分数阶漂移-扩散模型解的Gevrey解析性和衰减率.pdf

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1、宝鸡文理学院学报(自然科学版棭第43卷，第1期，第1-7,18页,023年3月Jo u r n a l o f Ba o ji Un iver sit y o f Ar t s a n d Sc ien c es(Na t u r a l Sc ien c e),Vo l：4 3,No：1,p p：1-7,18,Ma r：2023DOI：10.134 67/j.c n ki.jbu n s.2023.01.001分数阶漂移一扩散模型解的Gevrey解析性和衰减率罗永轲，赵继红灣（宝鸡文理学院数学与信息科学学院，陕西宝鸡721013）摘要摘要：目的目的研究一类分数阶漂移一扩散模型整体解的Ge v

2、r ey解析性和衰减率，该模型是半导体中经典模型Po isso n-Ne r n st-Pl a n c k方程组的推广模型，数学形式上表现为分数阶非线性抛物型和椭圆型偏微分方程耦合而成的混合型方程组暎暎方法方法利用多线性奇异积分算子理论和Fo u r ier微局部分析技术进行研究暎暎结果与结论结果与结论证明了分数阶漂移一扩散模型在临界Fo u r ier-Beso v空间中的整体解是Gevr ey解析的，并得到了此整体解的衰减率暎暎关键词关键词：分数阶漂移一扩散模型；整体解；Gevr ey解析性；衰减率中图分类号中图分类号：O175.28 文献标志码文献标志码:A 文章编号

3、文章编号：1007-1261（2023）01-0001-07Gevrey analytic ity and dec ay rates of solutions forthe frac tional d rift-d iffusion modelLUO Yo n g-ke,ZHAO Ji-h o n g*(Sc h o o l o fMa t h ema t ic sa n d In fo r ma t io n Sc ien c e,Ba o jiUn iver sit yo fAr t sa n d Sc ien c es,Ba o ji721013,Sh a a n xi,Ch in a)

4、Abstrac t:PurposesTo st u d y t h e Gevr ey a n a l yt ic it y a n d d ec a y r a t es o f g l o ba l so l u t io n s fo r a c l a ss o f fr a c t io n a l d r ift-d iffu sio n mo d el：Th e mo d el is a g en er a l iza t io n o f t h e c l a ssic a l Po isso n-Ner n st-Pl a n c k eq u a t io n set i

5、n semic o n d u c t o r d evic es,wh ic h ma t h ema t ic a l l y exh ibit s t h e mixed eq u a t io n syst em c o up l ed wit h fr a c t io n a l n o n l in ea r p a r a bo l ic a n d el l ip t ic p a r t ia l d iffer en t ia l eq u a t io n s：Method sTh e mu l t il in ea r sin g u l a r in t eg r

6、a l t h eo r ie s a n d t h e Fo u r ie r mic r o l o c a l a n a l ysis a r e u sed t o p r o ve ma in r esu l t s：Results and Conc lusionsIt is p r o ved t h a t t h e g l o ba l-in-t ime so l u t io n s o f t h is mo d el a r e Gevr ey a n a l yt ic a l in c r it ic a l Fo u r ie r-Beso v sp a c

7、es,wit h d ec a y r a t es o f t h ese g l o ba l so l u t io n s o bt a in ed：Key word s:fr a c t io n a l d r ift-d iffu sio n mo d el;g l o ba l so l u t io n s;Gevr ey a n a l yt ic it y;d ec a y r a t esMSC 2020：35A20；35Q81；35R11；78A35本文主要研究半导体理论中经典的漂移一扩散模型的推广模型，分数阶漂移一扩散模型，其初值问题形式如下：掛3+AF=V*（

8、jVAPp），文暿 R，棳0,掜 3口+=V*（棬VAp），棳暿 R，棳0,（1）丨丨iKC）=让（棬）,s（棬,0）=氓棬），暿R,其中，1 0：曑2,00曑/,曒2,=巳（棬,）和 3=3（,）是未知函数，s（）和g（）是给定的初值函数，分数阶La p l a c e算子公=（）可通过Fo u r ier变换定义如下：A%（）：=斊椲斊（）（），其中，斊（棬）=u表示m的Fo u r ie r变换，斊】（）表示“的Fo u r ier逆变换暎19世纪末，为刻画电解质中带电粒子的漂移和扩散现象,Ne r n s t和Pl a n c k提出了经典的 Po isso n-Ner n

9、 st-Pl a n c k（PNP）方程组，其初值问灣收稿日期=2022-07-25,修回日期：2022-09-20：基金项目：国家自然科学基金项目（11961030）；陕西省自然科学基础研究计划一般项目-面上项目（2022JM-034）；陕西省教育厅自然科学专项科研计划（21JK04 79）；宝鸡文理学院研究生科研创新项目（YJSCX22YB28）作者简介：罗永轲（1996-），男，甘肃武威人，在读硕士研究生，研究方向：偏微分方程.Ema il：yo n g kel u o l ma t h 163：c o m通讯作者：赵继红（1982-），男，甘肃天水人，教授，博士，硕士生导师，研

10、究方向：偏微分方程.Ema il：jih zh a o 163：c o m2宝鸡文理学院学报(自然科学版)2023 年题如下：QN AN=V(NVQ,暿 R,0,灥P AP=V(V(p)，棳暿 R 棳0,掜 (2)Ap=P N，棳暿 R，棳0,、N(,0)=N(),P(,0)=暿 R,其中,N=N(,)和P=P(,)分别表示带负电荷和正电荷粒子的密度函数，卩表示电子静电势。易见经变换d:=NP,w：=N+P,即可由方程(2)推得方程(1)(对应于a=2,0=2的情形)。作为半导体理论的经典模型，方程组(2)的研究成果已经有很多k archh证明了方程组(2)在临界Beso v空间瓦曓

11、(R)掝 p d掫中的局部适定性和小初值问题的整体适定性。随后,ZHAO et a l2椵利用Fo u r ier微局部分析将上述适定性结果中力的范围优化为1 p 2JJDENG et a l3在低正则性临界Bes o v空间中给出了二维 PNP方程组适定性和不适定性的完整刻画，证明了 PNP方程组(2)在临界Beso v空间瓦，2(R2)中是适定的，而在临界Beso v空间B2(R2)(2 q曑曓)中是不适定的。相应的高维情形也有类似的结果。相比于经典PNP方程组(2)的诸多研究，其推广模型(1)的研究始于近十多年暎010年,BILER et a l5建立了单分支分数阶漂移一扩散

12、模型在临界Lebe sg u e空间L吕(R)(1 a 2)中小初值问题的整体适定性，并且证明了当初值具有大质量或者满足某种集中条件时，其对应的局部解将在有限时间内发生爆破。进一步，BILER et a l6建立了方程组(1)在二维情形下，小初值问题在临界Beso v空间暏打(斠斠2)(1 a 2,1曑 q曑曓)中的整体适定性WU et a l7证明了方程组(1)在临界 Fo u r ier-Her z 空间斅 22(R)(1 a曑2)中的局部适定性和小初值问题的整体适定性，并且证明了方程组(1)在临界Fo u r ie r-He r z空间斅2(R)及临界Beso v空间暏爲

13、(斠2)(2 q曑曓)中的不适定性。对于分数阶漂移一扩散模型的更多研究可见文献8 10。对于经典的PNP方程组(2),ZHAO11已经证明了其整体解在临界Bes o v空间中的Gevr ey 解析性和衰减率，即当1 少24,1曑曑曓时,方程组(2)的整体解(N,P)满足：(e d Ne d p)暿斕8(0,曓;暏棲(R)暽1(0,o；B|r(R),d其中是象征为|E 11=暺丨E丨的Fo u r ier乘子。i=1由解的Ge vr ey解析性易得解关于时间的衰减率 II(AN(t),AP()暚,片曑Gt-2 I(N,P)I,片,其中，c。=I Ae人I。最近,cui et l2将上述结

14、果推广至分数阶PNP方程组(1),即当卩=2,1 a 1+min d楜,?；少曓，1曑于曑8时，方程组(1)在临界Fo u r ier-Beso v空间 FB,棲(R)中存在唯一的整体解(,3)满足：暿斕,曓椈暏棴呼(斠)暽斕棻(0,8；FB,(R),并且得到了解关于时间的衰减率II(A%(),AwO)IfB曑 Cr II(s,s)Ifb”。基于文献口 1 12中的研究结果，本文将在 Fo u r ier-Beso v空间中进一步考虑方程组(1)(对应于0曎2的情形)整体解的Gevr ey解析性和衰减率。贯穿全文，用少表示P的共轭指标，即1+P1=1,用符号A 表示估计A曑CB,其中

15、CP是与所研究问题无关的一致常数。1 预备知识预备知识先介绍R上的Lit t l ewo o d-Pa l ey 二进制分解理论口3。用S(R)表示Sc h wa r t z速降函数空间,S(R)表示其拓扑对偶空间,即Sc h wa r t z缓增分布函数空间。设光滑径向函数卩满足：0曑卩曑1,su p p p U C：=胃暿R 曑丨E旤曑3楜且暺卩(2?)=1 VE暿 R O。暺令()=卩(2-j,()=斊(工)则对任意的 fR)定义二进制分解算子和Sj如下：4/():=2曇詁(2灼)(y)d y,SJO：=暺孑忑j1设S；(R)是由S(R)中满足l里S/=0的分布函数构成的空间，则

16、对任意的于暿S；(R)，有所谓的齐次Lit t l ewo o d-Pa l ey分解:/=暺、f。暺需要指出的是，上述定义的齐次二进制算子第1期罗永轲等分数阶漂移一扩散模型解的Gevr ey解析性和衰减率34和5满足如下的拟正交性质：汀曉 0,|i曒 2,(Sj_/Ajg)曉 0,|i|曒 5。进一步，利用Bo n y仿积分解椲，2个缓增分布函数的乘积可在形式上进行如下分解：fg=Tfg+Tg _f+R(棬,g),其中，Tfg：=暺称为fg的仿积，TJ疋Z是其对称项，R(,g)：=暺厶払jg称为余项，其疋Z中：=厶1+$+Aj+i 暎其次,给出齐次Fo u r ier-Beso v空间

17、与 Ch emin-Ler n er型混合时空空间的定义暎定义定义115 设s暿R,1曑少,少,曑曓，则可定义齐次Fo u r ier-Beso v空间如下：F氏,”(斠)：=楙暿Sl/R)：|川码”0,任意实数对(a,)满足1曑b曑a曑曓，存在正常数C,使得如下不等式成立：su p p了 U 入斠炤 su p|曑t=kc 1 入屮(丄-1)|f|.,su p p U AC炤炤LL棴於棴於|了了曑 su p|苛曑G+听听|孑|宀孑|宀|a|=ife引理引理2椲17椵设C是R中以原点为心的环，则对任意的f e s(R)，任意1曑p曑曓，以及任意实数对(,，)，)，存在非负实数匕和K,

18、使得如下不等式成立：su p p U 疋炤疋炤|e-f Ike Ke此|们。引理引理318 设1曑力,，曑曓，若于若于eI?(R),g e L(Rd)，则 f 灣 g e D(R)，且满足|_f*g|沖曑|l f U g,其中，,，满足1+丄=丄+丄。q P t2 整体解的存在性及整体解的存在性及Gevrey解析性解析性本文的主要结果如下：定理定理1 设1a W2,2椉a+卩卩 3+min 誥，,楜，2 j p 0,有I斊椲以厂呼厶如I曓心燂I贏I,I斊椲1”“如临心燂 1 e-21T(6)(7)&2 G-1 I Aj S I L。对(6)式两端同乘以2(2-l叶寻)(7)式两端同乘以

19、2棬-片寻棭，并取旍范数可得II eA厂a u0 I斕(f*广)燂 II H If暏丁,(8)II e A-“v0 I斕(眄严#棭燂可1P,1 e-2，TV暺梹21 梹棬棬-棲棭I贏I”)丁燂I S Il*：二时暎(9)结合上述估计(8)式和(9)式，即得(5)式成立。引理4得证暎为处理方程组(4)右端的非线性项，引入如下的双线性型：B(W,V)：=0椲人1吗椵皿V*J 0e1%(e-吗 W(s)e-対 VA-W(s)d s。引理引理5 在定理1的假设条件下，有I B(W,V)Ix”燂 I(W,V)I 2”。(10)引理引理5证明如下证明如下首先，对B(W,V)两端取Fo u r ier变

20、换可得I 斊jBCW,)I=I 斊j eU1吗椵棭V*J 0e1 棬対 W(s)eW VAPV(s)d s I暎注意到(s/,sA,)(s-s)A*_e 1 1 e：()1/a+(s1/o+椲-s)1/A2aT2a*,并且由于e椲(s jg 和e椲(W-2旳均是一致有界的Fo u r ier乘子，因此I 0,引入符号z,：=0 Lt,熱熱 K陶L,%,上述张量积表示等式右边第j个算子作用于函数 fh,，2,的第j个变量勺，从而由奇异积分算子理论可知双线性算子斅(/,)可表示为斅(/,)暺 0熱熱(乙,，化山虫)暎,暿1,1严3注意到E十耳暿Dv,暿D#和耳暿,从而第1期罗永轲等分数阶漂

21、移一扩散模型解的Gevr ey解析性和衰减率51旤十1 一定属于集合E：=l,e2棷+咄 1,e2棷 1,e-2棷 I 力 I),=1,2,-,0用斖表示L空间上所有Fo u r ier乘子所构成的线性空间，其上范数定义为ir i 斖:=sUp 楙 I 斊(斊g)I”：V g 暿 S(R),Il g II=1。则易见淮“,。”,。”以及集合E中的元素都是 L#(R)(1少8)上的Fo u r ier乘子，因此上述引入的算子瓦和都是L”(R)上的有界线性算子，且乙,“对应的算子范数关于时间t曒0 是一致有界的。从而对任意的1 8满足1+1=1+1有I#VAV I/燂暺 2(-1-7XI

22、 33 42(2+2可得暺 I 斊令(乙S#1WZ 必”#VAPV)1=I J-J I 曑 4暺 I%斊Ezs*】w*I j T 曑4斊VA-W I”燂暺 I 斊CZmS#IuXI j T 曑 4I 斊VA-PV I才燂暺暺2談I斊心XI 3j I 4 心2Ii 燂eT)2.j 丫 2(-1-?)f X曇 0 I/I1可得暺 I 斊乙,“4，W ZsSj，1 VAV)Ik=I J-J I 曑 4暺I%斊心厶，w*I ii I 曑 4斊Zs Sj，1 VAPV I/燂暺 I 斊E 乙,“2，W I xI ii I 曑 4I 斊Zs Sj1 VAV Ir 燂暺暺2那I斊Z心人VAV

23、I”XI ji I 4 kj2I瓦帀I”燂暺2(2+XI j 4 2(-1+a)21-+#)X fe2|厶 VAV I2(-+)I 瓦丽 I。从而有燂暺2I IJ I 4(-2+)X暺 2(1+讥2(o+#”I VAV IXfeJ22 十IWIn d s。(14)对于余项【3,由Fo u r ie r变换易知张量运算熱熱K和二进制算子厶可以交换次序,并由乙,“，0熱熱K在L”(R棭上的有界性可得13燂e-參肿2 丫 I斊氐熱熱曇0 j曒j-2K/乙,4评 Zi,、VAPV)I”d s 燂e於阳2工；I斊X曇0 曒j2/WZ,”寛，VA-PV)Id s。下面分2种情形来估计暺 I 斊乙,g

26、+”X|#VA-PV|：心）+2（-2+棲-X|VA-W|Fi丄珅2（2-+棭 X|丽临心）+2棬+斡|W|码;-）X 暺 2（-3+2”2）+暺2 2棬+吟|可|上眄-厂吟）暺2（3+心X 曒-22棬+寻|寛，VAV 临心。（17）对（17）式两端同乘以2（2-匚叶磊），并取旍范数可得|B（W,V）|斕曓眄丁*棲#）燂|W|斕。a；-厂廿#）|V|车（暏；棲#）+|W|匕（暏哪）|V|斕曓遇2v棲#）暎（18）再对（16）式两端关于时间t取L1范数可得|斊|中护）燂2（-2+|w）X2（1+?“|ZTV而临心）+2（-2+|VA-W T；呼）X2（2+棭j|篩临（”）+2（-+”|W|（

28、意的 7曒0,1 0）是卷积算子 2、所对应的核函数。另一方面，由定理1可知，当（s,g）暿FB2；,F（R）充分小时，方程组（1）存在唯一的整体解（1,3）,且I（AF（S）,AT（）I酥严寻一 I（Ae”A1eMA5（t）,Ae吗 e 吗 s（S）I j*严莎曑 Ct I（e S（s）,s（S）If*-L吟曑 Cr I（sg）Ifb；厂1十#暎定理2得证暎4总结总结本文利用多线性奇异积分算子理论和Fo u-r ie r微局部分析证明了分数阶漂移一扩散模型在低正则性临界Fo u r ier-Beso v空间中整体解的 Ge vr e y解析性，并得到了解关于时间的衰减率暎该结果不仅

29、将ZHAO11和CUI et a l12的结果推广至更一般的分数阶PNP方程组，还将解空间拓展至范围更广的Fo u r ier-Beso v空间，并优化了文献口2椵中的衰减率暎受所用方法的局限性，只得到了次临界情形（1a曑2）的结果暎对于临界（ct=1）和超临界（0a 1）情形，方程组（1）整体解的存在性，Ge vr e y解析性和衰减率都是进一步值得考虑的问题。参考文献参考文献：椲椵 KARCH G：Sc a l in g in n o n l in ea r p a r a bo l ic eq u a t io n sJ：Jo u r n a l o f Ma t h ema

30、 t ic a l An a l ysis a n d Ap p l ic at io n s,1999,234(2):534-558：椲椵 ZHAO J H,LIU Q,CUI S B：Exist en c e o f so l ut io n s fo r t h e Debye-Hiic kel syst em wit h l o w r eg ul a r it y in it ia l d a t a J：Ac t a Ap p l ic a n d a e Ma t h ema t i-c a e,2013,125(1)：1-10：椲椵 DENG C,LI C M：En d p o

31、 in t bil in ea r est ima t es a n d a p p l ic a t io n s t o t h e t wo-d imen sio n a l Po isso n-Ner n st-Pl a n c k syst em J：No n l in ea r让y,2013,26(11)：2993-3009：IWABUCHI T,OGAWA T：Il l-p o sed n ess issu e fo r t h e d r ift-d iffu sio n syst em in t h e h o mo g en eo u s Beso v sp a c esJ

32、：Osa ka Jo u r n a l o f Ma t h ema t ic s,2016,53(4)：919-939棶BILER P,KARCH G：Bl o w-u p o f so l u t io n s t o g ener a l ized Kel l er-Seg el mo d el J：Jo u r n a l o f Evo l u t io n Eq u a t io n s,2010,10(2)：24 7-262：BILER P,WU G：Two-d imen sio n a l c h emo t a xis mo del s wt h fr a c t io n

33、 a l d iffu sio n J：Ma t h ema t ic a l Met ho d s in t h e Ap p l ied Sc ien c es,2009,32(1):112-126：7 WU G,ZHENG X X：On t h e wel l-p o sed n ess fo r Kel l er-Seg el syst em wt h fr a c t io n a l d iffu sio n J：Ma t h ema t ic a l Met h o d s in t h e Ap p l ied Sc ien c es,2011,34(14)：1739-1750

34、：ZHAI Z C：Gl o ba l wel l-p o sed n ess fo r n o n l o c a l fr a ct io n a l Kel l er-Seg el syst ems in c r it ic a l Beso v sp a c es：No n l in ea r An a l ysis Th eo r y,Met h o d s 敠 App l ic a t io n s,2010,72(6)：3173-3189：9 ZHAO J H：Wel l-p o sed n ess a n d Gevr ey a n a l yt ic it y o ft h

35、e g en er a l ized Keler-Seg el syst em in c r it ic a l Beso vsp a c esJ：An n a l id iMa t ema t ic a Pu r a ed Ap-p l ic a t a,2018,197(2)：521-54 8：10 ZHAO J H：Gl o ba l exist en c e o f l a r g e so l u t io n s fo r t h e g en er a l ized Po isso n-Ner n st-Pl a n c k eq u a t io n s：Jo u r n a

36、l o f Ma t h ema t ic a l An a l ysis a n d Ap p ii-c a t io n s,2021,98(1):124 94 3：11 ZHAO J H：Gever y r eg u l a r it y o f mil d so l u t io n s t o t h e p a r a bo l ic-el l ip t ic syst em o f d i-d ifu sio n t yp e in c r it ic a l Beso v sp a c esJ：Jo u r n a l o f Ma t h ema t ic a l An a

37、l ysis a n d Ap p l ic a t io n s,2017,4 4 8(2)：1265-1280棶(下转第18页)18宝鸡文理学院学报（自然科学版）2023 年性定理11,这些结果都具有重要的研究意义。参考文献参考文献：CHIANG Y,CHADLI O,YAO J C.Exist en c e o f so l u t io n s t o imp l ic it vec t o r va r ia t io n a l in eq u a l it ies J.Jo u r n a l o f Op t imiza t io n Th eo r y a n d Ap p

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41、a n d App l ic a t io n s,2008,34 1(2):1271-1283.AL-HOMIDAN S,ANSARI Q H,SCHAIBLE S.Exist en c e o f so l u t io n s o f syst ems o f g en er a l ized imp l ic it vec t o r va r ia t io n a l in eq u a l it ies J.Jo u r n a l o f Op t imiza t io n Th eo r y a n d Ap p l ic a t io n s,2007,134(3)：515

42、-531棶冷冷冷冷冷冷冷冷冷冷冷冷冷冷冷冷冷冷冷冷冷冷兰(上接第7页)2 CUI Y W,XIAO W L.Gevr ey r eg u l a r it y a n d t ime d ec a y o f t h e fr a c t io n a l Debye-Hiic kel syst em in Fo u r ier-Beso v sp a c es J.Bu l l et in o f t h e Ko r ea n Ma t h ema t ic a l So c iet y,2020,57(6)：1398-14 08.3BAHOURI H,CHEMIN J Y,DANCHIN

43、 R.Fo ur ier An a l ysis a n d No n l in ea r Pa r t ia l Difer en t ia l E-q u a t io n sM.Ber l in：Sp r in g er,2011.14 BONY J M.Ca l c u l symbo l iq u e et p r o p a g a t io n d es sin g u l a r it es p o u r l es eq u a t io n s Au x d er iv-es p a r-t iel l es n o n l in ea ir esJ.An n a l es

44、 Sc ien t ifiq u es De 棫 Ec o l e No r ma l e Su p er ieu r e,1981,14(2):209-24 6.5KONIECZNY P,YONEDA T.On d isp er sive effec t o f t h e Co r io l is fo r c e fo r t h e st a t io n a r y Na vier-St o kes eq u a t io n s.Jo u r n a l o f Difer en t ia l Eq u a-LIN K L,YANG D P,YAO J C.Gen er a l i

45、zed vect o r va r ia t io n a l in eq u a l it ies.Jo u r n a l o f Op t imizat io n Th eo r y a n d Ap p l ic a t io n s,1997,92(1)：117-125.8 ANSARI Q H,SCHAIBLE S,YAOJ C.Gen er a lized vec t o r q u a si-va r ia t io n a l in eq u a l it y p r o bl ems over p r o d u c t set s J.Jo u r n a l o f G

46、l o ba l Op t imiza-t io n,2005,32(4)：4 37-4 99.FARAJZADEH A P,AMINI-HARANDI A.Ong en er a l ized imp l ic it vec t o r va r ia t io n a l in eq u a l it y p r o bl emsJ.In d ia n Jo u r n a l o fPu r ea n d Ap p l ied Ma t h ema t ic s,2011,4 2(2)：127-14 0.0林志.广义集值隐向量变分不等式问题系统解的存在性与稳定性系统科学与数学,2008

47、,28(2)：136-143.1 LIN Z.Exist en c e o f so l u t io n s t o t h e syst em o f g en era l ized imp l ic it vec t o r q u a siva r ia t io n a l in eq u a l it y p r o bl emsJ.Jo u r n a l o f In eq u a l it ies a n d Ap p l ic a-t io n s,2009(1)：1-7.12 FU J Y.Gen er a l ized vec t o r q u a si-eq u i

48、l ibr iu m p r o b-l emJ.Ma t h ema t ic a l Met h o d so fOp er a t io n sRe-sea r c h,2000,52(1)：57-64.3 LIU J Q,WANG M Y,YUAN Y.Br o wd er t yp e fixed p o in t t h eo r emsa n d Na sh eq u il ibr ia in g en er-a l ized g a mesJ.Jo u r n a l o fFixed Po in t Th eo r y a n d Ap p l ic a t io n s,2

49、020,22(3)：1623-1627.(编校：李哲峰)t io n s,2011,250(10)：3859-3873.16 ZHU W P,ZHAO J H.Th e o p t ima l t emp o r a l d-c a y est ima t esfo r t h e mic r o p o l a r fl u id syst em in n eg a t ive Fo u r ier-Beso v sp a c es J.Jo u r n a l o f Ma t h ema t ic a l An a l ysis a n d Ap p l ic a t io n s,20

50、19,4 75(1)：154-172.17暋 WU G,YUAN J.Wel-p o sed n esso ft h eCa u c h y p r o bl emfo r t h efr a c t io n a l p o wer d issip a t iveeq u a-t io n in c r it ic a l Beso vsp a c esJ.Jo u r n a l o fMa t h e-ma t ic a l An a l ysisa n d Ap p l ic a t io n s,2008,34 0(2)：1326-1335.8陈国旺.索伯列夫空间导论M.北京：科学出

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