资源描述
1. 简要说明原子轨道量子数及它们的取值范围？
解：原子轨道有主量子数n，角量子数，磁量子数m与自旋量子数s，对类氢原子（单电子原子）来说，原子轨道能级只与主量子数n相关。 对多电子原子，能级除了与n相关，还要考虑电子间相互作用。角量子数决定轨道角动量大小，磁量子数m表示角动量在磁场方向（z方向）分量的大小，自旋量子数s则表示轨道自旋角动量大小。
n取值为1、2、3……；＝0、1、2、……、n－1；m＝0、±1、±2、……±l；s取值只有。
2. 在直角坐标系下，Li2+ 的Schrödinger 方程为________________ 。
解：由于Li2+属于单电子原子，在采取“B-O” 近似假定后，体系的动能只包括电子的动能，则体系的动能算符：；体系的势能算符：
故Li2+ 的Schrödinger 方程为：
式中：，r = ( x2+ y2+ z2)1/2
3. 对氢原子，，其中 都是归一化的。那么波函数所描述状态的（1）能量平均值为多少？（2）角动量出现在 的概率是多少？，角动量 z 分量的平均值为多少？
解： 由波函数得：n1=2, l1=1,m1=0; n2=2, l2=1,m2=1; n3=3, l3=1,m3=-1;
（1）由于都是归一化的，且单电子原子
故
(2) 由于, l1=1，l2=1，l3=1，又都是归一化的，
故
则角动量为出现的概率为：
(3) 由于, m1=0,m2=1,m3=-1; 又都是归一化的，
故
4. 已知类氢离子 He+的某一状态波函数为：
（1）此状态的能量为多少？
（2）此状态的角动量的平方值为多少？
（3）此状态角动量在 z 方向的分量为多少？
（4）此状态的 n， l， m 值分别为多少？
（5）此状态角度分布的节面数为多少？
解：由He+的波函数，可以得到：Z=2，则n=2, l=0, m=0
(1) He+为类氢离子，，则
(2) 由l=0，,得
(3) 由|m|=0，，得
(4) 此状态下n=2, l=0, m=0
(5) 角度分布图中节面数= l，又l=0 ，故此状态角度分布的节面数为0。
5. 求出Li2+ 1s态电子的下列数据：(1)电子径向分布最大值离核的距离；(2)电子离核的平均距离；(3)单位厚度球壳中出现电子概率最大处离核的距离；(4)比较2s和2p能级的高低次序；(5) Li原子的第一电离能。（）
解：(1) Li2+ 1s态电子的
则
又
1s电子径向分布最大值在距核 处。
（2）电子离核的平均距离
(3) ，因为随着r 的增大而单调下降，所以不能用令一阶导数为0的方法求其最大值离核的距离。分析 的表达式可见，r=0时 最大，因而 也最大。但实际上r不能为0（电子不可能落到原子核上），因此更确切的说法是r 趋近于0时1s电子的几率密度最大。
(4) Li2+为单电子“原子”，组态的能量只与主量子数有关，所以2s和2p态简并，即即 E 2s= E 2p
(5) Li原子的基组态为(1s)2(2s)1 。对2s电子来说，1s电子为其相邻内一组电子，s=0.85。因而：
根据Koopmann定理，Li原子的第一电离能为：
6. 已知 H 原子的
试回答：
(1) 原子轨道能 E 值； (2) 轨道角动量绝对值│M│；
(3) 轨道角动量和 z 轴夹角的度数。
解：由H 原子的波函数可以得到其主量子数n=2，角量子数l=1，磁量子数m=0
(1) 对单电子原子，故原子轨道能为：
（2）由轨道角动量的大小，则轨道角动量为：
（3）由轨道角动量在磁场方向（Z轴的方向）上的分量，设轨道角动量M和Z轴的夹角为θ，则：
则q=90°
7. 一个电子主量子数为 4， 这个电子的 l， m， ms 等量子数可取什么值？这个电子共有多少种可能的状态？
解：（1）由电子主量子数为n= 4，角量子数l的取值范围为0，1，2，…，n-1, 则l=0, 1, 2, 3
（2）由磁量子数m的取值范围为0，±1，±2，…±l，则m=0，±1，±2，±3
（3）对单个电子 ms=±1/2
（4）这个电子l=0, 1, 2, 3，s=1/2,对于每一个不同的l、s 值，对应(2l+1) (2 s +1)个可能的状态，则这个电子共有：
（2×0+1）(2×1/2+1)+（2×1+1）(2×1/2+1)+（2×2+1）(2×1/2+1)+ (2×3+1）(2×1/2+1) =2+6+10+14=32
8. 碳原子 1s22s22p2组态共有 1S0，3P0，3P1，3P2，1D2等光谱支项，试写出每项中微观能态数目及按照 Hund 规则排列出能级高低次序。
解：碳原子 1s22s22p2组态对应光谱支项有：1S0，3P0，3P1，3P2，1D2，则每个谱项对应的各量子数见下表：
1S0
3P0
3P1
3P2
1D2
S
0
1
1
1
0
L
0
1
1
1
2
J
0
0
0
0
2
2J+1
1
1
3
5
5
(1)根据Hund 规则，原子在同一组态下S值最大者能级最低：则由上表可以得到：3P0 、3P1 、3P2 能量相对较低；对于一定L和S值，在电子壳层半满前（2p2），J值愈小，能级愈低，则该3个谱项的能级高低顺序为：3P2＞3P1＞3P0 ；由原子在同一组态下S值相同，L值最大者，能级最低，则剩余两个谱项的能级高低顺序为：1S0＞1D2 , 由此可以得到5个谱项的能级高低顺序为：1S0＞1D2＞3P2＞3P1＞3P0
(2)由于在磁场中光谱支项分裂为：（2J+1）个能级，因此光谱支项1S0、1D2、3P2、3P1、3P0对应的微观能态数目为1、5、5、3、1。
9. 求下列谱项的各支项，及相应于各支项的状态数：
2P； 3P； 3D； 2D； 1D
解：（1）由谱项2P可以得到对应的S=1/2、L=1,对于L≥S,J=L+S,L+S-1,…,|L-S|,则J=3/2、1/2,对应的光谱支项为 2P3/2、2P1/2；每个光谱支项对应的微观状态数为：（2J+1）,其状态数分别为4和2。
(2) 由谱项3P可以得到对应的S=1、L=1, 则J=2、1、0, 光谱支项为 3P2 , 3P1 , 3P0 , 其状态数分别为 5, 3, 1 。
（3）由谱项3D可以得到对应的S=1、L=2, 则J=3、2、1,光谱支项为 3D3 , 3D2 , 3D1 , 其状态数分别为 7, 5, 3 。
（4）由谱项2D可以得到对应的S=1/2、L=2, 则J=5/2、3/2,光谱支项为 2D5/2 , 2D3/2, 其状态数分别为 6, 4。
(5) 由谱项1D可以得到对应的S=0、L=2, 则J=2,光谱支项为 1D2 , 其状态数为 5 。
10. 给出 1s， 2p 和 3d 电子轨道角动量的大小及其波函数的径向和角度部分的节面数。
解：1s， 2p 和 3d 电子对应的主量子数、角量子数、角动量、径向分布节面数、角度部分节面数，分别见下表：
轨道
主量子数
角量子数
角动量
径向分布节面数
角度部分节面数
n
l
n-l-1
l
1s
1
1
0
0
0
2p
2
1
0
1
3d
3
2
0
2
11. 已知Li2+处于，根据节面规律判断，n，为多少？并求该状态的能量。
解：（1）根据角度函数部分，xy平面为节面，角节面只有一个，=1。
（2）根据径向节面数为n--1,径向函数部分只有当，才有径节面，r=2a0为1个径节面，则n--1=1,。Li2+属于单电子原子，
故
12. 下面各种情况最多能填入多少电子：(1) 主量子数为n的壳层；(2) 量子数为n和l的支壳层；(3) 一个原子轨道；(4) 一个自旋轨道。
解：(1) 对于每一个n值，有n个不同的l值，每一个l值又有（2l+1）个不同的m值，所以每一个n值共有个独立的状态，每一个状态可以填充2个电子（ms=1/2、ms=-1/2），故主量子数为n的壳层最多能填入2n2个电子。
（2）对于每一个l值，对应于（2l+1）个不同的m值，每一个m值又对应于2个ms值（ms=1/2、ms=-1/2），因此量子数为n和l的支壳层，最多能填入2(2l+1) 个电子。
（3）一个原子轨道最多放自选方向相反的2个电子。
（4）一个自旋轨道最多能填入1个电子。
13. 某元素的原子基组态可能是s2d3，也可能是s1d4 ，实验确定其能量最低的光谱支项为6D1/2，请确定其组态。
解：（1）若原子基组态可能是s2d3
s2d3 的电子排布为 ： m 2 1 0 -1 -2
， L=3
对d3电子数少于半充满，J小者能量低，则J=L-S=3/2 谱项为4F3/2
（2） s1d4的电子排布为：
m 0 2 1 0 -1 -2
, L=2
电子数少于半充满，J小者能量低，则J=| L – S |=1/2，谱项为6D1/2
根据题意该原子的基组态为s1d4。
也可用多重态 2S+1=6, S=5/2 必为s1d4组态来解。
14. H原子中的归一化波函数所描述的状态的能量、角动量和角动量的 z 轴分量的平均值各为多少？是H原子的归一化波函数。
解：由波函数得n1=3, l1=1,m1=1; n2=3, l2=2,m2=0; n3=2, l3=1,m3= -1;
（1）由于波函数都是归一化的，且对单电子波函数,可得：
R 为里德堡常数 (13.6 eV)
(2) 由于波函数都是归一化的，且,可得：
(3) 由于波函数都是归一化的，且,
15. 已知He+处于
态，式中求其能量E、轨道角动量┃M┃、轨道角动量与z轴夹角，并指出该状态波函数的节面个数。
解：根据题意 该状态 n=3,l=2, m=0, He+, Z=2
（1）He+属于单电子原子，
(2) 轨道角动量
（3）、轨道角动量在磁场（Z轴）方向上的分量，
=0, 说明角动量与z轴垂直，即夹角为90°
（4）总节面数=n-1=3-1=2个
其中径节面数= n-l-1=3-2-1=0个
角节面数= l=2个
由-1=0 得 1=57.74°, 2=125.26°
角节面为两个与z轴成57.74°和125.26°的圆锥面。
16.已知He+处于波函数状态，计算：(1)E=-R/4出现的概率，(2)M2=2出现的概率，(3)Mz=-出现的概率。
解：由波函数得：
n1=2, l1=1,m1=0; n2=3, l2=2,m2=1; n3=3, l3=2,m3= -1; n4=4, l4=2,m4=-1
（1）由于He+属于单电子原子, Z=2
则当时，
出现的概率为:
(2)
则 M2=2出现的概率：
(3)
则Mz=-出现的概率为：
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
