？说明理由。32、如图，AD是RtABC斜边BC上的高，DEDF，且DE和DF分别交AB、45AEFBC33、如图,已知ABC中，ACB=90，AC=BC,点E、F在AB上,ECF=45.（1）求证:ACFBEC；（2）设ABC的面积为S，求证:AFBE=2S.ACEFDB34、如图，在ABCD中,过点B作BECD,垂足为E,连结AE,F为AE上一点,且BFE=C.（1）求证:ABFEAD；（2）若AB=4,BAE=30，求AE的长；（3）在（1）（2）的条件下,若AD=3,求BF的长.AFEMCDGB第5题图35、将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折线交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC交于点G,（1）如果M为CD的中点,求证:DEDMEM=345.（2）如果M为CD上任一点,设AB=2a，问CMG的周长是否与点M的位置有关?若有关,请把CMG的周长用含DM的长x（即DM=x）的代数式表示；若无关,请说明理由.ADCM图BADC图B36、某生活小区的居民筹集资金1600元,计划在一块上、下底分别为10米,20米的梯形空地上种植花木如图，（1）他们在AMD和BMC地带上种植太阳花,单价为8元/，当AMD地带种满花后（图中阴影部分）共花了160元,请计算种满BMC地带所需费用.（2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉两种花木可供选择,单价分别为12元/和10元/，应选择哪种花木,刚好用完所筹集的资金.（3）若梯形ABCD为等腰梯形,面积不变（如图）请你设计一种花坛图案,即在梯形内找到一点P,使得APBDPC,且SAPD=SBPC，并说明你的理由.37、如图,正方形ABCD的边长为2,AE=EB,MN=1,线段MN的两端在BC、CD上,若AED与以M、N、C为顶点的三角形相似,求CM的长.BCDMNEAAPQBCMAPQBC38、如图,已知ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQAB,P点在AC上（与A、C不重合），Q在BC上.（1）当PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时,求CP的长.（2）当PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时,求CP的长.（3）试问:在AB上是否存在一点M,使得PQM为等腰直角三角形,若不存在,请简要说明理由；若存在,请求出PQ的长.40、如图,在ABC中,AB=AC,ADBC,DEAC,M为DE的中点,AM与BE相交于N,AD与BE相交于F.ADBFENMC求证:（1）=；（2）BCEADM；（3）AM与BE互相垂直.AQPDCB41、如图,在矩形ABCD中,AB=12，BC=6,点P沿AB边从点A开始向点B以2/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t（s）表示移动的时间（0t6）,那么（1）当t为何值时,QAP为等腰直角三角形；（2）求四边形QAPC的面积,提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似?ADCEB42、如图,已知点E是四边形ABCD的对角线BD上一点,且BAC=BDC=DAE.（1）求证:BEAD=CDAE；（2）根据图形特点,猜想可能等于哪两条线段的比（只需写出图形中已有线段的一组比即可），并证明你的结论.ABCEDMHK43、如图,在RtABC中,ACB=90,CDAB,M是CD上的点,DHBM于H,DH的延长线交AC的延长线于E.求证:（1）AEDCBM；（2）AECM=ACCD.44、如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,D为CB延长线上一点,E为BC延长线上点,且满足AB2=DBCE.（1）求证:ADBEAC；（2）若BAC=40，求DAE的度数ABCEDABPDQC45、如图,P为正方形ABCD的边BC上的点,BP=3PC,Q是CD中点,（1）求证:ADQQCP；（2）在现在的条件下,请再写出一个正确结论.46、如图,在ABC中,BAC=90D为BC的中点,AEAD,AE交CB的延长线于点E.（1）求证:EABECA；（2）ABE和ADC是否一定相似?如果相似,加以说明,如果不相似,那么增加一个怎样的条件, ABE和ADC一定相似.ABDEC47、已知,如图,在ABC中,D是BC的中点,且AD=AC,DEBC交AB于点E,ABDECFEC与AD相交于点F.（1）求证:ABCFCD；（2）若SFCD=5,BC=10,求DE的长.48、已知,梯形ABCD中,ADBC,ADAC）的边AB上取一点，在边AC上取一点E，使AD=AE，直线DE和BC的延长线交于点P，求证：BP：CP=BD：CE BCDAE54、已知：如图，在ABC中，ABAC，ADAB，AD交BC于点E，DCBC，与AD交于点D求证：AC2AEAD提示：证明AECACDBCDAEF55、已知：如图，在ABC中，CAB90，ADBC于点D，点E是AC边的中点，ED的延长线与AB的延长线交于点F求证：AFD DFB56、已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，OFAC于点O，交AB于点E，交CB的延长线于点F，求证：AO2OE OFBCDAFEO57、已知：如图，ABC为等腰直角三角形，ACB90，点E、F是AB边所在直线上的两点，且ECF135（1）求证：ECACFB；（2）若AE2，设ABx，BFy，求y与x之间的函数关系式，并求定义域；BCAEF（3）若点P（a，b）在上述（2）中的函数图象上移动，点P到点M（0，1）的距离为PM，P到x轴的距离为PN，PMPN的值有变化吗？若认为没有变化，请简要说明理由；若认为有变化，请加以证明（1）略；（2）yx2（x0）；（3）PMPN1，不变 . . . .