2023年数学竞赛中的数论问题.doc

2-4 数学竞赛中数论问题（09-10-28）
数论是研究自然数一种数学分支.
一、数学竞赛中数论问题基本内容
重要有8个定义、15条定理.
定义1 （带余除法）给定整数假如有整数满足
，
则和分别称为除以商和余数．尤其，时，则称被整除，记作，或者说是倍数，而是约数．
定义2 （最小公倍数）非零整数最小公倍数是能被其中每一种所整除最小正整数，记作．
定义3 （最大公约数）设整数中至少有一种不等于零，这个数最大公约数是能整除其中每一种整数最大正整数，记作．
定理1 对任意正整数，有
．
定义4 假如整数 满足，则称与是互素（此前也称为互质）．
定义5 不不不小于1且除1及其自身外没有别正整数因子正整数，称为素数（此前也称为质数）．别旳不不不小于1正整数称为合数；数1既不是素数也不是合数．
定理2 素数有无穷多种，2是唯一偶素数．
定义6 对于整数，且，若，则称有关模同余，记作若则称有关模不一样余，记作．
定理3 （整除性质）设整数为非零整数，
（1） 若，，则；
（2） 若，则；
（3） 若，，则对任意整数，有；
（4） 若，且，则；
（5） 若，且，则
（6） 若为素数，且，则或．
定理4 （同余性质）设为整数，
（1） 若且，则；
（2） 若且，则且．
（3） 若，则对任意正整数有，且；
（4） 若，且对非零整数有，则．
定理5 设为整数，为正整数，
（1） 若，则；
（2） 若，则；
（3） 若，则．
定义7 设为正整数，为不不不小于2正整数，是不不小于非负整数，且．若
，
则称数为进制体现．
定理6 给定整数，对任意正整数，均有唯一进制体现．
定理7 任意一种正整数与它十进制体现中所有数字之和有关模9同余．
定理8 （分解唯一性）每个不不不小于1正整数都可分解为素数乘积，并且不计因数次序时，这种体现是唯一
.
定理9 若正整数素数分解式为 则约数个数为，
一切约数之和等于
．
定义8 对任意实数，是不超过最大整数．亦称为整数某些，．
定理10 在正整数素因子分解式中，素数作为因子出现次数是

定理11 假如素数不能整除整数，则．
定理12 设为素数，对任意整数，有．
定理13 设正整数，则不不不不小于且与互素正整数个数为
．
定理14 整系数二元一次方程存在整数解充足必要条件是．
定理15 若是整系数二元一次方程一种整数解，则方程一切整数解可以体现为

二. 数学竞赛中数论问题重点类型
重要出现8类问题.：
1.奇数与偶数（奇偶分析法、01法）；
2.约数与倍数、素数与合数；
3.平方数；
4.整除；
5.同余；
6.不定方程；
7.数论函数、高斯函数、欧拉函数；
8.进位制（十进制、二进制）.
三. 例题选讲
例1 有100盏电灯，排成一横行，从左到右，咱们给电灯编上号码1，2，…，99，100.每盏灯由一种拉线开关控制着.最初，电灯全是关着.此外有100个学生，第一种学生走过来，把但凡号码为1倍数电灯开关拉了一下；接着第2个学生走过来，把但凡号码为2倍数电灯开关拉了一下；第3个学生走过来，把但凡号码为3倍数电灯开关拉了一下，如此等等，最终那个学生走过来，把编号能被100整除电灯开关拉了一下，这样过去之后，问哪些灯是亮？
讲解 （1）直接计算100次记录，会眼花缭乱.
（2）拉电灯开关有什么规律：电灯编号包括正约数（学生）才能拉、不是正约数（学生）不能拉，有几种正约数就被拉几次.
（3）灯被拉次数与亮不亮（开、关）有什么关系：
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
关
开
关
开
关
开
关
开
关
开
灯被拉奇多次亮！
（4）哪些数有奇数个约数：平方数.
（5）1～100中有哪些平方数：共10个：
1，4，9，16，25，36，49，64，81，100.
答案：编号为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100共10个还亮.
例2 用体现不不不不小于最大整数，求
.

讲解 题目内层有个高斯记号，外层1个高斯记号.关键是弄清含义，进而弄清加法谁与谁加、除法谁与谁除：
（1）分子是那些数相加，求出和来；
由，知分子是0～5整数相加，弄清加数各有几种

1～365
0
365个
366～731
1
366个
732～1097
2
366个
1098～1463
3
366个
1464～1829
4
366个
1830～
5
175个

（2）除法谁除以366，求出商整数某些.
原式

命题背景有12个月、366天.
例3 证明对任意正整数，分数不可约.
证明1 （反证法）假若可约，则存在
， ①
使
从而存在，使

消去，，得
④
⑤
由（1）、（5）矛盾，得.
解题分析：
（1）去掉反证法假设与矛盾就是一种正面证法
（2）式④是实质性进展，表明

可见 .
由此获得2个解法.
证明2 设.存在，使

消去，②×3-①×2，得
③
得 .
证明3 由
得 .
证明4
④
⑤
.
解题分析：第④ 相称于 ①-②；：第⑤ 相称于②-2（①-②）=②×3-①×2；因此③式与⑤式效果是同样.
例4 （1906，匈牙利）假设是某种排列，证明：假如是奇数，则乘积

是偶数.
解法1 （反证法）假设为奇数，则均为奇数，奇数个奇数和还是奇数
奇数=
，
这与“奇数偶数”矛盾. 因此是偶数.
评析 这个解法阐明不为偶数是不行，体现了整体处理长处，但掩盖了“乘积”为偶数原因.
解法2 （反证法）假设为奇数，则均为奇数，与奇偶性相反，中奇数与偶数同样多，为偶数但已知条件为奇数，矛盾. 因此是偶数.
评析 这个解法揭示了为偶数原因是“为奇数”.那么为何“为奇数”时“乘积”就为偶数呢？
解法3 中有个奇数，放到个括号，必有两个奇数在同一种括号，这两个奇数差为偶数，得为偶数.
例4-1（1986，英国）设是整数，是它们一种排列，证明是偶数.
例4-2 前24位数字为，记为该24个数字任一排列，求证必为偶数.
例5 设与为正整数，满足
，
求证可被1979整除（1979）

有1979整除，从而1979整除，但1979为素数，，得可被1979整除
例6 （1956，中华人民共和国北京）证明对任何正整数都是整数，并且用3除时余2.
讲解 只需阐明为整数，但不便阐明“用3除时余2”，应阐明是3倍数.作变形

命题得证.
证明 已知即
， ①
由于相邻2个整数必有偶数，所觉得整数.又①可变为
，
由于相邻3个整数必有3倍数，故能被3整除；又，因此能被3整除；得用3除时余2.
例7．设多项式系数都是整数，并且有一种奇数及一种偶数使得及都是奇数，求证方程没有整数根．
证明 由已知有
， ①
， ②
若方程存在整数根，即.
当为奇数时，有
，
与①矛盾.
有为偶数时，有
，
与②矛盾.
因此方程没有整数根．
例8 设是异于2，5，13任一整数.求证在集合中可以找到两个不一样元素，使得不是完全平方数.
证明 由于，因此不是完全平方数只能是.若结论不成立，则存在正整数，使

同步成立，由①知是奇数，设代入①得

为奇数，代入②、③知均为偶数.设，代入②、③后相减，有
.
由于为偶数，故同奇偶，可被4整除，得为偶数.这与上证为奇数矛盾.
因此，在集合中可以找到两个不一样元素，使得不是完全平方数.
例9 ()设为正整数，整除．证明是完全平方数．（第130页例2-52）
　　证明　　令．是正整数．式中是对称，不妨设．
　　(l)若，则．本题获证．
　　(2)若，由带余除法定理，可设（是整数)，则
，
易证此式不不不小于且不不小于(可用放缩法证)．因此必有

化简得，于是
　　　　　　　，
其中．
　　此时若，则，本题获证．
　　若，可继续令（是整数），仿上可推得
，
　　此时若，则，本题获证．
　　若，可如上法做下去．因，且均为整数．故总能得到某个，使，是完全平方．综上本题获证．
　　处理这道世界级难题这种巧妙证明措施叫“无穷递降法”，是17世纪法国数学家费马(Fermat．1601一1665)首创和应用一种措施．

作业
1、求方程整数解.
2、9月9日年、月、日构成“长长期久、永不分离”吉祥数字0909，而它也恰好是一种不能再分解素数．若规定含素因子数为吉祥数，请证明最简分数分子是吉祥数．

作业1. 设，证明对于不也许有某一正整数，使能被整除.（P.185，32）
证明 由已知有
，
得 .
又由已知有
，
平方得 ，
同理 ，
这表明是二次方程

两个不等根，得
，
即 .
若存在某一正整数，使能被整除，则能被3整除，由

知能被3整除，如此类推，可得能被3整除，但
，
这一矛盾阐明，不存在某一正整数，使能被整除.
作业2.已知实函数满足
①
②
求体现式.
解 把①代入②，有
， ③
进而
（由③）

④
首先由④有
⑤
另首先由②、③有
⑥
由⑤、⑥得
，
即 .
检查知为所求.