含参数分数阶微分方程多点积分型边值问题解的存在性.pdf

宝鸡文理学院学报(自然科学版第43卷，第1期，第813页,2023年3月Jo u r n a l o f Ba o ji Un iver sit y o f Ar t s a n d Sc ien c es(Na t u r a l Sc ien c e),Vo l.4 3,No.1,p p.8-13,Ma r.2023DOI：10.134 67/j.en ki.jbu n s.2023.01.002含参数分数阶微分方程多点积分型边值问题解的存在性郑艳萍】，李宣达棽(1.太原师范学院数学与统计学院，山西晋中030619；2.东北大学理学院，辽宁沈阳110819)摘要：目的摘要：目的讨论一类含参数非线性分数阶微分方程多点积分边值问题解的存在性和唯一性暎 暎 方法 方法 应用Ba n a c h空间中的不动点定理进行研究暎暎结果与结论 结果与结论(1)E=C(0,T,R)为Ba n a c h空 间，若存在非负函数g(),使得V t暿0,T,|于(,“)丨|于(,“)丨曑g(),则边值问题在集合E中至少有一个解椈 椈(2)如果l im棬,=0,则边值问题在集合E中至少有一个解；(3)若边值问题右端函数(,)(,)满足一 u曻0 U定的条件，则边值问题有唯一解暎 暎关键词:关键词:Riema n n-Lio u vil l e分数阶导数；积分型边值；存在性；唯一性中图分类号中图分类号：O175.8 文献标志码:文献标志码:A 文章编号：文章编号：1007-1261(2023)01-0008-06Existenc e of solutions for multi-point integral boundary problems of nonlinear frac tional-d ifferential equations with parametersZHENG Ya n-p in g1,LI Xu a n-d a2(1.Sc h o o l o f Ma t h ema t ic s a n d St a t ist ic s,Ta iyu a n No r ma l Un iver st y,Jin zh o n g 030619,Sh a n xi,Ch in a；2.Co l l eg e o f Sc ien c es,No r t h ea st er n Un iver sit y,Sh en ya n g 110819,Lia o n in g,Ch in a)Abstrac t：PurposesTo st u d y t h e exist en c e a n d u n iq u en ess o f so l u t io n s fo r mu l t i-p o in t in t eg r a l bo u n d a r y p r o bl ems o f Riema n n-Lio u vil l e fr a c t io n a l d iffer en t ia l eq u a t io n s wit h p a r a met er s.Method s Th e fixed p o in t p r in c ip l e in Ba n a n c h sp a c e is u sed fo r t h e p r o o fs h er ein.Results and Conc lusions(1)Fo r a Ba n a n c h sp a c e E=C(0,T，R),if t h er e exist s a n o n n eg a t ive fu n c t io n g(),V t 暿0,T，|/(,)|曑 gO,fr a c t io n a l d iffer en t ia l eq u a t io n s h a s a t l ea st a so l u t io n in E.(2)If l im 几(，)=0,曻0 ufr a c t io n a l d iffer en t ia l eq u a t io n s h a s a t l ea st a so l u t io n in E.(3)If/(施，)sa t isfies so me c o n d it io n s,t h e so l u t io n o f d iffer en t ia l eq u a t io n s is u n iq u e.Key word s:Riema n n-Lio u vil l e fr a c t io n a l d er iva t ive；in t eg r o-bo u n d a r y va l u e；exist en c e；u n iq u en essMSC 2020：34 B15；34 B18与整数阶微分方程相比，分数阶微分方程在 刻画具有遗传性、记忆性的过程方面更具有优势。因此，分数阶微分方程被广泛应用于控制系统、流 变学、粘弹性、力学等诸多领域14,受到众多学 者的关注，成为近年来人们研究的热点问题之一。但分数阶微分算子的非局部性，又给人们的研究 带来了一些困难，故讨论分数阶微分方程解的存 在性及唯一性是有必要的。边值问题是微分方程 的重要类型之一，积分边值条件被广泛用来描述 血液循环、化学工程、地下水等领域中的现象。关 于分数阶微分方程积分边值问题解的存在性的研 究可参见文献5 15。张福珍等讨论了非线性分数阶微分方程多 点积分型边值问题（1）解的存在性。收稿日期：20220311,修回日期：2022-04-28.基金项目：山西省应用基础研究计划项目（20210302124529）作者简介：郑艳萍（1978-）,女，山西文水人，副教授，硕士，研究方向：算子理论与微分方程.Ema il：zh en g ya n p in g 2006 126.c o m第1 期郑艳萍等 含参数分数阶微分方程多点积分型边值问题解的存在性9D0+u()=*(,(),0 0,2,梹 梹 10+()丨(=0=0,()m、D02“(丁)=暺 o J02“()，1=1其中，0&0D0+,0+分别是 Riema n n-Lio u vil l e型分数阶导数和积分,且f：0,T XR曻R的连续函数。李晓晨等囚讨论了 无穷区间上含参数分数阶微分方程边值问题正解 的存在性。郑艳萍等0讨论了如下的非线性积分 型边值问题(2)正解的存在性暎D0+()=/(,(),0 i 1,3 4,梹 梹 u(0)=0,D0-2 u()|i=0棲=(2)D0-3()=0+=0,(1)=A.it(s)d s,0 入 3,掝 J 0其中，D0+是Riema n n-Lio u vil l e型分数阶导数暎 本文将讨论问题(3)的含参数非线性分数阶 微分方程多点积分边值问题解的存在性及唯一性。D0+(t)=/(,(),0 0,2 a e 3,掜 10+%()丨 t=0=0,0%()丨 t=0=0,()、D0+3“(T)=暺偽10+3 毗(),i=1其中，0$0。1 预备知识预备知识下面介绍文中用到的一些定义及引理暎定义定义1函数”：(0,+曓)曻R的a 0阶 的 Riema n n-Lio u vil e 型分数阶积分为：10+()=1 (s)0-fOd s,丄(J0其中，,()为Ga mma函数暎定义定义2 函数：(：(0,+曓)曻R的a 0阶 的 Riema n n-Lio u vil e 型分数阶导数为：1(一a)D0+m(t)=d t j J0(s)07+1其中，,()为 Ga mma 函数，”=a +1。引理 引理 3a 若 a 0,，e C(0,1)暽 L】(0,1),则分数阶微分方程D0+u()=0有唯一解“()=C1 芦1+C2 芦2+cNt，其中，,e R,=1,2,，N,N=a +1 暎引理引理4a 假设“e C(0,1)暽L】(0,1),有 a 0阶且属于C(0,1)暽1?(0,1)的分数阶导 数,则有10+D0+()=”()+a 芦1+c211-2+cnJn,其中，”e R,=1,2,，N,N=a +1。引理 引理 5a(1)若匕 e N,a 0,若 D0+y()和 D0+，()都存在，那么 DD0+y()=(D0+y)()；(2)如果 a0,0,+卩1,V t e a,y e L椲 a,1曑少曑+曓,有 10+10+y()=(0+y)(D；(3)如果 a 0,0,V y e Ca,有 D0+10+y()=(0+y)()；(4)若入 1,曎 a 1,2,，d N，则有 D*=+1，且有 D。严=0,=丄(入一a十1)1,2,，N。引理引理6 若y()e C0,T,则分数阶边值问题 梹30+()=y(),0,a 3,T0%()I,=0=0,10%()11=0=0,(4)mD0-3u(T)=暺 a J0+3,e R,i=1有如下形式的解：”()=t01 十 J (s)0-y()d s,(5)b 丄(d)J0其中,、仇、A=暺 r(23)J0 棬一s)24y(s)ds-(T s)2y(s)d s,2J0K)t2r(2a一 3)暺奸4曎0。i=1B=证明 证明 由引理3 引理5可知，分数阶微分方程边值问题(4)的解可表示为:视()=111 十(：22 十 G 芦3 十E 1、(s)Lg o d s。(6)丄(一 1)0由I0+饥()丨4=0=0,可得C3=0；由初值条件【2一()t=0=0,可得 C2=0。故 况()=C1 厂1 十 10+了()暎从 而 D03 饥()=d D0+3 芦1 十 10+()=Cl 号2 十 10+，()及 I0+3“(t)=Cl j y再一 3)24 十 l 2+y()o再由初值条件H3(T)=暺10+3“()，()，可得i=1Cl T2 十 2曇(T s)23j()d=10宝鸡文理学院学报(自然科学版)2023 年暺 tC)24 十 K匕J(宀曲)若B=詈丁2 2暺询2曎0,A整理得C令。由(6)式知，引理6结论成立暎引理引理7椲椂椵 设X是一个Ba n a c h空间，映射 T：X-X是一个全连续映射，集合V 暿X,=p T,0/i1是一个有界集，则 映射丁在X中存在一个不动点暎引理引理8椲椂椵 设X是一个Ba n a c h空间，毟，毟UX 是一个非空有界开集，映射T:毟曻X是一个全连 续映射，如果炐”暿3毟，毟，I TmI曑I uI，则，则映射 T在毟中存在一个不动点暎2 主要结论主要结论本节讨论非线性分数阶微分方程边值问题(3)解的存在性及唯一性暎定义一个 Ba n a c h 空间 E=C(0,T,R),Vh暿C0,T,其范数定义为I xI su p|工()|t暿0,T,由引理6且结合(5)式，定义C=暺 r(2a 3)0S s)21，1)1(T s)2ys ()d s,2J0及映射P:Ef E討(Pu)()需)0(十s)-1_f(s,g(s)ds。(7)显然，边值问题(3)有解当且仅当映射P在 集合E中有不动点暎定理定理1 若存在非负函数g(),使得Vt暿 0,T,|/(,)|曑g(),则边值问题(3)在集合 E中至少有一个解暎证明 证明 由于a曒2,(,)是集合0,TX C0,T的连续函数，故映射P是连续算子。下面 分3 步证明。(1)若毟U E为有界集，则，则P(毟)一致有界暎 因为|(P)()丨曑|B|(2a 3)暺 J 1 Ta1 CTs)2-4g(s)d s 十 2|左 J(s)2g(s)d s 十1 fs e(T Qi g(s)d s。由于函数g()为区间0,T上的连续函数,故存在M曒0,使得g(s)曑M,从而I(P)()丨曑|B 麗a 3)暺 J 1 严斾十2iJ：(TS)2斾十哉e：(s)ld 曲(5暺诟十MT2 十 MT6|B|十 r(a 十1)故P(毟)一致有界暎(2)P为毟上的全连续映射，炐1茲暿0,T,且1 2,暿毟，|(pq(2)(pg(i)|鲁旷 十卩1)(12 s)0-1 y(s,(s)d 昔览1 I 2 旷1|十 J、(2 Ql1/(s,g(s)d s十丄(1)J 02(12 s)i/(,(s)d J勺1(11 s)01/(,(s)d s 曑w22e暺虻十看2 1丨十rU(玄QL1(1 s)L1d s十Mr s eMBT(2a 2)旷1 I 十尸严、(12 s)L1 (1 s)0-1d s 十 丄(a)J0乔厂答(2 1)e。丄1十1)当 t i f t2 时，|(Pu)(12)(Pu)(11)I 曻 0。由Asc o ii-Ar zel a定理可知，P为毟上的全连 续映射。(3)集合 V=楙暿 X,=Tu,0 “1 是一个有界集。炐暿0,T,5(棭=I“(PQ(S)I 曑|(PQ(s)|曑MT1 p i十MT卄2十 M 尸Br(2a 2)暺 十 6|E|十卩1 十1)，从而第1 期郑艳萍等 含参数分数阶微分方程多点积分型边值问题解的存在性11r 丁1I wI|B|(2a 2)暺能i+严丄 _JT_n6|B|十 F(a+1)M。集合V是一个有界集。综上所述，由引理7可知，结论成立。推论 推论 若存在一个正数Li,使得Vt 0,则边值问题(3)在E中至少 有一个解。注注：给定如下的非线性分数阶微分方程多点 边值问题(8)D0+就()=(,(),0 t 0,a 2,10+%()丨,=0=0,D02“(T)=(8)m暺 Ojl Q2“(；)，,暿 R。i=1若右端函数f(a,g)满足：存在0,T的非负 连续函数g(),使得V t暿0,T，(，“)丨曑 g(),则可用类似上述定理1的证明方法，得到边 值问题(8)在E中至少存在一个解，该结果推广 了文献7中的定理3.3。定理定理2 如果l imZa=0,则边值问题 u曻0 U(3)在E中至少有一个解。证明 证明 由 l im=0,V0 e 曻0 uL|B|F(2a 2)暺必+6|B|+(a+1)，存在0t1,当0 I u I r时，使得|y(t,)|e I I。定义毟=楙暿 E|I u I r,则毟为E中的非空有界开集。定义映射P:毟曻E,见(7)式，分如下的3步 证明。(1)P(毟)一致有界。事实上，V 暿毟，|(M)()=Br(2a3)暺曇(s)24If(a,g(s)d(T s)2 于(,(s)d s+2曇0J(s)1-V(，O)d s 曑丄0-、他、|B|g 3)暺曇(严丨 fOgO)I d+2曇0(丁 s)2 I)d01+J、(QL1|f(s,()d s 曑丄(Q!)J 0|b|(23)暺曇:(Q2+缶曇：(TS)2呵Tf m+(QL1斾=|B|(a 2)暺处严+丁3-I p a6 I B|tlWI 川+r(a+1)I 以=，空1 于.严亠N2+L|B|l X2a 2)暺处十 6B|十o+1)eI 1o故P(毟)u毟，从而P(毟)一致有界。(2)用类似定理1的证明方法可知映射P为 毟上的全连续映射。(3)V”暿灥毟，I“I=厂,用类似(1)的证明 方法可知,I Pu I I“I。综上所述，由引理8可知，映射P在毟中至少 存在一个不动点。从而，边值问题(3)在E中至少 有一个解。定理定理3 假设如下条件(H1),(H2)成立:(HJ如果存在正数L,使得|/(,)y(,)|曑 l|尤一夕|,V t 暿0,T，,暿 C0,T成立；(比)正数L满足2L曑1mT,W暺酬严棲严+1)+|B|丘2a 2)+6話|则边值问题(3)在E中有唯一解。证明 证明 设ts u p 1/(,0)，令，令m T0-1暺就2宀1=1?曒 2M_T I_1=1_ILr(+1)+|B|r(2a 2)+下面分2 步证明。首先，证明P(r)U Br,其中=暿E|I u I曑t。由(7)式可知，V“暿Br,P“是连续算子，且N P N=suJb t(2 3)暺曇(72小-)d?!(T s)2/X s,(s)d s+2曇J 0J、(s)1-1 yx(,()d s 1 OJ0|B|l X2a 3)暺曇(s)24|/(,()+12宝鸡文理学院学报(自然科学版)2023 年2 丄曇(T s)2 I/(，()ds01 十 职(T|/(,()d 丄(d)J0I B|a 3)暺 曇0(一 Q24棬/(s)一/Xs，)十丨/(s，)丨)d s十 击丄曇(s)2(丨/(,()f(s,0)I 十丨/(s,0)I)d s十s)fs 十L|攵一y|(T s)2 d s=T r s+1)6 B|B|r(2a 3)(一 s)24d s十十|E|F(2a-2)暺处旷3十工一$H故P为E旷中的压缩映射,由Ba n a c h不动点点曇(T s)i(|/(,()-于(,0)丨十定理可知，边值问题(3)在E中存在唯一解暎3 数值算例数值算例(s QDc h W由|豐|3)暺曇棬 S)4 d十|B|栄(2a 3)暺曇0 棬 一 S)4 d十 L|It|T-1T/T、2 1 I I/F、2 1|2|B|J0(一 Q2斾十丽曇0(S)2d 十 l|“|f 十 m rT 仃仟1,/m L(T一 Q斾十贰曇(一 Q d eMT】-m1=11 CTLrT-1I B|T(2a 2)m暺奸3+i=1諾刖十L今f2十MT2十2十 LrTa 十 MT6 I B|十 6|B|十 F(十1)十(a十1)下面将通过一些算例验证定理1一定理3条 件的正确性暎例例1 考虑如下的含参数分数阶两点边值问题解的存在性：0+u()=/(,，(),0 0,掜 10+(s)t=0=0,0+)t=0=0,(9)、D0丄就(T)=暺 810111(),i=1其中，,(,，)=-sin21,T=1,i=丄,8+|况|2丁2卄2|B|r(a 2)暺 a旷十 6|十Tc11 Lr 十 y a 严 3 十r(+1)“十|b|r(2a2)十 叫厂卄2十 MT6|B|十(十1)。再由L，”的假设，可知|Pu|曑,故P(Br)UBr。其次，证明P为Br中的压缩映射暎由(斎1)可知，v e 0,t,e Er,|Ph-Py Htb t(3)暺曇棬m，()f(a,g(s)d (T s)2(s,(s)2J0则B=3毿曎0,满足定理1的条件，可知边16值问题(9)至少存在一个解暎例例2 考虑如下的含参数分数阶两点边值问 题解的存在性：5梹)0+()=/(,，(),0,掜 0+u(s)丨 t=0=0?，0+w()t=0=0,(10)、D0+现(T)=暺 g J0+%()，i=14 1 1其中，,(，,)=8wJsin,T=2,i=丄,2=丄，&=3,2=丄棬)时丨曑昂p Jr U棬一s)Il/(s,(s)f(s,()I d s+国眾3)暺曇()25(5)-s,(s)ds 十丄(T s)2 I y(s,()2J0f(,()d s楜e L|X y|丄曇。(T 贝Ijl im/(，)=0,E=5毿曎0,满足定理 曻0 况 42的条件，可知边值问题(10)至少存在一个解暎 例例3 考虑如下的含参数分数阶两点边值问题解的存在性：Df+况()=/(,(),0,掜 10+ut=0=0,，0十“()丨 t=0=0,(11)、Dj 况(T)=暺 丄就()，第1 期郑艳萍等 含参数分数阶微分方程多点积分型边值问题解的存在性13其中，,(，,)2*3 I M I，=1 Wi=2,2 1,1=4,2=2。则 E=3 庆曎 0,且|/(,)/(,)|曑 161 I工一y I，即可取L 1，且m梹 尸1暺就严 2=45厂|卩(十1)十|B|iSa 2)十 6|B|掫 94 毿。因此L满足定理3的条件，可知边值问题(11)存在唯一解。4小结小结本文主要利用Ba n a c h空间中的不动点定理 讨论了非线性含参数分数阶微分方程多点积分型 边值问题解的存在性和唯一性，并利用例子予以 说明文中所给定理条件的可行性暎由于对分数阶 微分方程的研究还不够成熟，因此，本文所给的定 理只是覆盖了具有一定限制条件的分数阶微分方 程解的存在性，对于该问题还需要进一步研究暎 参考文献参考文献椇1 KILBAS A A A,SRIVASTAVA H M,TRUJILLO J J：Th eo r y a n d Ap p l ic a t io n s o f Fr a c t io n a l Df-fer en t ia l Eq u a t io n sM：Amst er d a m：El sevier Sc i-en c eB V,2006：LAKSHMIKANTHAM V,LEELA S,VASUNDHA-RA DJ：Th eo r yo fFr a c t io n a l Dyn a mic Syst emsM：Ca mbr id g e：Ca mbr id g eAc a d emic Pu bl ish er s,2009：PODLUBNY I：Fr a c t io n a l Differ en t ia l Eq u a t io n s M：New Yo r k：Ac a d emic Pr ess,1999：LIANG S,LUO R,LUO W B：Fr a c t io n a l d ffer en-t ia l c o n st it u t ive mo d el fo r l in ea r visc o el a st ic it y o f a sp h a l t a n d a sp h a l t ma st 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