一般周期函数的傅里叶级数省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

8 8 普通周期函数傅里叶级数普通周期函数傅里叶级数第第1页页一、一、周期为周期为周期函数傅里叶级数周期函数傅里叶级数定理定理设设是周期为是周期为周期函数，周期函数，且满足收敛定理条件，且满足收敛定理条件，则它傅里叶级数则它傅里叶级数在在上收敛上收敛,且且(1)(2)当当为连续点时，为连续点时，级数收敛于级数收敛于为间断点时，为间断点时，级数收敛于级数收敛于当当其中其中(1)(2)第第2页页证证作换元作换元，则在此变换下，则在此变换下区间区间变为变为区间区间是周期为是周期为周期函数周期函数能够验证：能够验证：第第3页页傅氏级数傅氏级数在在上收敛，且上收敛，且其中其中(*)第第4页页由由与与复合而成复合而成是是连续点连续点是是连续点连续点由由与与复合而成复合而成是是连续点连续点是是连续点连续点即：即：是是连续点连续点是是连续点连续点第第5页页将将代入代入(*)式，式，得得连续点连续点,是是间断点间断点是是其中其中即即(1)(2)式。式。证毕。证毕。第第6页页说明说明(1)当当上是奇函数时，上是奇函数时，奇函数傅氏级数是正弦级数奇函数傅氏级数是正弦级数在在(3)其中，其中，按按(3)式计算。式计算。第第7页页当当上是偶函数时，上是偶函数时，偶函数傅氏级数是余弦级数偶函数傅氏级数是余弦级数在在(4)其中，其中，按按(4)式计算。式计算。第第8页页(2)若若只在只在上有定义，上有定义，且满足收敛且满足收敛定理条件，定理条件，也可将它展开为傅氏级数。也可将它展开为傅氏级数。方法：方法：首先，首先，将将进行周期延拓，进行周期延拓，将它将它拓广为周期为拓广为周期为周期函数周期函数；然后然后将将展开成傅氏级数；展开成傅氏级数；最终，最终，再将再将限制在限制在上，上，就得到就得到傅氏级数傅氏级数展开式。展开式。即：即：第第9页页按按(1)、(2)式求出式求出从而得到从而得到傅氏级数傅氏级数在点在点，是是连续点时，连续点时，级数收敛于级数收敛于；是是间断点时，间断点时，级数收敛于级数收敛于在端点在端点，级数收敛于级数收敛于第第10页页(3)若若只在只在上有定义，上有定义，且满足收敛且满足收敛定理条件，定理条件，可将它展开成正弦级数和余弦可将它展开成正弦级数和余弦首先，首先，将将进行奇延拓，进行奇延拓，将它拓广将它拓广为为上奇函数上奇函数；然后，然后，将将展开成傅氏级数展开成傅氏级数(正弦级数正弦级数)；最终，最终，再将再将限制在限制在上，上，就得到就得到正弦级数正弦级数即：即：级数。级数。展开成正弦级数方法：展开成正弦级数方法：展开式。展开式。第第11页页按按(3)式求出式求出从而得到从而得到正弦级数正弦级数在点在点，是是连续点时，连续点时，级数收敛于级数收敛于；是是间断点时，间断点时，级数收敛于级数收敛于在端点在端点，级数收敛于级数收敛于第第12页页首先，首先，将将进行偶延拓，进行偶延拓，将它拓广将它拓广为为上偶函数上偶函数；然后，然后，将将展开成傅氏级数展开成傅氏级数(余弦级数余弦级数)；最终，最终，再将再将限制在限制在上，上，就得到就得到余弦级数余弦级数即：即：展开成余弦级数方法：展开成余弦级数方法：展开式。展开式。第第13页页按按(4)式求出式求出从而得到从而得到余弦级数余弦级数在点在点，是是连续点时，连续点时，级数收敛于级数收敛于是是间断点时，间断点时，级数收敛于级数收敛于在端点在端点，级数收敛于级数收敛于，级数收敛于级数收敛于第第14页页例例1设设是周期为是周期为周期函数，周期函数，它在它在上表示式为上表示式为将将展开成傅氏级数。展开成傅氏级数。解解第第15页页满足收敛定理条件，满足收敛定理条件，它在点它在点处间断，处间断，在其它点处连续。在其它点处连续。由收敛定理，得由收敛定理，得当当时，时，傅氏级数收敛于傅氏级数收敛于当当时，时，傅氏级数收敛于傅氏级数收敛于第第16页页计算计算 傅氏系数：傅氏系数：第第17页页第第18页页傅氏级数为：傅氏级数为：第第19页页例例2 将函数将函数展开成余弦级数展开成余弦级数.解解将将偶延拓偶延拓.在在上连续上连续当当时，时，余弦级数收敛于余弦级数收敛于在端点在端点，余弦级数收敛于余弦级数收敛于令令在端点在端点，余弦级数收敛于余弦级数收敛于，第第20页页求求按公式按公式(4)得：得：第第21页页余弦级数为余弦级数为第第22页页例例3 将函数将函数展开成展开成以以为周期傅氏级数。为周期傅氏级数。解解令令，则在此变换下，则在此变换下，变为区间变为区间区间区间这么，这么，记记下面将下面将展开成傅氏级数。展开成傅氏级数。第第23页页在在上连续上连续傅氏级数收敛于傅氏级数收敛于在点在点，在端点在端点傅氏级数收敛于傅氏级数收敛于，第第24页页奇函数奇函数第第25页页偶函数偶函数第第26页页傅氏级数为傅氏级数为将将换回，得换回，得第第27页页即即第第28页页补充题：补充题：将函数将函数展开成傅氏级数。展开成傅氏级数。作作 业业第第29页页补充题答案：补充题答案：第第30页页