MATLAB在极值问题研究中的应用.doc

1.引言1.1 问题的提出函数的极值问题不但是培养学生发展的重点问题，也是实际生活中应用较为广泛的问题。在历届的高考试题中，求解函数极值都是考试的重点，并且所占分值比重较大。而在我们实际生活中，经常会遇到以下一些问题。例如，怎样才运输才能使运费最省；怎样使用一定面积的包装纸使得得到的包装盒容积最大等等。为了使利益最大化，我们必须要让生产的费用最小，从而得到最大的利润。这样的实际生活问题就用到了更为复杂的求解极值问题的方法。那对于求解极值的方法，除了利用数学知识，还可以利用MATLAB软件。MATLAB软件是由美国公司开发的，集数值计算、图形可视化和符号处理于一身的软件，利用MATLAB强大的绘图功能，可以将复杂的极值问题快速解决。1.2研究目的本文将通过一元函数及多元函数在不同情况下求解极值的方法，延伸到实际生活中去。企业经营者经常采用求解极值的办法使商品获得的利润最大，并尽可能的降低成本。而对于工厂来说，合理的计算利用极值问题，不但可以使利益最大化，更重要的是保护了我们赖以生存的家园，这对于整个人类来说是是意义非凡的。而解决极值问题的方法一直是我们积极探索的内容，本文将利用MATLAB程序降低计算极值问题的难度。1.3研究意义函数的极值问题在生活中应用非常广泛。在生产商生产销售货物时可以用到；在建造楼房考虑光照面积是可以用到；在治理环境问题是也可以用到，在航天、航海、价格策划等众多领域中都可以用到，并且起着不可替代的作用。许多问题最终都可以归结为函数的极值问题，而我们除了用原始的数学方法，还可用MATLAB程序软件来快速的解决这些问题，这也是我们研究MATLAB在极值问题中的应用的意义。2.函数极值的定义2.1一元函数极值的定义 设函数在附近有定义，如果对附近的所有的点都有， 则是的极大值。如果附近所有的点都有,则时的极小值，极大值与极小值统称为极值。2.2多元函数极值的定义若多元函数于的邻域内有定义，并且当时，则说函数在处取得极大值（或极小值），点称为函数的极值点。3.MATLAB在一元函数极值中的应用3.1一元函数利用数学知识求解极值的方法在高中的时候我们简单学习了一元函数求极值的办法。首先对一元函数进行求导，令导函数等于零。导函数等于零时，得到的值称为驻点。原函数在驻点对应的值为极值（驻点个数不唯一）。而得到的导函数在定义域内大于零的部分称为增函数，小于零的部分称为减函数。函数先增后减在拐点产生的值称为极大值，函数先减后增在拐点产生的值称为极小值。极大值和极小值统称为极值。例1.求函数的极值。解：先对原函数求导，得到： ，若，则。所以为原函数的极值点，且是唯一的极值点。将代入原函数中，得。即是原函数的极值，极值点为。例2.求函数的极值。解：先对原函数求导，得到： ，若=0，则。所以是原函数的极值点。在区间(-,-)（1，+）上单调递增，在区间（-，1）上单调递减。所以为原函数的极大值点，为原函数的极小值点。将代入原函数，所以原函数的极大值为；将代入原函数，所以原函数的极小值为4。 在解决一元函数极值问题的时候可以采用以上的数学方法，但过程较为复杂，所以我们也可以利用MATLAB强大的绘图功能来解决一元函数的极值问题。3.2利用MATLAB程序求解一元函数极值的方法MATLAB中可以利用特殊函数diff快速地求出原函数的导函数，diff函数对一元函数的调用格式为：diff(函数），求的一阶导数。 再利用solve函数求得函数驻点，在驻点范围内得到函数图像。根据函数的拐点观察函数极值。例3.求函数的极值。解：先利用diff函数求出导函数,再利用solve函数求得驻点。根据ezplot函数作图，从图中观察得到原函数的极值。详见附录程序1程序得到的图见 图（1） 图（1）根据MATLAB运行出来的图形可以看出，函数的极值点为，极小值为。例4.求函数的极值。解：先利用diff函数求出导函数,再利用solve函数求得驻点。根据ezplot函数作图，从图中观察得到原函数的极值。详见附录程序2程序得到的图见 图（2） 图（2）由MATLAB程序运行出来的图可以看出，函数的极小值点为，极小值为；极大值点为，极大值为。4.MATLAB在多元函数极值中的应用4.1多元元函数利用数学知识求解极值的方法。 多元函数求极值相对一元函数求极值要复杂很多。而其数学意义难以理解，所以称为高数中颇为重要的一部分。我们首先利用数学知识来对多元函数进行求解极值。根据一元函数求极值的方法，我们首先求原函数的一阶偏导，导函数为零时求得驻点。再对导函数求二阶偏导，得到例1.求多元函数的极值。解 先对原函数求一阶偏导，得到 令一阶偏导函数等于零，求得驻点为（1,0），（-3,0），（1,4），（-3,4）.再求原函数的二阶偏导，得到 所以，当时，,且,因此，点（1,0）是极值点，且在（1,0）处取得极小值，。当时，且，因此（-3,0）不是极值点。当时，且，因此（1,4）不是极值点。当时，且，因此，点（-3,4）是极值点，且在（-3,4）处取得极大值，。由上可知，原函数的在（-3,4）处取得极大值，极大值，在（1,0）处取得极小值，极小值。例2.求函数的极值。先对原函数求一阶偏导，得 令一阶偏导函数等于零，求得驻点。再求原函数的二阶偏导，得 当时，因此原函数在点处取得极小值。4.2利用MATLAB程序求解多元函数极值的方法 首先利用jacobian函数求出原函数的一阶偏导和二阶偏导，再利用solve函数求得一阶函数驻点。根据Hessian矩阵的正定矩阵和负定矩阵公式，求得原函数的极大值和极小值。例3.利用MATLAB程序求的极值。详见附录程序3利用MATLAB程序运行得到结果xx=1-41-4yy=0022( 1.000000, 0.000000)是极小值点，对应的极小值为-13.000000(-4.000000, 0.000000)不是极值点( 1.000000, 2.000000)不是极值点(-4.000000, 2.000000)是极大值点，对应的极大值为-13.000000根据MATLAB运行的程序可知，极值点为（1,0），（-4,0），（1,2），（-4,2），且（1,0）是极小值点，极小值为-13；（-4,0），（1,2）不是极值点；（-4,2）是极大值点，对应的极大值为-13. 例4.求函数的极值。详见附录程序4利用MATLAB程序运行得到结果xx=601(1/2)/12-5/12-601(1/2)/12-5/12601(1/2)/12-5/12-601(1/2)/12-5/12yy=0044(1.626275,0.000000)不是极值点(-2.459608,0.000000)是极大值点，对应的极大值为-11.908213(1.626275,4.000000)是极小值点，对应的极小值为-11.908213(-2.459608,4.000000)不是极值点根据MATLAB运行程序可以得到，方程极值点为（1.63,0）,(1.63,4),(-2.46,0),(-2.46,4),且(-2.46,0)为极大值点，极大值为-11.91；(1.63,4)为极小值点，极小值为-11.91；（1.63,0），(-2.46,4)不是极值点。4.3约束函数求解多元极值的方法 在考虑函数的极值或最值问题时，经常需要对函数的自变量附加一定的条件，这就是所谓的极值问题。以三元函数为例，条件极值问题的提法是：求目标函数 在约束条件 下的极值。条件极值的必要条件 若点为函数满足约束条件的极值点，则必存在m个常数使得在点成立 于是可以将Lagrange函数 那么条件极值点就在方程组 的所有解所对应的点中。 判断如上所得的点是否极值点需要一些特殊方法。但在实际问题中往往遇到的是求最值问题，这时可以根据问题本身的性质判断最值的存在性。这样，只要把如上所得点的函数值加以比较，最大的（最小的）就是所考虑问题的最大值（最小值）。4.3.1利用数学方法求解约束函数求解极值的问题。例1.求平面 与椭球面 相交成的椭圆的面积。解 椭圆的面积为，其中分别为椭圆的两个半轴。因为椭圆的中心在原点，所以分别是椭圆上的点到原点最大距离和最小距离。于是 在约束条件 下的最大值和最小值。作Lagrange函数 ，得到相应的方程组 将方程乘，方程乘，方程乘后相加，得到 因此或。分两种情况讨论： （1）当时，将以上方程组的前三个式子相加得到 但此时（否则从得到，这不是椭圆上的点），因此。带入方程组 就得的两组解 ，在这两个点的值都是1。 （2）当时，从方程组的前三个式子得到 ，代入得，它对应的的两组解为 在这两个点的值都是。由于椭圆的长轴与短轴一定存在，因此在椭圆 上的最大值与最小值一定存在，于是立即得到该椭圆的半长轴为1，短轴为，面积为。4.3.2利用MATLAB软件求解约束函数极值问题。例1.求解二次规划 ， s.t.利用MATLAB编程详见附录程序5利用MATLAB程序运行得到结果x=1.95001.0500value=-11.0250可以求得。例2.求下列非线性规划 s.t. 利用MATLAB编程定义增广目标函数，编写M函数test1.m如下：详见程序6得到结果x=1.07860.9599y=10.0848 可以求得。 5.MATLAB求极值问题在实际问题中的应用函数的极值在实际生活中应用非常广泛，企业的最大利润和最小成本问题就是比较常见的极值问题，例如商场卖衣服，价格定高了销量就会相应减少，若价格太低了商场又无法保证正常的运营，这时就会利用极值问题来解决这类问题。而且，生产商也要考虑在材料最节省的前提下，尽可能多的制造出更多的商品。这也就是我们常说的材料节省问题。这里，我们仍然运用极值问题来解决这类问题。随着工业化进程的推进，如何在满足环保的要求下，化工厂每天处理多少污水才能使处理污水达到的总费用最低，还有随着社会的进步和经济的快速发展，人们面对丰富的食物，却忽视了合理的膳食结构和营养搭配。而营养搭配问题就成为了许多动植物养殖者比较关注的问题。例如，如何给自己的动植物配置合理的饲料或肥料才能使它们生长的快，从而使利益最大化等等这些问题，都用到了极值问题。但在求解极值问题的时候，数学方法往往需要花费大量的时间和精力去计算，这时，我们就用到了文章中所提到的MATLAB软件来解决这类复杂的问题。5.1最大利润和最小成本问题随着社会的发展，销售、购买已经是人们生活中必不可少的部分。而销售部门最注重的是如何使营业额达到最大，从而产生最大的利益。但若是单纯的提高商品的售价，会让部分的顾客望而却步，使得商品的销售量降低；而若是降低价格，销售部门又无法从中获取利益使得销售链持续运转。这时，我们就用到了文中提到的极值问题来使利益最大化，我们所采用的方法也是大幅度降低计算量的MATLAB程序。例1.已知某商场外套的进价为每件50元，售价是每件80元，每个月可卖出400件。市场调查研究后反映如下：如果调整价格，每涨价一元，每个月要少卖10件。那么每件外套应该定价多少元时，商场才能获得最大的利润？根据题意知，因此，当时，取得最大值，这样的问题我们也可以利用MATLAB软件进行求解。详见附录程序7程序得到的图见图（3） 图（3）根据MATLAB程序运行出来的图形，我们可以通过观察得到，方程的极值点为，极大值为。5.2材料最省问题在实际生活中，我们经常会利用原材料去生产某些商品。例如，我们生活中所用的各种形状的塑料盒，我们身上所穿的色彩鲜艳款式多样的衣服，我们住的各种样式的房子等等，这些都需要最基本的原材料。可是我们所要考虑的问题是，我们应该怎样做才能减少原材料的使用，而使商品以最方便美观的形式呈现在我们面前。这一模块，我们采用MATLAB软件，目的是使原材料的利用率最大化，从而减少材料的使用。例2.每一年的圣诞节都是年轻人最开心的时刻，在这一天都会给心爱的人买一个盒巧克力。此时也是生产商找寻商机的时刻。生产商把边长为5分米的正方形纸盒剪去四个正方形的角以制成一个方形无盖纸盒，问如何剪使纸盒的容积最大？设剪去的正方形的边长为分米，则纸盒的容积为 ，建立函数模型：详见附录程序8利用MATLAB程序运行得到结果xmax=0.8333 gt; gt;fmax=-fvalfmax=9.2593 根据MATLAB程序的运行结果可以得知，当正方形的边长剪去0.83分米的时候，纸盒的容积最大为9.2593平方分米。5.3河水治理问题随着社会的发展和科学的进步，我们一直在追求更方便更快捷的生活方式。可是，当我们的生活更便捷的同时，我们赖以生存的水资源却在日益减少。每年化工原料污染的水资源量都在增加。化工厂的原料、产品和副产品大都是难生物降解有机物，一般的污水处理工艺很难进行处理，若是化工厂的废水未达标排放或是偷排入自然界，会危害水体和土壤环境，同时对人类健康会有更为严重的危害。化工厂生产的化学品若是挥发性比较强的物质，如强酸类或是易挥发有机物，则会污染周边大气环境，若是这些含有有毒有害物质的气体被人体呼入，对人类的健康损害更为严重。此时，河水治理问题已是刻不容缓。但在处理废水的同时，我们仍然要考虑如何快速有效的治理废水，这也就用到了我们的最值原理。例3.某河流流经第一个化工厂的河水流量是每天500万立方米；支流每天的流量是200万立方米；第一个化工厂每天排出2万立方米的工业污水；第二个化工厂每天排出1.4万立方米的工业污水；第一个化工厂处理每立方米的费用是0.1元，第二个化工厂处理每立方米的污水费用是0.08元；从第一个化工厂派出的污水流到第二个化工厂之前有20%得到自然净化。 设第一个化工厂每天处理工业污水万立方米，第二个化工厂每天处理污水万立方米，两工厂处理污水的总费用用为z万元。 详见附录程序9利用MATLAB程序运行得到结果x=0.25001.4000fval=1.3700 根据MATLAB运行出的结果可知，第一个化工厂每天处理废水0.25万立方米，第二个化工厂每天处理废水1.4万立方米，两工厂每天处理废水的总费用为1.37万元。6.结 论通过对函数极值问题的学习，我们知道了函数极值问题在生活中的各个方面都得到很大的应用，而利用MATLAB程序可以避免大量计算时出现的错误，从而快速得出结果。在利用MATLAB程序时，主要运用了一下几个方面：（1）diff函数的调用；（2）solve函数的输出；（3）编写M文件；（4）jacobian函数的编程；（5）Hessian函数的运用。 致 谢 四年的大学生涯转眼就要就要画上一个句号了，但这不仅仅意味着一段旅程的结束，也是下一段旅程的起始。四年的生活转瞬即逝，很感激自己在这四年的过程中得到了身边朋友，师长以及亲人的鼓励和帮助，我也真的学到了很多东西。在论文即将结束的时候，我的内心久久不能平静，想到了很多，也许是毕业的不舍，但更多的感谢在本次论文撰写的过程中一直鼓励帮助我的各位老师和同学，在这里，最想感谢的就是我的指导教师高海音老师，最开始接到论文题目的时候脑袋里几乎称得上一片空白，是高老师在我最没有头绪的时候一直不辞辛劳的帮我查阅资料，而且一直认真地帮助我修改论文，提出了很多宝贵的意见和建议，让我的论文能够保质保量的完成。在我大学四年的学习生活中，遇到过很多的挫折和困难，感激我的系主任和各位老师，一直在我身边鼓励我前行，从不放弃。同时，我还要感谢我身边的朋友们，我们在一起的时间是最长的，生活中帮助了我太多太多，我们一起成长，一起欢笑，那些记忆都是我日后最美好的东西。最后，我还要感谢我的父母，感谢他们这么多年来从未轻易放弃我，是他们的爱伴随着我成长，在此，我想对所有一直陪伴我的人说:“谢谢你们！”参考文献1 司守奎，孙玺菁. 数学建模算法与应用. 国防工业出版社，2014,6：22262 刘峰，葛照强. 数学建模. 南京大学出版社，2005：1411453 张秀兰，林峰. 数学建模与实验. 北京工业出版社，2013:34374 赵静，但琦，严尚安，杨秀文. 数学建模与数学实验. 高等教育出版社，2008:37425 陈纪修，於崇华，金路. 数学分析. 高等教育出版社，2000:2062116Si Shoukui,Sun Xijing. Mathematical modeling algorithm and its application. National Defence Industry Press ,2014,6：22267Liufeng,Ge Zhaoqiang. Mathematical modeling. Nanjing University Press,2005：1411458Zhang Xiulan,Linfeng. Mathematical modeling and experiment. Beijing Industry Press,2013:34379Zhaojing,Danqi,Yan Shangan,Yang Xiuwen. Mathematical modeling and mathemati. Higher Education Press,2008:374210Chen Jixiu,Yu Chonghua,Jinlu. mathematical analysis. Higher Education Press,2000:206211