2023年选修空间向量知识点归纳.doc

第三章第三章 空间向量空间向量与立体几何与立体几何 1.1.空间向量的概念空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表达奎屯王新敞新疆同向等长的有向线段表达同一或相等的向量。（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表达。2.2.空间向量的运算。空间向量的运算。定义：与平面向量运算同样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。OBOAABab;BAOA OBab;()OPaR 运算律：加法互换律：abba 加法结合律：)()(cbacba 数乘分派律：baba)(3.3.共线向量。共线向量。（1）假如表达空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作ba/。当我们说向量a、b共线（或a/b）时，表达a、b的有向线段所在的直线也许是同一直线，也也许是平行直线。（2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b0），a/b存在实数，使ab。4.4.共面向量共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：假如两个向量,a b不共线，p与向量,a b共面的条件是存在实数,x y使pxayb。5.5.空间向量基本定理：空间向量基本定理：假如三个向量,a b c不共面，那么对空间任历来量p，存在一个唯一的有序实数组,x y z，使pxaybzc。若三向量,a b c不共面，我们把,a b c叫做空间的一个基底，,a b c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设,O A B C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数,x y z，使OPxOAyOBzOC。6.6.空间两向量的夹角：空间两向量的夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点 O，作，（两个向量的起点一定要相同），则叫做向量与的夹角，记作，且。7 7.空空间向量的直角坐间向量的直角坐标系：标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(,)x y z，使zkyixiOA，有序实数组(,)x y z叫作向量A在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作(,)A x y z，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。(2)右手直角坐标系：右手握住 z 轴，当右手的四指从正向 x 轴以 90角度转向正向 y 轴时，大拇指的指向就是 z 轴的正向；（3）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用,i j k表达。（4）空间向量的直角坐标运算律：若123(,)aa a a，123(,)bb b b，则 112233(,)abab ab ab，112233(,)abab ab ab，123(,)()aaaaR，1 12 23 3a baba ba b，112233/,()abab ab abR或332211bababa 1 12 23 30ababa ba b。若111(,)A x y z，222(,)B x y z，则212121(,)ABxx yy zz。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表达这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。（5）模长公式：若123(,)aa a a，123(,)bb b b，则222123|aa aaaa，222123|bb bbbb（6）夹角公式：1 12 23 3222222123123cos|aba ba ba ba babaaabbb。（7）两点间的距离公式：若111(,)A x y z，222(,)B x y z，则2222212121|()()()ABABxxyyzz，或222,212121()()()A Bdxxyyzz （8）空 间 线 段),(),(22221111zyxPzyxP的 中 点),(zyxM的 坐 标：2,2,2212121zzyyxx（9）球面方程：2222Rzyx 8 8.空间向量的数量积。空间向量的数量积。（1）空间向量的夹角及其表达：已知两非零向量,a b，在空间任取一点O，作,OAa OBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作,a b；且规定0,a b，显然有,a bb a；若,2a b，则称a与b互相垂直，记作：ab。（2）向量的模：设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a。（3）向量的数量积：已知向量,a b，则|cos,aba b叫做,a b的数量积，记作a b，即a b|cos,aba b。（4）空间向量数量积的性质：|cos,a eaa e。0abab。2|aa a=2)(a，2)(aa （5）空间向量数量积运算律：()()()aba bab。a bb a（互换律）。()abca ba c（分派律）。9 9、空间向量在立体几何证明中的应用：空间向量在立体几何证明中的应用：),(),(321321bbbCDaaaAB（1）证明/ABCD，即证明/ABCD，也就是证明332211,bababa或332211bababa（2）证明ABCD，即证明0AB CD，也就是证明0332211bababa（3）证明/AB（平面）（或在面内），即证明AB垂直于平面的法向量或证明AB与平面内的基底共面；（4）证明AB，即证明AB平行于平面的法向量或证明AB垂直于平面内的两条相交的直线所相应的向量；（5）证明两平面/（或两面重合），即证明两平面的法向量平行或一个面的法向量垂直于另一个平面；（6）证明两平面，即证明两平面的法向量垂直或一个面的法向量在另一个面内。10.10.运用向量的坐标运算解题的环节：运用向量的坐标运算解题的环节：（1）建坐标系，求相关点的坐标（2）求相关向量的坐标（3）运用向量运算解题 11.11.用向量方法来解决立体几何中的空间角的问题：用向量方法来解决立体几何中的空间角的问题：（1 1）两条直线的夹角：两条直线的夹角：设直线设直线,l m的方向向量分别为的方向向量分别为,a b，两直线两直线l,m所成的角为所成的角为(02 ),cosa ba b =ba,cos （2）直线与平面的夹角：直线与平面的夹角：设设直线直线l的方向向量分别为的方向向量分别为a，平面，平面的法向量分别为的法向量分别为u，直线直线l与平面与平面 所成的角为所成的角为(02 ),),sina ua u =ua,cos；（3）二面角：二面角：0 方向向量法：法向量法：法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角 12.12.运用“方向向量”与“法向量”来解决距离问题运用“方向向量”与“法向量”来解决距离问题.（1 1）点与直线的距离：点与直线的距离：),cos(sinaAPAPd先求 （2 2）点到平面的距离：点到平面的距离：d d=|PA nn.如图如图A A,空间一点空间一点P P到平面到平面 的距离为的距离为d d,已知平面已知平面 的一个法向量为的一个法向量为n,且且AP与与n不共线不共线,分析分析:过过P P作作P PO O 于于 O,O,连结连结 OA.OA.则则d d=|=|PO|=|=|cos.PAAPO PO,n POn.coscosAPO=|cosAPO=|cos,PA n|.|.d d=|=|PA|cos|cos,PA n|=|PA nn.（3 3）异面直线间的距离：异面直线间的距离：nABnCDd 已知已知 a,ba,b 是异面直线是异面直线,CD,CD 为为 a,ba,b 的公垂线的公垂线,的方向向量，是直线CDnA，B 分别在直线 a,b 上 nABnCDd （4）其它距离问题：平行线的距离(转化为点到直线的距离）直线与平面的距离（转化为点到平面的距离）平面与平面的距离（转化为点到平面的距离）13.13.补充：补充：（1）三余弦定理 设 AC 是内的任一条直线，且 BCAC，垂足为 C，又设 AO 与 AB 所成的角 为1，AB 与 AC 所 成 的 角 为2，AO 与 AC 所 成 的 角 为 则12coscoscos.（2）三射线定理 若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1,2,与 二 面 角 的 棱 所 成 的 角 是 ，则 有22221212s i ns i ns i ns i n2s i ns i nc o s;1212|180()(当且仅当90时等号成立).（3 3）点点Q到直线到直线l距离距离 221(|)()|ha ba ba(点P在直线l上，直线l的方向向量 a=PA，向量 b=PQ).（4 4）异面直线上两点距离公式异面直线上两点距离公式 2222cosdhmnmn.2222cos,dhmnmnEA AF.2222cosdhmnmn（EAAF）.(两条异面直线 a、b 所成的角为，其公垂线段AA的长度为 h.在直线a、b 上分别取两点 E、F，AEm,AFn,EFd).（5 5）三个向量和的平方公式三个向量和的平方公式 2222()222abcabca bb cc a 2222|cos,2|cos,2|cos,abcaba bbcb ccac a （6）长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123lll、，夹角分别为123、,则有 2222123llll222123coscoscos1222123sinsinsin2.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.（7）面积射影定理 cosSS.(平面多边形及其射影的面积分别是S、S，它们所在平面所成锐二面角的为).（8）斜棱柱的直截面 已知斜棱柱的侧棱长是l,侧面积和体积分别是S斜棱柱侧和V斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c和1S,则 1Scl斜棱柱侧.1VS l斜棱柱.（9）欧拉定理(欧拉公式)2VFE(简朴多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F).E=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n的多边形，则面数 F 与棱数 E 的关系：nFE21 若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数 V 与棱数 E 的关系：.mVE21 (10)(10)球的组合体球的组合体 球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.球与正四周体的组合体:棱长为a的正四周体的内切球的半径为a126,外接球的半径为a46.