信息论与编码期末考试题(全套).doc

（一）
一、判断题共 10 小题，满分 20 分.
1. 当随机变量和相互独立时，条件熵等于信源熵. （ ）
2. 由于构成同一空间的基底不是唯一的，所以不同的基底或生成矩阵有可能生成同一码集. （ ）
3.一般情况下，用变长编码得到的平均码长比定长编码大得多. （ ）
4. 只要信息传输率大于信道容量，总存在一种信道编译码，可以以所要求的任意小的误差概率实现可靠的通信. （ ）
5. 各码字的长度符合克拉夫特不等式，是唯一可译码存在的充分和必要条件. （ ）
6. 连续信源和离散信源的熵都具有非负性. （ ）
7. 信源的消息通过信道传输后的误差或失真越大，信宿收到消息后对信源存在的不确
定性就越小，获得的信息量就越小.
8. 汉明码是一种线性分组码. （ ）
9. 率失真函数的最小值是. （ ）
10.必然事件和不可能事件的自信息量都是. （ ）
二、填空题共 6 小题，满分 20 分.
1、码的检、纠错能力取决于 .
2、信源编码的目的是 ；信道编码的目的是 .
3、把信息组原封不动地搬到码字前位的码就叫做    .
4、香农信息论中的三大极限定理是 、 、 .
5、设信道的输入与输出随机序列分别为和，则成立的
条件  ..
6、对于香农-费诺编码、原始香农-费诺编码和哈夫曼编码，编码方法惟一的是 .
7、某二元信源，其失真矩阵，则该信源的=  .
三、本题共 4 小题，满分 50 分.
1、某信源发送端有2种符号,；接收端有3种符号，转移概率矩阵为.
（1） 计算接收端的平均不确定度；
（2） 计算由于噪声产生的不确定度；
（3） 计算信道容量以及最佳入口分布.
2、一阶马尔可夫信源的状态转移图如右图所示， 信源的符号集为.

（1）求信源平稳后的概率分布；
（2）求此信源的熵；
（3）近似地认为此信源为无记忆时，符号的概率分布为平
稳分布.求近似信源的熵并与进行比较.
4、设二元线性分组码的生成矩阵为.
（1）给出该码的一致校验矩阵，写出所有的陪集首和与之相对应的伴随式；
（2）若接收矢量，试计算出其对应的伴随式并按照最小距离译码准则
试着对其译码.

（二）
一、填空题（共15分，每空1分）
1、信源编码的主要目的是 ，信道编码的主要目的是 。
2、信源的剩余度主要来自两个方面，一是 ，二是 。
3、三进制信源的最小熵为 ，最大熵为 。
4、无失真信源编码的平均码长最小理论极限制为 。
5、当 时，信源与信道达到匹配。
6、根据信道特性是否随时间变化，信道可以分为 和 。
7、根据是否允许失真，信源编码可分为 和 。
8、若连续信源输出信号的平均功率为，则输出信号幅度的概率密度是 时，信源具有最大熵，其值为值 。
9、在下面空格中选择填入数学符号“”或“”
（1）当X和Y相互独立时，H（XY） H(X)+H(X/Y) H(Y)+H(X)。
（2）
（3）假设信道输入用X表示，信道输出用Y表示。在无噪有损信道中，H(X/Y) 0,
H(Y/X) 0,I(X;Y) H(X)。
三、（16分）已知信源

（1）用霍夫曼编码法编成二进制变长码；（6分）
（2）计算平均码长;（4分）
（3）计算编码信息率;（2分）
（4）计算编码后信息传输率;（2分）
（5）计算编码效率。（2分）

四、（10分）某信源输出A、B、C、D、E五种符号，每一个符号独立出现，出现概率分别为1/8、1/8、1/8、1/2、1/8。如果符号的码元宽度为0.5。计算：
（1）信息传输速率。（5分）

五、(16分)一个一阶马尔可夫信源，转移概率为。
(1) 画出状态转移图。(4分)
(2) 计算稳态概率。(4分)
(3) 计算马尔可夫信源的极限熵。(4分)
(4) 计算稳态下,及其对应的剩余度。(4分)
六、设有扰信道的传输情况分别如图所示。试求这种信道的信道容量。

七、(16分)设X、Y是两个相互独立的二元随机变量，其取0或1的概率相等。定义另一个二元随机变量Z=XY(一般乘积)。试计算
(1)
(2)
(3)
(4) ;
八、(10分)设离散无记忆信源的概率空间为，通过干扰信道，信道输出端的接收符号集为，信道传输概率如下图所示。

(1) 计算信源中事件包含的自信息量；

(2) 计算信源的信息熵；
(3) 计算信道疑义度；
(4) 计算噪声熵；
(5) 计算收到消息后获得的平均互信息量。
《信息论基础》2参考答案
一、填空题（共15分，每空1分）
1、信源编码的主要目的是提高有效性，信道编码的主要目的是提高可靠性。
2、信源的剩余度主要来自两个方面，一是信源符号间的相关性，二是信源符号的统计不均匀性。
3、三进制信源的最小熵为0，最大熵为bit/符号。
4、无失真信源编码的平均码长最小理论极限制为信源熵（或H(S)/logr= Hr(S)）。
5、当R=C或（信道剩余度为0）时，信源与信道达到匹配。
6、根据信道特性是否随时间变化，信道可以分为恒参信道和随参信道。
7、根据是否允许失真，信源编码可分为无失真信源编码和限失真信源编码。
8、若连续信源输出信号的平均功率为，则输出信号幅度的概率密度是高斯分布或正态分布或时，信源具有最大熵，其值为值。
9、在下面空格中选择填入数学符号“”或“”
（1）当X和Y相互独立时，H（XY）=H(X)+H(X/Y)=H(Y)+H(X)。
（2）
（3）假设信道输入用X表示，信道输出用Y表示。在无噪有损信道中，H(X/Y)> 0, H(Y/X)=0,I(X;Y)<H(X)。
三、（16分）已知信源

（1）用霍夫曼编码法编成二进制变长码；（6分）
（2）计算平均码长;（4分）
（3）计算编码信息率;（2分）
（4）计算编码后信息传输率;（2分）
（5）计算编码效率。（2分）

（1）

编码结果为：

（2）
（3）
（4）其中，
（5）
评分：其他正确的编码方案：1，要求为即时码 2，平均码长最短
四、（10分）某信源输出A、B、C、D、E五种符号，每一个符号独立出现，出现概率分别为1/8、1/8、1/8、1/2、1/8。如果符号的码元宽度为0.5。计算：
（1）信息传输速率。（5分）
（1）

五、(16分)一个一阶马尔可夫信源，转移概率为

。
(1) 画出状态转移图。(4分)
(2) 计算稳态概率。(4分)
(3) 计算马尔可夫信源的极限熵。(4分)
(4) 计算稳态下,及其对应的剩余度。(4分)
解：(1)

(2)由公式
有
得
(3)该马尔可夫信源的极限熵为：

(4)在稳态下：

对应的剩余度为

六、设有扰信道的传输情况分别如图所示。试求这种信道的信道容量。

解：信道传输矩阵如下

可以看出这是一个对称信道，L=4,那么信道容量为

七、(16分)设X、Y是两个相互独立的二元随机变量，其取0或1的概率相等。定义另一个二元随机变量Z=XY(一般乘积)。试计算
(1)
(2)
(3)

(4) ;
解：(1)
Z
0
1

P(Z)
3/4
1/4

(2)

(3)

(4)

八、(10分)设离散无记忆信源的概率空间为，通过干扰信道，信道输出端的接收符号集为，信道传输概率如下图所示。

(6) 计算信源中事件包含的自信息量；
(7) 计算信源的信息熵；
(8) 计算信道疑义度；
(9) 计算噪声熵；
(10) 计算收到消息后获得的平均互信息量。
解：
(1)
(2)
(3)转移概率：
x y
y1
y2
x1
5/6
1/6
x2
3/4
1/4
联合分布：
x y
y1
y2

x1
2/3
12/15
4/5
x1
3/20
1/20
1/5

49/60
11/60
1/5

(4)

(5)

(三)
一、 选择题（共10分，每小题2分）
1、有一离散无记忆信源X，其概率空间为，则其无记忆二次扩展信源的熵H(X2)=( )
A、1.75比特/符号； B、3.5比特/符号；

C、9比特/符号； D、18比特/符号。
2、 信道转移矩阵为其中两两不相等，则该信道为
3、 A、一一对应的无噪信道
B、具有并归性能的无噪信道
C、对称信道
D、具有扩展性能的无噪信道
3、设信道容量为C，下列说法正确的是：（ ）
A、互信息量一定不大于C
B、交互熵一定不小于C
C、有效信息量一定不大于C
D、条件熵一定不大于C
4、在串联系统中，有效信息量的值（ ）
A、趋于变大
B、趋于变小
C、不变
D、不确定
5、若BSC信道的差错率为P，则其信道容量为：（ ）
A、
B、
C、
D、
二、 填空题（20分，每空2分）
1、 (7,4)线性分组码中，接受端收到分组R的位数为____ ，伴随式S可能的值有____ 种,差错图案e的长度为 ，系统生成矩阵Gs为____ 行的矩阵，系统校验矩阵Hs为____ 行的矩阵，Gs和Hs满足的关系式是 。
2、 香农编码中,概率为的信源符号xi对应的码字Ci的长度Ki应满足不等式 。
3、设有一个信道，其信道矩阵为 ，则它是 信道（填对称，准对称），其信道容量是 比特/信道符号。

三、（20分），通过一个干扰信道，接受符号集为，信道转移矩阵为
试求（1）H(X),H(Y),H(XY);（7分）
(2) H(Y|X),H(X|Y);（5分）
(3) I(Y;X)。（3分）
(4)该信道的容量C（3分）
（5）当平均互信息量达到信道容量时，接收端Y的熵H（Y）。（2分）
计算结果保留小数点后2位,单位为比特/符号。
四、 （9分）简述平均互信息量的物理意义，并写出应公式。
六、（10分）设有离散无记忆信源，其概率分布如下：

对其进行费诺编码，写出编码过程，求出信源熵、平均码长和编码效率。
七、信道编码（21分）

现有生成矩阵

1. 求对应的系统校验矩阵Hs。（2分）
2求该码字集合的最小码字距离d、最大检错能力 、最大纠错能力t max 。（3分）
2. 填写下面的es表 （8分）
e
s
0000000

0000001

0000010

0000100

0001000

0010000

0100000

1000000

4. 现有接收序列为，求纠错译码输出。（4分）
5. 画出该码的编码电路 （4分）
(四)
四、 简答题（共20 分，每题10分
1. 利用公式介绍无条件熵、条件熵、联合熵和平均互信息量之间的关系。
2. 简单介绍哈夫曼编码的步骤
五、 计算题（共40 分）
1． 某信源含有三个消息，概率分别为p(0)=0.2，p(1)=0.3，p(2)=0.5，失真矩阵为。
求Dmax、Dmin和R (Dmax)。（10分）

2． 设对称离散信道矩阵为，求信道容量C。（10分）
3． 有一稳态马尔可夫信源，已知转移概率为p(S1/ S1)= 2/3，p(S1/ S2)= 1。求：
(1) 画出状态转移图和状态转移概率矩阵。
(2) 求出各状态的稳态概率。
(3) 求出信源的极限熵。
（20分）
（五）
一、（11’）填空题
（1） 1948年，美国数学家 香农 发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。
（2） 必然事件的自信息是 0 。
（3） 离散平稳无记忆信源X的N次扩展信源的熵等于离散信源X的熵的 N倍 。
（4） 对于离散无记忆信源，当信源熵有最大值时，满足条件为__信源符号等概分布_。
（5） 对于香农编码、费诺编码和霍夫曼编码，编码方法惟一的是 香农编码 。
（6） 已知某线性分组码的最小汉明距离为3，那么这组码最多能检测出_2_______个码元错误，最多能纠正___1__个码元错误。
（7） 设有一离散无记忆平稳信道，其信道容量为C，只要待传送的信息传输率R__小于___C（大于、小于或者等于），
则存在一种编码，当输入序列长度n足够大，使译码错误概率任意小。
（8） 平均错误概率不仅与信道本身的统计特性有关，还与___译码规则____________和___编码方法___有关
二、（9¢）判断题
（1） 信息就是一种消息。 （ ´ ）
（2） 信息论研究的主要问题是在通信系统设计中如何实现信息传输、存储和处理的有效性和可靠性。 （ Ö ）
（3） 概率大的事件自信息量大。 （ ´ ）
（4） 互信息量可正、可负亦可为零。 （ Ö ）
（5） 信源剩余度用来衡量信源的相关性程度，信源剩余度大说明信源符号间的依赖关系较小。 （ ´ ）

（6） 对于固定的信源分布，平均互信息量是信道传递概率的下凸函数。 （ Ö ）
（7） 非奇异码一定是唯一可译码，唯一可译码不一定是非奇异码。 （ ´ ）
（8） 信源变长编码的核心问题是寻找紧致码（或最佳码），霍夫曼编码方法构造的是最佳码。 （ Ö ）
（9）信息率失真函数R(D)是关于平均失真度D的上凸函数. ( ´ )
五、（18’）.黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，求：
1） 黑色出现的概率为0.3，白色出现的概率为0.7。给出这个只有两个符号的信源X的数学模型。假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵；
3）分别求上述两种信源的冗余度，比较它们的大小并说明其物理意义。
解：1）信源模型为 （1分）

（2分）　　
2）由题意可知该信源为一阶马尔科夫信源。 （2分）
由

4分）
得极限状态概率

（2分）

3分）
（1分）

。说明：当信源的符号之间有依赖时，信源输出消息的不确定性减弱。而信源冗余度正是反映信源符号依赖关系的强弱，冗余度越大，依赖关系就越大。（2分）
六、（18’）.信源空间为
，试分别构造二元香农码和二元霍夫曼码，计算其平均码长和编码效率（要求有编码过程）。

2）（3分）最大后验概率准则下，有，
八（10¢）.二元对称信道如图。　　　　　　　　　　　
1）若，，求、和；
2）求该信道的信道容量。

解：1）共6分

2）， （3分）此时输入概率分布为等概率分布。（1分）
九、（18¢）设一线性分组码具有一致监督矩阵
1）求此分组码n=?,k=?共有多少码字？
2）求此分组码的生成矩阵G。
3）写出此分组码的所有码字。
4）若接收到码字（101001），求出伴随式并给出翻译结果。

解：1）n=6,k=3,共有8个码字。（3分）
2）设码字由得
（3分）
令监督位为，则有
（3分）
生成矩阵为 （2分）
3）所有码字为000000，001101，010011，011110，100110，101011，110101，111000。（4分）
4）由得
，（2分）该码字在第5位发生错误，（101001）纠正为（101011），即译码为（101001）（1分）

（六）
一、概念简答题（每题5分，共40分）
1.什么是平均自信息量与平均互信息，比较一下这两个概念的异同？

2.简述最大离散熵定理。对于一个有m个符号的离散信源，其最大熵是多少？
3.解释信息传输率、信道容量、最佳输入分布的概念，说明平均互信息与信源的概率分布、信道的传递概率间分别是什么关系？
4.对于一个一般的通信系统，试给出其系统模型框图，并结合此图，解释数据处理定理。
5.写出香农公式，并说明其物理意义。当信道带宽为5000Hz，信噪比为30dB时求信道容量。
6.解释无失真变长信源编码定理。
7.解释有噪信道编码定理。
　8.什么是保真度准则？对二元信源，其失真矩阵，求a>0时率失真函数的和？
二、综合题（每题10分，共60分）
1.黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，求：
1） 黑色出现的概率为0.3，白色出现的概率为0.7。给出这个只有两个符号的信源X的数学模型。假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵；
2） 假设黑白消息出现前后有关联，其依赖关系为：，，，，求其熵 ；
2.二元对称信道如图。　　；
1）若，，求和；
2）求该信道的信道容量和最佳输入分布。
3.信源空间为，试分别构造二元和三元霍夫曼码，计算其平均码长和编码效率。
5.已知一（8，5）线性分组码的生成矩阵为。
求：1）输入为全00011和10100时该码的码字；2）最小码距。
答案
一、 概念简答题（每题5分，共40分）
1.答：平均自信息为
表示信源的平均不确定度，也表示平均每个信源消息所提供的信息量。
平均互信息
表示从Y获得的关于每个X的平均信息量，也表示发X前后Y的平均不确定性减少的量，还表示通信前后整个系统不确定性减少的量。
2.答：最大离散熵定理为：离散无记忆信源，等概率分布时熵最大。
最大熵值为。
　　平均互信息是信源概率分布的∩型凸函数，是信道传递概率的U型凸函数。　　

5.答：香农公式为，它是高斯加性白噪声信道在单位时间内的信道容量，其值取决于信噪比和带宽。
由得，则
6.答：只要，当N足够长时，一定存在一种无失真编码。
7.答：当R＜C时，只要码长足够长，一定能找到一种编码方法和译码规则，使译码错误概率无穷小。
8.答：1）保真度准则为：平均失真度不大于允许的失真度。
2）因为失真矩阵中每行都有一个0，所以有，而。
二、综合题（每题10分，共60分）
1.答：1）信源模型为

2）由得
则
2.答：1）

2），最佳输入概率分布为等概率分布。
3.答：1）二元码的码字依序为：10，11，010，011，1010，1011，1000，1001。

平均码长，编码效率
2）三元码的码字依序为：1，00，02，20，21，22，010，011。
平均码长，编码效率

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