随机变量的特征函数.doc

第四章 大数定律与中心极限定理
4.1特征函数
内容提要
1. 特征函数的定义 设X是一个随机变量,称为X的特征函数,其表达式如下

由于,所以随机变量X的特征函数总是存在的.
2. 特征函数的性质
(1) ;
(2) 其中表示的共 轭;
(3) 若Y=aX+b,其中a,b是常数.则
(4) 若X与Y是相互独立的随机变量,则
(5) 若存在,则可次求导,且对,有
(6) 一致连续性 特征函数在上一致连续
(7) 非负定性 特征函数是非负定的,即对任意正整数n,及n个实数和n个复数,有
(8) 逆转公式 设F(x)和分别为X的分布函数和特征函数,则对F(x)的任意两个点,有

特别对F(x)的任意两个连续点,有

(9) 唯一性定理 随机变量的分布函数有其特征函数唯一决定；

(10) 若连续随机变量X的密度函数为p(x),特征函数为如果
,
则

3. 常用的分布函数特征表
分布
特征函数
退化分布P(X=a)=1

二项分布

几何分布

正态分布

标准正态分布

均匀分布U(a,b)

均匀分布U(-a,b)

指数分布

伽玛分布Ga(a,l)

分布

泊松分布

习题与解答4.1
1. 设离散随机变量X的分布列如下,试求X的特征函数.
X
0
1
2
3
P
0.4
0.3
0.2
0.1
解
2. 设离散变量X服从几何分布
试求X的特征函数,并以此求E(X)和Var(x).
解 记q=1-p, 则
,

,
,
,
,

3．设离散随机变量X服从巴斯卡分布 　　试求X的特征函数.
解 设是相互独立同分布的随机变量,且都服从参数为p的几何分布Ge(p),则由上一题知的特征函数为

其中q=1-p. 又因为,所以X的特征函数为
.
4．求下列分布函数的特征函数,并由特征函数求其数学期望和方差.
(1) (a>0); (2) (a>0).
解 (1)因为此分布的密度函数为
所以此分布的特征函数为

=

又因为
所以 Var(X)=
(2) 因为此分布的密度函数为
所以此分布的特征函数为

又因为当t>0时,有(见菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第二卷第三分册或查积分表)
所以当t>0时,有
而当t<0时,有 所以

又因为在t=0处不可导,故此分布(柯西积分)的数学期望不存在.
注：也可利用复变函数中的留数理论来计算,方法如下：t>0时,

5. 设试用特征函数的方法求X的3阶及4阶中心矩.
解　因为正态分布的特征函数为所以

由此得X的3阶及4阶中心矩为

6. 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性：若X ~ b (n , p),Y ~ b(m , p),且 X与Y独立,则X+Y ~ b(n + m, p).
证 记q=1-p, 因为 , ,
所以由 X与Y的独立性得
,
这正是二项分布b(n + m, p)的特征函数,由唯一性定理知X+Y~b(n+m,P).
7. 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性：若X~P(l1),Y~ P(l2),且X与Y独立,则X+Y~P(l1+l2).
证：因为 所以由X与Y独立性得

这正是泊松分布 P(l1+l2).的特征函数,由唯一性定理知X+Y~ P(l1+l2). .
8. 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性：若 ,且X与Y独立,则.
证 因为 ,,所以由X与Y的独立性得
,
这正是伽玛分布的特征函数,由唯一性定理知
.
9.试用特征函数的方法证明分布的可加性：若,,且X与Y独立,则
证 因为,,所以由X与Y的独立性得

,
这正是分布(n+m)的特征函数,由唯一性定理知
10. 设独立同分布,且.试用特征函数的方法证明:
.
证 因为,所以由诸的相互独立性得的特征函数为
,
这正是伽玛分布的特征函数,由唯一性定理知.
11. 设连续随机变量X服从柯西分布,其密度函数如下：
,
其中参数,常记为,
(1) 试证X的特征函数为,且利用此结果证明柯西分布的可加性；
(2) 当时,记Y=X,试证,但是X与不独立；
(3) 若相互独立,且服从同一柯西分布,试证：

与Xi同分布.
证 (1) 因为的密度函数为,由本节第4题(2)知Y 的特征函数为.由此得的特征函数
.
下证柯西分布的可加性: 设服从参数为的柯西分布,其密度函数为: .若与相互独立,则
,

这正是参数为柯西分布的特征函数.所以由唯一性定理知, 服从参数为的柯西分布.
(2) 当时有 ,,所以

.
由于Y=X,当然X与Y不独立.
此题说明,由不能推得X与Y独立.
(3) 设都服从参数为的柯西分布,则特征函数为.由相互独立性得, 的特征函数为 ,即 与X1具有相同的特征函数,由唯一性定理知它们具有相同的分布.
12.设连续随机变量X的密度函数为p(x),试证：p(x)关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.
证：记X的特征函数为.先证充分性,若是实的偶函数,则或,这表明X与-X有相同的特征函数,从而X与-X有相同的密度函数,而-X的密度函数为p(-x),所以得p(x)=p(-x),即p(x)关于原点是对称的.
再证必要性.若p(x)=p(-x),则X与-X有相同的密度函数,所以X与-X有相同的特征函数.由于-X的特征函数为,所以=,故是实的偶函数.
13.设独立同分布,且都服从N()分布,试求的分布.
解：因为Xj的特征函数为,所以由诸Xi互相独立得的特征函数为这是正态分布N()的特征函数,所以由唯一性定理知~N()

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