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一阶常微分方程的初等解法

目录
摘要
1 .前言
1.1 选题的背景和意义
1.2 本文要解决的问题和所用的方法
1.3 成果及意义
2 .微分方程的基本知识
2.1知识脉络图解
2.2微分的基本概念
3. 一阶微分方程的解法
3.1线性方程
3.2变量分离方程
3.3恰当微分方程与积分因子
3.4一阶隐式微分方程
3.5近似解法

摘要
常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学中占有重要的地位。本文主要通过讨论一阶微分的相关解法问题。讨论的类型有：变量可分离方程，齐次微分方程，积分因子，本文主要归纳了一阶微分方程的初等解法，并同时例举典型例题加以说明。
关键词：一阶常微方程：变量变换：恰当微分方程：积分因子
1. 前言
1.1 选题的背景和意义
微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家欧拉，法国数学家克雷洛，达朗贝尔，拉格朗日等人又不断的研究和丰富了微分方程的理论。常微分方程的形成与发展是和力学，天文学，物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。
1.2 本文要解决的问题和所用的方法
（1）一阶微分方程的基本知识和性质
（2）一阶微分方程的解法
一阶微分方程的初等解法，即把微分方程的求解问题化为积分问题，其解的表达式由初等函数或超越函数表示。
1.3 成果及意义
现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制，各种电子学装置的设计，弹道的计算，飞机和导弹飞行的稳定性的研究，化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。
2.微分方程的基本知识
本部分主要介绍微分方程的知识和基本概念
2.1 知识脉络图解
变量分离法，方程特征
变量变换法，齐次方程令

常见几类一阶微分方程的初等解法

线性方程常数变易法
线性齐次方程 分离变量法
伯努利方程令

→
恰当方程
凑微分法或公式法
利用积分因子将非恰当方程化为恰当方程

不显含y或(x)的方程
可以解出y或（x）的方程
一阶隐方程与参数表示

2.2 微分的基本概念
2.2.1常微分方程和偏微分方程
微分方程：将未知函数，自变量以及它的导数联系起来的关系式。
常微分方程：只含一个自变量的微分方程。
偏微分方程：自变量的个数为两个或两个以上的微分方程。
方程 是常微分方程的例子，y是未知函数，仅含一个自变量t。
方程是偏微分方程的例子，t是未知函数，x，y，z，t是自变量。
微分方程的阶数：微分方程中出现的最高阶导数的阶数。
一般的n阶微分方程具有形式
这里是的已知函数，而且一定含有；y是未知函数，x是自变量。
2.2.2 线性和非线性
如果微分方程对于未知函数及它的各阶导数的有理整式的整体而言是一次的，称为线性微分方程，否则是非线性微分方程。如：是非线性微分方程。一般的n阶线性微分方程具有形式

这里是的已知函数。
2.2.3 解和隐式解
微分方程的解：满足微分方程的函数称为微分方程的解。即若函数代入式
中，使其成为恒等式，称为方程的解。
如果关系式决定的隐函数为方程
的解，称是方程的隐式解。
例如，一阶微分方程
有解和；而关系式是方程的隐式解。
2.2.4 通解和特解
通解： 具有n个独立的任意常数的解称为方程的通解。
注：所谓函数含有n个独立常数，是指存在的某一邻域，使得行列式其中。
特解：方程满足特定条件的解。
定解问题：求方程满足定解条件的求解问题。定解条件分为初始条件和边界条件，相应的定解问题分为初值问题和边值问题。

3 .一阶微分方程的解法
3.1 线性方程
3.1.1 伯努利方程
形如的方程，称为伯努利微分方程，这里为的连续函数，是常数。
利用变量变换可将伯努利微分方程化为线性微分方程。事实上，对于，用乘两边，得到

引入变量变换，从而将代入得到这是线性微分方程，可按常数变易法求得它的通解，然后带回原来的变量，便得到的通解，此外，当时，方程还有解。
例 求解微分方程
解 这是一个伯努利微分方程，两边同乘以，得，
令，则有，
上式是一个一阶非齐次线性微分方程，由常数变易法可求得上式的解
，从而原方程的通解为
3.2 变量分离方程
形如 （1）
的方程，称为变量分离方程，，分别为，的连续函数，这是一类最简单的一阶函数。
如果，我们可将（1）改写成 这样，变量就分离开来了。两边积分，得到
（2）
这里我们把积分常数c明确写出来，而把，分别理解为，的原函数，常数的取值必须保证（2）有意义。
把（2）理解为，，的隐函数关系式，或的，的函数关系式，微分（2）两边，只对任意常数 ， 由（2）所确定的函数关系式满足（1），因为（2）是（1）的通解。
因（2）式不适合情形，但如果存在使，则直接验证知也是（1）的解。因此，还必须寻求的解，当不包括在方程的通解（2）中时，必须补上特解。
例 求解方程。
解 当时，将变量分离，得
，
两边积分，得，则有，即
，因当显然也是所求方程的解，且包含于上式，故所求方程的通解为
，其中，为任意常数。
3.2.1可化为变量分离方程的类型
(1) 形如，（2.3）的方程，称为齐次微分方程，这里是的连续函数。作变量变换，（2.4）即，于是，（2.5）将（2.4），（2.5）代入（2.3），则原方程变为，整理后，得到，（2.6），方程（2.6）是一个变量分离方程，这就所为的可以化为变量分离的方程 。
例 求解方程
解 这是齐次微分方程，以及代入，则原方程变为
，即。将上式分离变量，即有
，
两边积分，得到 ，这里是任意常数 ，整理后，得到
， 令，得到。
此外，方程（2.9）还有解，即。
如果在（2.10）中允许，则也就包括在（2.10）中，这就是说，方程（2.9）的通解为（2.10）。代回原来的变量，得到原方程的通解为。
（2） 形如，（2.7）的方程也可以经变量变换化为变量分离方程，均为常数。
我们分三种情况来讨论：
① （常数）情形。这时方程化为，有解，其中c为任意常数。
② 情形，令，这时有是变量分离方程。
③情形，如果方程（2.7）中不全为零，方程右端分子，分母都是，
的一次多项式，因此（2.8）代表平面上两条相交的直线，设交点为。若令，（2.9），则（2.8）化为,从而（2.7）变为,(2.10)。因此，求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原方程（2.7）的解。如果方程（2.7）中，可不必求解（2.8），直接取变换即可。上述解题的方法和步骤也适用于比方程（2.7）更一般的方程类型

例 求解方程
解 解方程组，得，令,代入原方程 ，则有。再令,即,则（2.18）化为 ，两边积分，得 因此，，记，
并代回原变量，得 。
此外，容易验证
即也是方程（2.18）的解。因此方程（2.17）的通解为
，其中为任意常数。

3.2.2 线性微分方程与常数变易法
一阶线性微分方程
， （2.28）
其中在考虑的区间上是的连续函数。若,(2.28)变为 ， （2.3）
（2.3）称为一阶齐次线性微分方程。若,(2.28)称为一阶非齐次线性微分方程。
（2.3）是变量分离方程，我们已经在2.1例4中求得它的通解为
， （2.4）
这里是任意常数。
现在讨论非齐次线性微分方程（2.28）通解的求法。
不难看出，（2.3）是（2.28）的特殊情形，可以设想：在（2.4）中，将常数变易为的待定函数.令
， （2.29）
微分之，得到
， （2.30）
以（2.29），（2.30）代入（2.28），得到
，
即
，
积分后得到，
这里是任意常数。将上式代入（2.29），得到方程（2.28）的通解
。 （2.31）
这种将常数变易为待定函数的方法，我们通常称为常数变易法。常数变易法实际上也是一种变量变换的方法，通常变换（2.29）可将方程（2.28）化为变量分离方程。
若方程不能化为（2.28)形式，可以将看作是的函数，再看是否为（2.28）形式。
例 求方程的通解，这里为常数。
解 将方程改写为 （2.32）
首先，求齐次线性微分方程

的通解，从得到齐次线性微分方程的通解

其次应用常数变易法求非齐次线性微分方程的通解。为此，在上式中把c看成为x的待定函数，即
（2.33）
微分之，得到
（2.34）
以（2.33）及（2.34）代入（2.32），得到，
积分之，求得
。
因此，以所求的代入（2.33），即得原方程的通解

这里是任意常数。
例 求方程的通解
解 原方程不是未知函数y的线性微分方程，但我们可将它改写为 ， 即， （2.35）
把看作是未知函数，看作自变量，这样，对于及来说，方程（2.35）就是一个线性微分方程。
首先，求出齐次线性微分方程
的通解为 （2.36）
其次，利用常数变易法求非齐次线性微分方程（2.35）的通解，把看成，微分（2.36），得到

代入（2.35），得到
，
积分之，即可求得
。
从而，原方程的通解 为

这里是任意常数。
形如
（2.37）
的方程，称为伯努利微分方程，这里为的连续函数，是常数。
利用变量变换可将伯努利微分方程化为线性微分方程，事实上，对于，用乘（2.37）两边，得到
， （2.38）
引入变量变换
（2.39）
从而
（2.40）
将（2.39）（2.40）代入（2.38),得到
。
3.3 恰当微分方程与积分因子
3.3.1 恰当微分方程
我们可以将一阶方程 写成微分的形式
或把x，y平等看待 ，写成下面具有对称形式的一阶微分方程
（1）
这里假设在某矩形域内是的连续函数，且具有连续的一阶偏导数，这样的形式有时候便于探求方程的通解。
如果方程的左端恰好是某个二元函数的全微分，即
，则称（1）为恰当微分方程。
所以分别对求偏导，得到，，
由，得连续性。可得，故是恰当微分方程的必要条件。
如果是恰当微分方程我们可以利用 “分项组合”的办法来求解。利用公式
例 求解微分方程 。
解 这里，从而，可知所求的微分方程为恰当微分方程，则有，对积分得
，
再对求导，则得 ，
又有 ，则可得 ，
将代入得 ，
所以原方程的通解为 。

例 方程 就可以用“分项组合”的方法求解。
解 把方程重新 分项组合 得到
即 或者写成

于是，方程的通解为 （为任意常数）。
3.3.2 积分因子的定义与充要条件
恰当微分方程可以通过积分求出它的通解。因此能否将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程就有很大的意义。积分因子就是为了解决这个问题引进的概念。
如果存在连续可微函数，使得

为一恰当微分方程，即存在函数v，使
则称为方程的积分因子。
函数 为积分因子的充要条件是
，即
假设原方程存在只与x有关的积分因子，则，则为原方程的积分因子的充要条件是，即仅是关于x的函数。此时可求得原方程的一个积分因子是

同样有只与y有关的积分因子的充要条件是
是仅为y的函数，此时可求得方程的一个积分因子是
例 1. 求解方程。
解 在此式中，因，所以该方程不是恰当方程。
因不是x的函数，但是y的函数，所以为方程的积分因子，方程乘以积分因子，得
该式为恰当微分方程，通过以上介绍的求恰当微分方程的方法得原方程的通解为

例 2. 求解方程
解 ， 方程不是恰当微分方程。
因为 只与y有关故方程有只与y有关的积分因子 以乘方程两边，得到
或者写成
因而，通解为 （c为任意常数）
例 3. 求方程的通解。
解： 所以该方程不是恰当方程。
分组得

显然前两项具有积分因子，相应的全微分为
，
要使得

成立。只需取， 即可，这样就找到了一个积分因子
。
原方程两边同乘，可得
，
所以通解为。
例4 解方程
解： 方程各项重新组合为

此时，可令，上方程化为
，
解之得

3.4 一阶隐式微分方程
3.4.1 可以解出y或x的 方程
（1） 形如 的方程的解法。这里假设有连续的偏导数。
引进参数，则变为

将两边对x求导数，并以代入，得到

方程是关于的一阶微分方程，但它的导数已解出，于是可按前面介绍的方法求出它的解。
若已求出的通解形式为
将它代入，得到 这就是得通解。
若求得的通解形式为
则得到参数形式的通解为

其中 p是参数，c是任意常数。
若求得的通解的形式为

则得到参数形式的通解为

其中p是参数，c是任意常数。

（2） 形如

的方程，假定函数有连续的偏导数。
引进参数，则变为
，
将两边对y求导数，然后以代入，得到

方程是关于y，p的一阶微分方程，但它的导数已解出，于是可按前面的方法求解，
设求得通解为

则得到通解为

3.4.2 不显含y或x的方程
（1）形如

的方程的解法。
记，令，这里t为参数，因为

以代入上式得

两边积分，得到

于是，得到方程的参数形式的通解为

这里c为任意常数。

（2） 形如
的方程。
记，引入参数t，将方程表示为适当的数形式

由关系式 ，得，由此得

于是

为方程的参数形式的通解，其中c为任意常数。
此外，不难验证，若有实根，则也是方程的解。
例 求微分方程的解。
解：令,则，
将上式两边对y求导
，
整理并积分可得
，
所以方程的通解为

3.5 近似解法
逐次迭代法
逐次迭代法是利用证明初值问题 ，，解得存在唯一性时所构造的picard迭代序列的前边若干项来近似初值问题，的解。其近似序列为
，
，
.........

当初始值问题满足解的存在唯一性定理的条件时，上面的迭代序列在一个区间一致收敛到它的解。故当n较大时，就是初始值问题解的一个较好的近似。

本文详细介绍了常微分方程的解法，即把微分方程的解通过初等函数或它们的积分表达出来。本文主要介绍了一阶微分方程的一些可解类型和相应的求解方法，这些方法是在微分方程发展早起由牛顿等发现的。通过撰写论文，我学到了许多以前没有接触到的有常微分方程的知识，拓宽了我的视野。同时，写作过程中遇到了很多困难，也解决了很多困难，培养了积极认真学习的态度，这将会给我今后的工作学习带来极大的帮助。