概率论与数理统计期末证明题专项训练.doc

证明题专项训练
1. 设总体X~N(0，),。是一个样本，求的矩估计量，并证明它为的无偏估计。
2. 设总体，参数已知，（>0）未知，为一相应的样本值。求的最大似然估计量。，并证明它为的无偏估计。
3. 设总体X服从未知。是X的一个样本，求的矩估计量，并证明它为的无偏估计。
4. 设，试证：。
5. 若随机变量，则.
设随机变量与相互独立，且都服从正态分布，而和分别来自总体和的样本，试证统计量

参考答案
1. 解: X的二阶矩为: 1’
X的二阶样本矩为 1’
令： , 1’
解得: ,
的矩估计量 2’
, 它为的无偏估计量. 3’
2. 解: 似然函数为 ，相应的对数似然函数为
。
令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为
2’
, 它为的无偏估计量.
3. 解: 样本的似然函数为:
2’
而 1’

令: , 1’
解得: 的最大似然估量 2’
, 它为的无偏估计量. 2’
4. 证明： 因为 ， 即

（）
5. 解法一：的分布函数为
（5分）
令，得

所以. （5分）
解法二：令，则
在上严格单调递增
其反函数为，， （4分）
的密度函数为

所以. （6分）
6. 由于X1,X2,……,X9是来自正态总体的样本，且都服从标准正态分布N(0,1),则【】
由于Y1,Y2,……,Y9相互独立，且都服从标准正态分布N(0,1)，则【】
又因为两个随机变量X,Y相互独立由t分布可知【】
即统计量Z服从t分布，参数为9，得证.

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