多变数函数的微分学偏导数定义定义极限值市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

第四章多變數函數微分學4.1偏導數定義定義4.1.1極限值1第1页定理4.1.1極限值基本定理(1)極限值唯一性:若存在，則其值必為唯一。(2)若且(與為常數)，則且為常數且2第2页(3)若為多項式函數，則(4)若為有理函數，則其中與均為多項式函數且。(5)若存在且點以及點，則反之亦然。3第3页普通而言，我們能够利用下面所提供方法判斷極限值是否存在:若點及點，則(1)若且，而且，則不存在。(2)若，則不存在。(3)若，則不存在。4第4页例1.試求以下各題極限值。(1)若函數但，試決定。(2)若函數但，試決定。(3)若函數但，試決定。(4)若函數但，試決定。5第5页解:(1)我們考慮通過原點之直線上點，則若，則我們有若，則我們有得知不存在6第6页(2)我們考慮通過原點之直線上點，則7第7页(3)我們考慮通過原點之直線上點，則若，則我們有若，則我們有得知不存在8第8页(4)我們考慮通過原點之直線上點，則若，則我們有若，則我們有得知不存在9第9页定義4.1.2連續函數在點連續在上面定義裡，我們有明確數學定義，即此時必須滿足以下三個條件:(1)函數值存在(即點必定在函數定義域內)。(2)極限值存在。(3)(即“極限值等於函數值”)。當然，倘若函數在其定義域中任意點均連續，則稱函數在中為連續函數。10第10页定理4.1.2連續基本性質(1)倘若與在點均為連續函數，則與與以及(為常數且)在點均為連續函數。(2)倘若為單變函數且為多變數函數，使得在點連續且在連續，則合成函數亦在點連續。(3)多變數多項式函數與多變數有理函數在它們定義域內均為連續函數。11第11页例3.試討論以下各函數連續性。(1)若且(2)12第12页解:(1)點定義域又考慮通過原點之直線上點，則在點之外均為連續。13第13页(2)點定義域，且又在任何實數點均為連續。14第14页4.2偏導數與微分定義.2.1第一階偏導數假設函數被定義在點某個鄰域內，則函數在點對第一階偏導數為而函數在點對第一階偏導數為15第15页定義4.2.2第一階偏導數假設函數定域義為，則函數對第一階偏導數為而函數對第一階偏導數為同理，函數對偏導數為。事實上，偏導數還有其它通用符號:16第16页例1.試求以下各函數第一階偏導數。(1)解:(1)17第17页定理4.2.1倘若為包含兩個自變數函數，則與亦為包含兩個自變數函數，而且與第一階偏導數亦存在。定理.2.1裡四個函數稱為函數第二偏導數，其惯用符號為18第18页同理，多變數函數高階導數亦有其明確定義，比如倘若為包含三個自變數函數，則我們將有九個第二階導數以及二十七個第三階導數，其它情況依此類推，比如19第19页例2.若，試求，與解:20第20页定理4.2.2假設為包含兩個變數函數，倘若與在二度空間某開區域為連續，則;同理，倘若函數高階偏導數在某開區域為連續，則，同理，倘若高階偏導數為連續函數，則我們有21第21页例3.若，若而且，試證明與均存在但不相等。證明:22第22页我們得證23第23页定義4.2.3可微分()假設為與函數且定義在點某個鄰域，倘若存在常數以及與函數與，使得對任意向量且而言，恒有(1)。(2)當。則稱函數在點為可微分。24第24页定義4.2.4微分假設為與函數且定義在點某個鄰域，倘若存在常數以及與，則對任意向量且而言，我們稱函數在點微分或全微分為所以，假設為與函數，而且其第一階偏導數與均存在，則函數全微分為25第25页例4.試求函數(即)在各定點與向量全微分。解:26第26页定理4.2.3倘若函數在點為可微分(differentiable)，而且，則證明:且當時我們有#27第27页由定理4.2.3，我們所以得到亦即我們有其中。28第28页例5.試利用微分法求近似值。解:設則,取則即29第29页例6.一等腰三角形三邊長為呎、呎、呎且其頂角為弳。倘若把此三角形兩等腰長增加一吋且頂角增加徑，試問其面積改變若干?解:兩腰長為且頂角為之等腰三角形面積為取則其面積改變量為平方呎30第30页例7.倘若，若而且，試證明與均存在，不过函數在點是不可微分。證明:取31第31页則即不存在由定理4.2.3得知在點為不可微分。32第32页定理4.2.4倘若函數在點為可微分，則函數在點為連續。證明:函數在點為可微分取，則由定理7.2.3得知即由定義7.1.2得知函數在點為連續。#33第33页定理4.2.5假設為二變數函數且定義在點某個鄰或。倘若其一階偏導數與在存在且在點為連續函數，則函數在點為可微分。總之，倘若為多變數函數，則我們得知(1)倘若函數在點為可微分，則函數在點為連續。(2)倘若函數一階導數存在且在點為連續，則函數在點為可微分。即，若與均連續，則必可微分。(3)倘若函數二階導數為連續函數，則;倘若函數三階導數為連續函數，則有，高階導數則依此類推。34第34页4.3鏈導法則與隱函數導數(thechainrule)定義7.3.1若為之一可微分函數，而又為之可微分函數，則於導數存在，而且為定義7.3.2偏微分(偏導數)若為之一可微分函數，令而且對於之偏微分均存在，而且為;35第35页定理4.3.1鏈導法則(thechainrule)(1)若為與之一可微分函數，而且及均為之可微分函數，則對於而言均為可微分函數，而且為(2)若為與之一可微分函數，令與而且與對於之偏微分均存在，則對於之一階偏導數均存在，而且為36第36页由上面定理4.3.1得知，假如而且，則我們有;同理，假如而且，則我們有37第37页例1.試求，若解:38第38页例2.試求與，若解:39第39页例3.倘若我們有試求解:40第40页定理4.3.2隱函數導數(1)若為與之一可微分函數，且為之一可微分函數，則對於而言為一微分函數，而且以及41第41页(2)若為與以及之一可微分函數，且為與之一可微分函數，則對於與而言為一可微分函數，而且以及42第42页例4.若滿足方程式試求與解:令則43第43页定義4.4.1極值(extrema)設為二變數函數，為定域義子集合且為上一點，則(1)當，我們稱為函數在極大值(maximumvalue)。(2)當，我們稱為函數在極小值(minimumvalue)。(3)當為函數在極大值或極小值，我們稱為在極值(extremevalue或extremum)。44第44页定義4.4.2相對極值(relativeextremum)設為二變數函數，而且存在以為半徑且以點為圓心之點鄰域，則(1)若，我們稱為函數在相對極大值(relativemaximumvalue)或局部極大值(localmaximum)。(2)若，我們稱為函數在相對極小值(relativeminimumvalue)或局部極小值(localminimum)。(3)若為函數在相對極大值或相極小值，則我們稱為函數在相對極值或局部極值。45第45页定義4.4.3絕對極值(absoluteextremum)設為二變數函數且定義域為以及點，則(1)若，我們稱為函數絕對極大值(absolutemaximum)。(2)若，我們稱為函數絕對極小值(absoluteminimum)。(3)若為函數絕對極大值或絕對極小值，則我們稱為函數絕對極值。46第46页定理4.4.1極值檢驗法(testforextrema)設為二變數函數且定義域為一開集合(openset)，而且在內函數第一階與第二階偏導數均為連續。令函數定義域為且，倘若存在一點使得與，則(1)若且，則為函數相對極大值。(2)若且，則為函數相對極小值。(3)若，則，則不為函數極值，此時為函數圖形上一馬鞍點(saddlepoint)或稱為鞍點。(4)若，則無法判斷是否為函數極值。47第47页例1.試求以下各函數極值。(1)(2)48第48页解:(1)且令且令與則或不為極值且為圖形上一鞍點。且為相對極小值。49第49页(2)令且令與50第50页則且且且或或無法判斷下否為極值。且為相對極大值。51第51页例2.試求點與平面之間最短距離。解:設平面上一點，而且設點，則我們有由得到令函數52第52页且令與平面上點與點有最短距離為53第53页例3.欲製造一具能容納立方米液體之無蓋長方體容器，則長、寬、高各為多少米，可使表面積材料為最少?解:設此長方體容器長、寬、高分別為、米，則體積為依題意，使用最少材料做此長方體意謂求表面積極小值。54第54页N525;令且令與此長方體底為一正方形且高為底之邊長二分之一時可使用最少材料，此時長為米、寬為米、高為米。55第55页