周期函数注意点以及常见抽象函数周期性的证明.doc

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周期函数
一、 周期函数的定义
1、 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。
注意：
① 定义域：对于任何函数，都需要明确其定义域，对于周期函数来说，其定义域必为至少一端无界的集合。
理由：设周期为T,由周期函数的定义知f(x+T)=f(x),易得f(x+nT)=f(x) (其中n是整数),即x+nT也在定义域内,故周期函数定义域必是无界集。
例题： 是周期函数吗？
② 变的只能是
的变化只能发生在 上。例如 是周期函数，则，不能写成。
例题： ，那么2 是sin的周期吗？
③ 图像为周期波动的函数不一定是周期函数，要观察定义域。
例如：（ ）（ 是取整函数，表示不超过x的最大整数），该函数的图像如下所示，该图像重复出现，但是因为其定义域两端都有界，所以其必不为周期函数。

二、 周期函数问题的相关题型及解答。
核心：所有周期函数的问题，核心在求出周期T，即将题目里各种的等式往方向化简。
化简过程中需要注意的相关函数概念：化简过程中要注意 本身的对称性和奇偶性。
三、 抽象函数的周期总结
1. 型：的周期为T。
证明：对x取定义域内的每一个值时，都有，则为周期函数，T叫函数的周期。
2. 型：的周期为。
证明：。
3. 型：的周期为2a。
证明：
4. 型：的周期为2a。
证明：。
5. 型：的周期为。
证明：。
6. 型：的周期为4a。
证明： ，
∴。
7. 的周期为
证明：=。
8、 的周期为
证明：
9、 的周期为
证明：

10.两线对称型：函数关于直线、对称，则的周期为。
证明：
。
8. 一线一点对称型 ： 函数关于直线及点（b，0）对称，则的周期为。
证明：
，所以
9. 两点对称型： 函数关于点（a，0）、（b，0）对称，则的周期为。证明：。
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