理论力学2虚位移原理.ppt

1研究研究该平衡问题该平衡问题构造构造“功功”：平衡条件平衡条件：（a）图示杠杆平衡，求图示杠杆平衡，求F1与与F2关系关系假定系统运动了微小角度假定系统运动了微小角度能否研究诸力做能否研究诸力做功，功，而得到平衡条件？而得到平衡条件？动力学分析方法动力学分析方法则：则：2F1与与F2在相应位移上的功之和：在相应位移上的功之和：条件条件（a）和条件（）和条件（b）是）是等价的等价的（b）平衡条件平衡条件虚位移原理虚位移原理（a）（b）猜想：猜想：力在力在微小位移微小位移中所作的中所作的功功的关系来建立的关系来建立虚位移虚位移虚功虚功3 什么是虚位移什么是虚位移由由 伯伯 努努 利利（Bornoulli，1717)提出提出由由 拉格朗日拉格朗日（Lagrange，1764)完善完善 虚位移原理是虚位移原理是静力学静力学的普遍原理，它给的普遍原理，它给出了质点系出了质点系平衡平衡的充分和必要条件。的充分和必要条件。用动力学方法建立受约束质点系用动力学方法建立受约束质点系平衡条件平衡条件虚位移原理虚位移原理4虚位移的概念与分析方法虚位移的概念与分析方法一、一、实位移、可能位移和虚位移实位移、可能位移和虚位移真实位移真实位移：满足满足运动微分方程运动微分方程和和约束方程约束方程的位移解，是真实的位移解，是真实发生的位移，称为实位移。发生的位移，称为实位移。例：固定斜面上的物体只例：固定斜面上的物体只受重力作用，求：真实位受重力作用，求：真实位移移(速度速度)方向。方向。可能位移可能位移：满足满足约束方程约束方程但不一定但不一定满足运动微分方程的微小位移。满足运动微分方程的微小位移。例：斜面上的物体只受例：斜面上的物体只受重力作用，求：可能位重力作用，求：可能位移方向。移方向。真实位移真实位移(速度速度)只有一组只有一组可能位移可能位移(速度速度)有多组有多组5虚位移虚位移：满足满足约束方程约束方程且且不考虑不考虑约束随时间变化约束随时间变化的可能的可能微小微小位移。位移。1、若约束定常，若约束定常，无穷小可能位移无穷小可能位移就是虚位移，就是虚位移，无穷小真实位移无穷小真实位移(速度速度)也是虚也是虚位移之一。位移之一。例：斜面固定，物体只受重力作用，例：斜面固定，物体只受重力作用，则：则：可能位移、实位移均是虚位移。可能位移、实位移均是虚位移。2、若约束非定常若约束非定常例：斜面以速度例：斜面以速度v运动，物体只运动，物体只受重力作用，则真实位移、可能受重力作用，则真实位移、可能位移、虚位移是什么？位移、虚位移是什么？这时，这时，可能位移可能位移是物体相对斜面的位移与是物体相对斜面的位移与斜面位移的叠加，一般不会在斜面内。斜面位移的叠加，一般不会在斜面内。虚位移是假想约束在该时刻虚位移是假想约束在该时刻“凝固凝固”不动时的不动时的“可能位移可能位移”。虚位移也不唯一虚位移也不唯一虚位移在斜面内虚位移在斜面内6虚虚位位移移特特点点 （2 2）虚位移是假定）虚位移是假定约束不变约束不变而设定的而设定的可能微小位移可能微小位移；（1 1）虚位移不是任何随便的位移，它必须为）虚位移不是任何随便的位移，它必须为约束所允许约束所允许；（3 3）在）在完整、定常约束完整、定常约束下，虚位移方向沿其可能下，虚位移方向沿其可能速度方向速度方向。（4 4）虚位移可能有多组）虚位移可能有多组虚位移：虚位移：几何概念，仅依赖于约束条件几何概念，仅依赖于约束条件71.几何法：几何法：用用“虚速度虚速度”的方法分析虚位移。的方法分析虚位移。如何分析机构某点的虚位移？如何分析机构某点的虚位移？二、虚位移的分析方法二、虚位移的分析方法适用于适用于“速度速度”易于分析的情况易于分析的情况在同一时刻（位置），各点之间的虚位移的关系等同于各点之在同一时刻（位置），各点之间的虚位移的关系等同于各点之间的虚速度的关系。间的虚速度的关系。例：求例：求A、B点的虚位移，点的虚位移，并求虚位移的关系。并求虚位移的关系。82.解析法解析法 2y yx xO OA A(x x1 1,y y1 1)B B(x x2 2,y y2 2)ab1解：选解：选 1、2为系统的广义坐标，直角坐标原为系统的广义坐标，直角坐标原点选在固定点点选在固定点O，则，则A、B坐标可表示为：坐标可表示为：则则A、B两点虚位移在两点虚位移在x、y方向的投影：方向的投影：适用于完整、定常、双面约束适用于完整、定常、双面约束例：例：求求A和和B两点的虚位移两点的虚位移注意：注意：原点必须选在固定点；原点必须选在固定点；体系必须处于一般的位置体系必须处于一般的位置9问题：问题：体系独立的虚位移数目是多少？体系独立的虚位移数目是多少？(i=1,2,n)若若体体系系自自由由度度为为k，则则选选k个个广广义义坐坐标标qi，任任一一质质点点的的定定位位矢矢量量ri可可表表示示成成k个广义坐标的函数：个广义坐标的函数：写成投影：写成投影：用类似求微分的方法求虚位移的投影：用类似求微分的方法求虚位移的投影：10一、虚功一、虚功 虚功虚功（virtual work)：作用于质点或质点系上的力在虚位移上所作的功。作用于质点或质点系上的力在虚位移上所作的功。理想约束理想约束 理想约束理想约束(ideal constraint)：约束力约束力在在任何虚位移任何虚位移上上所作所作虚功之和虚功之和为零的约束。为零的约束。虚位移原理虚位移原理(虚功原理虚功原理)11二、虚位移原理二、虚位移原理(virtual work principle)问题：问题：具有具有理想约束理想约束的质点系，的质点系，在给定位置保持在给定位置保持平衡平衡，则所，则所有主动力在系统的任何虚位移上所作的虚功之和是多少？有主动力在系统的任何虚位移上所作的虚功之和是多少？平衡：平衡：|0i平衡时主动力的虚功平衡时主动力的虚功之和为零之和为零12平衡平衡 假设等式成立但质点系不平衡假设等式成立但质点系不平衡也为虚位移也为虚位移因因故有故有结果与假设的条件相矛盾。所以，质点系不可能进入运动，而必定成平衡。结果与假设的条件相矛盾。所以，质点系不可能进入运动，而必定成平衡。？质点开始运动质点开始运动运动质点运动质点Mi有合力有合力产生同方向的产生同方向的微小实位移微小实位移完整、双面、定常约束完整、双面、定常约束 主动力的虚功之和为主动力的虚功之和为零则系统平衡零则系统平衡13虚位移原理：虚位移原理：具有具有双面、双面、理想约束理想约束的质点系，的质点系，在给定位置在给定位置保持保持平衡平衡的充要条件是：的充要条件是：该质点系所有主动力在系统的任该质点系所有主动力在系统的任何虚位移上所作的虚功之和等于零何虚位移上所作的虚功之和等于零。为主动力，为主动力，为主动力作用处的虚位移，二者是点乘关系为主动力作用处的虚位移，二者是点乘关系虚位移原理研究一定虚位移原理研究一定条件下的平衡力系主条件下的平衡力系主动力之间的关系动力之间的关系14例：例：已知已知 OA=L，求，求系统在图示位置平衡系统在图示位置平衡时，力偶矩时，力偶矩M与力与力F的关系（不计摩擦）的关系（不计摩擦）ABO1.分析主动力作用点的虚位移分析主动力作用点的虚位移2.求主动力的虚功之和求主动力的虚功之和 15ABO解：解：16例例:图示椭圆规机构图示椭圆规机构,连杆连杆A、B长为长为l,，杆重和摩擦力不计，杆重和摩擦力不计，求求:在图示位置平衡时主动力在图示位置平衡时主动力FA和和FB之间的关系。之间的关系。1.几何法几何法2.解析法解析法解：解：xy0 17yxO例题：例题：若已知：若已知：求求:平衡时的位置平衡时的位置18解：解：根据虚位移原理根据虚位移原理yxO19因为因为是独立的是独立的,而且是任意的而且是任意的.yxO广义力广义力广义坐标广义坐标201、明确自由度，选广义坐标、明确自由度，选广义坐标2、分析虚位移，表示成广义坐标虚位移的关系、分析虚位移，表示成广义坐标虚位移的关系分析思路：分析思路：3、由虚位移原理列方程、由虚位移原理列方程4、由广义力等于零得到平衡条件、由广义力等于零得到平衡条件虚位移原理：虚位移原理：21例题例题:已知各长为已知各长为L，重为，重为W，求维持平衡所需力，求维持平衡所需力F 的大小的大小?广义力广义力不不计计摩摩擦擦解：取解：取 为广义坐标为广义坐标由虚位移原理：由虚位移原理：广义坐标广义坐标22例：例：机构如图所示，不计构件自重机构如图所示，不计构件自重.已知已知 AB=BC=l,BD=BE=b，弹簧刚度为弹簧刚度为k，当，当 AC=a 时，弹簧无变形。设在滑块上作用一时，弹簧无变形。设在滑块上作用一水平力水平力F，求该机构处于平衡时，求该机构处于平衡时，A和和C间的距离（间的距离（x=？）ABCDE内力虚功内力虚功：外力虚功外力虚功：ABCDE解：体系自由度：解：体系自由度：选广义坐标：选广义坐标：23ABCDE内力虚功内力虚功：外力虚功外力虚功：24虚位移虚位移：满足满足约束方程约束方程且认为且认为约束不变约束不变的可能位移。的可能位移。若约束若约束双面、完整、双面、完整、定常定常，则则可能位移可能位移(包括实位移包括实位移)就是虚位移。就是虚位移。虚位移原理虚位移原理1 1、定义、定义2 2、分析方法、分析方法几何法几何法(虚速度法虚速度法)：虚位移方向即为虚位移方向即为真实速度方向。真实速度方向。条件：条件：约束约束双面、完整、双面、完整、定常定常解析法解析法：建立坐标系，用广义坐标表达各点位移，用类似求微分的方法建立坐标系，用广义坐标表达各点位移，用类似求微分的方法求求虚位移的投影。虚位移的投影。25给出了给出了做功的力之间关系做功的力之间关系虚位移原理虚位移原理为任何为任何做功做功的力的力 第二类问题：第二类问题：求平衡位置求平衡位置 第一类问题：第一类问题：求主动求主动 力之间关系力之间关系可解决的问题：可解决的问题：yxOABO机构机构 26任意点的虚位移与广义坐标虚位移的关系：任意点的虚位移与广义坐标虚位移的关系：称为对应于广义坐标称为对应于广义坐标 的的广义力广义力广义力及以广义力表示的质系平衡条件广义力及以广义力表示的质系平衡条件虚位移原理：虚位移原理：广义力广义力令：令：27由于广义坐标是独立的由于广义坐标是独立的，因此因此 也是独立的。也是独立的。对应于广义坐标对应于广义坐标 的的广义力广义力若系统有若系统有 k 个自由度，虚位移原理可表示为个自由度，虚位移原理可表示为因此有：因此有：广义力广义力表示的平衡条件表示的平衡条件虚功：虚功：虚位移原理：虚位移原理：问题：问题：用虚位移原理建立的用虚位移原理建立的独立平衡条件独立平衡条件有几个？有几个？具有具有k个个自由度的平衡系统来说，可以建立自由度的平衡系统来说，可以建立k个独立个独立的平衡方程，即：的平衡方程，即：独立平衡方程独立平衡方程的数目的数目与系统的与系统的自由度自由度数数相等。相等。28如何计算广义力？如何计算广义力？广义力广义力表示的平衡条件表示的平衡条件虚位移原理：虚位移原理：广义力：广义力：(1)给出所有广义坐标方向上的正向虚位移，计算虚功，给出所有广义坐标方向上的正向虚位移，计算虚功，前前面的系数就是面的系数就是 。(解析法，几何法解析法，几何法)yxO29(1)给出所有广义坐标方向上的虚位移，计算虚功，给出所有广义坐标方向上的虚位移，计算虚功，前面前面的系数就是的系数就是 。(解析法，几何法解析法，几何法)(2)取一组特定虚位移，除取一组特定虚位移，除 不为零不为零(正向虚位移正向虚位移)，其余广，其余广义坐标虚位移均为零，计算虚功，则：义坐标虚位移均为零，计算虚功，则：yxO例：求对应于例：求对应于 的广义力。的广义力。注意：给定正向虚位移。注意：给定正向虚位移。30例：例：OB=BC=L，CD=DE，在该处系统平衡，此时三根杆相互，在该处系统平衡，此时三根杆相互垂直。垂直。E处弹簧的刚度系数为处弹簧的刚度系数为k1，O处螺线弹簧刚度系数为处螺线弹簧刚度系数为k2，受力如图所示。求平衡时水平弹簧的变形受力如图所示。求平衡时水平弹簧的变形l l和螺线弹簧的变形和螺线弹簧的变形f f。机构平衡时主动力关系机构平衡时主动力关系解：自由度数解：自由度数本题解决：本题解决：取广义坐标：取广义坐标：(1)令一个广义坐标方向的虚位移为零令一个广义坐标方向的虚位移为零()可由虚位移原理：可由虚位移原理：虚位移关系如图虚位移关系如图得到对应得到对应 的广义力：的广义力：31(2)令另外一个方向的虚位移为零令另外一个方向的虚位移为零虚位移关系如图虚位移关系如图可由虚位移原理：可由虚位移原理：得到对应得到对应 的广义力：的广义力：注意如何求两个或多个自由度问题的广义力。注意如何求两个或多个自由度问题的广义力。弹簧为压缩状态，压缩量：弹簧为压缩状态，压缩量：如何求分布力的虚功。如何求分布力的虚功。32虚位移原理虚位移原理 第二类问题：第二类问题：求平衡位置求平衡位置 第一类问题：第一类问题：求主动求主动 力之间关系力之间关系可解决的问题：可解决的问题：机构机构第三类问题：第三类问题：求求静定静定结构的约束力结构的约束力 33例：例：结构及其受力如图所示，求结构及其受力如图所示，求A端的约束力。端的约束力。ABCD D(1)求求A端的约束力偶。端的约束力偶。34(1)求求A端的约束力偶。端的约束力偶。ABCD D解：解：将固定端将固定端A变成固定铰链变成固定铰链将约束力偶变为主动力偶将约束力偶变为主动力偶给出虚位移（如图所示）给出虚位移（如图所示）根据虚位移原理根据虚位移原理求求y向约束力怎样处理向约束力怎样处理A端约束？端约束？35ABCD D将固定端将固定端A变成图示铰链变成图示铰链将竖直约束力变为主动力将竖直约束力变为主动力给出虚位移（如图所示）给出虚位移（如图所示）根据虚位移原理根据虚位移原理(2)求求A端的端的y向约束力。向约束力。36ABCD D将固定端将固定端A变成图示铰链变成图示铰链将水平约束力变为主动力将水平约束力变为主动力给出虚位移（如图所示）给出虚位移（如图所示）根据虚位移原理根据虚位移原理(3)求求A端的端的x向约束力。向约束力。37例例:图示桁架，各杆长度均图示桁架，各杆长度均为为l。求。求:FDE,FBC内力内力。10kN15kNACDEB38解：解：几何法几何法:先求先求FDE,A C10kN15kNACDEB对具有转动中心的刚体，对具有转动中心的刚体，可用力对转动中心的矩可用力对转动中心的矩所做的虚功来代替力的虚功。所做的虚功来代替力的虚功。39再求再求FBC AI EC10kN15kNACDEB40例、例、一屋架尺寸及受荷如图所示，求一屋架尺寸及受荷如图所示，求DK杆的内力杆的内力解：将解：将DK杆截开，杆截开，成为成为4个相互运动的刚体：个相互运动的刚体：刚片刚片ACK、刚片、刚片DHG、杆杆CD、杆、杆KHKDACGH分析虚位移分析虚位移杆杆KH刚片刚片DHG 瞬心在瞬心在G点点杆杆CD瞬心在瞬心在D点点 41KDACGH由虚位移原理：由虚位移原理：得：得：要点：要点：截断杆后，本题为多个刚体相互截断杆后，本题为多个刚体相互运动，要分析每个刚体虚位移关运动，要分析每个刚体虚位移关系系(基点法或瞬心法基点法或瞬心法)。42例例：拱架结构拱架结构,F1=2kN，F2=1kN，求，求:支架支架D、C处反力。处反力。aBCDGFEH2a2a2aADDDD43解：解：1.求求FDyaBCDGFEH2a2a2aA A D B C442.求求FDxaBCDGFEH2a2a2aA A B D453.求求FCyaBCDGFEH2a2a2aA A B D46一、有势力场中的一、有势力场中的平衡条件平衡条件势力场中势力场中质点系平衡条件及平衡稳定性质点系平衡条件及平衡稳定性广义力广义力表示的平衡条件表示的平衡条件若在势力场中用虚位移原理建立的平衡条件是何形式？若在势力场中用虚位移原理建立的平衡条件是何形式？有势力的虚功：有势力的虚功：由虚位移原理由虚位移原理虚位移原理：虚位移原理：设质点系的势能函数为设质点系的势能函数为：质点系在势力场中的平衡充分必要条件是：质点系在势力场中的平衡充分必要条件是：47质点系在势力场中质点系在势力场中的的平衡条件平衡条件设质点系的势能函数为设质点系的势能函数为：质点系在势力场中的平衡充分必要条件是：质点系在势力场中的平衡充分必要条件是：由虚位移原理由虚位移原理由广义坐标的独立性由广义坐标的独立性广义力：广义力：48取取 =0=0 为系统的零势能位置为系统的零势能位置平衡位置平衡位置例：例：系统如图所示，滑块的质量为系统如图所示，滑块的质量为m,杆长为杆长为L(不计质量不计质量),弹簧弹簧刚度系数分别为刚度系数分别为 。当杆铅垂时，弹簧无变形，求系统。当杆铅垂时，弹簧无变形，求系统的平衡位置的平衡位置。解：解：有势系统，有势系统，1 1自由度，选广义坐标自由度，选广义坐标q q势函数在该位置有可能取得势函数在该位置有可能取得极值极值势力场中质系平衡时，势力场中质系平衡时，势能具有驻值。势能具有驻值。求得的广义坐标值为求得的广义坐标值为驻点，驻点，对应的势函数值为对应的势函数值为驻值驻值49二、质点系在有势力场中二、质点系在有势力场中平衡的稳定性平衡的稳定性ABC观察下面三个质点平衡状态观察下面三个质点平衡状态 平衡的稳定性平衡的稳定性(stability of equilibrium)：质点系处于某质点系处于某一平衡位置，若受到微小干扰偏离平衡位置后总不超出平一平衡位置，若受到微小干扰偏离平衡位置后总不超出平衡位置邻近的某个微小区域，则称质点系在该位置的平衡衡位置邻近的某个微小区域，则称质点系在该位置的平衡是是稳定的稳定的(stable)，否则是，否则是不稳定的不稳定的(unstable)。50定理：定理：质点系在势力场中的平衡位置是稳定的充分必要质点系在势力场中的平衡位置是稳定的充分必要条件是系统在平衡位置的势能为极小值。条件是系统在平衡位置的势能为极小值。例：例：系统如图所示，滑块的质量为系统如图所示，滑块的质量为m,杆长为杆长为L(不计质量不计质量),弹簧弹簧刚度系数分别为刚度系数分别为 。当杆铅垂时，弹簧无变形，求系统。当杆铅垂时，弹簧无变形，求系统的平衡位置并分析其稳定性的平衡位置并分析其稳定性。平衡位置平衡位置解：解：有势系统，有势系统，1 1自由度，选广义坐标自由度，选广义坐标q q若：若：平衡位置是稳定的，否则是不稳定的平衡位置是稳定的，否则是不稳定的