资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．设函数对的一切实数均有，则等于
A.2016 B.-2016
C.-2017 D.2017
2．某校高一年级有180名男生，150名女生，学校想了解高一学生对文史类课程的看法，用分层抽样的方式，从高一年级学生中抽取若干人进行访谈.已知在女生中抽取了30人，则在男生中抽取了（ ）
A.18人 B.36人
C.45人 D.60人
3．下列函数中，在区间单调递增的是（）
A. B.
C. D.
4．已知，，，则的大小关系为
A. B.
C. D.
5．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（）
A.6 B.
C.12 D.
6．函数，则下列坐标表示的点一定在函数图像上的是
A. B.
C. D.
7．已知在正四面体ABCD中，E是AD的中点，P是棱AC上的一动点，BP＋PE的最小值为，则该四面体内切球的体积为（）
A.π B.π
C.4π D.π
8．设集合，若，则a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
9．的外接圆的圆心为O，半径为1，若，且，则的面积为（ ）
A. B.
C. D.1
10．若实数满足，则的最小值为（）
A.1 B.
C.2 D.4
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．已知函数在区间是单调递增函数，则实数的取值范围是______
12．关于的不等式的解集是________
13．某同学在研究函数 f（x）=（x∈R） 时，分别给出下面几个结论：
①等式f（-x）=-f（x）在x∈R时恒成立；
②函数f（x）的值域为（-1，1）；
③若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；
④方程f（x）=x在R上有三个根
其中正确结论的序号有______．（请将你认为正确的结论的序号都填上）
14．已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是________.
15．已知函数，则__________
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．已知函数的最小正周期为
（1）求图象的对称轴方程；
（2）将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，求函数在上的值域
17．已知函数
（1）求的值及的单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值，以及取最值时x的值
18．已知函数
（1）根据函数单调性的定义，证明在区间上单调递减，在区间上单调递增；
（2）令，若对，，都有成立，求实数取值范围
19．（1）从区间内任意选取一个实数，求事件“”发生的概率；
（2）从区间内任意选取一个整数，求事件“”发生的概率.
20．函数（其中）的图像如图所示.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求函数在上的最大值和最小值.
21．已知二次函数的图象关于直线对称，且关于的方程有两个相等的实数根.
（1）的值域；
（2）若函数且在上有最小值，最大值，求的值.
参考答案
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、B
【解析】将换成再构造一个等式，然后消去，得到的解析式，最后可求得
【详解】①
②
①②得
，
故选：
【点睛】本题考查求解析式的一种特殊方法：方程组法．如已知，求，则由已知得，把和作为未知数，列出方程组可解出．如已知也可以用这种方法求解析式
2、B
【解析】先计算出抽样比，即可计算出男生中抽取了多少人.
【详解】解：女生一共有150名女生抽取了30人，
故抽样比为：，
抽取的男生人数为：.
故选：B.
3、B
【解析】根据单调性依次判断选项即可得到答案.
【详解】对选项A，区间有增有减，故A错误，
对选项B，，令，，则，
因为，在为增函数，在为增函数，
所以在为增函数，故B正确.
对选项C，，，解得，
所以，为减函数，，为增函数，
故C错误.
对选项D，在为减函数，故D错误.
故选：B
4、A
【解析】利用利用等中间值区分各个数值的大小
【详解】；
；
故
故选A
【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待
5、B
【解析】根据海伦秦九韶公式和基本不等式直接计算即可.
【详解】由题意得：，
，
当且仅当，即时取等号，
故选：B
6、D
【解析】因为函数，,所以,所以函数为偶函数，
则、均在在函数图像上．故选D
考点：函数的奇偶性
7、D
【解析】首先设正四面体的棱长为，将侧面和沿边展开成平面图形，根据题意得到的最小值为，从而得到，根据等体积转化得到内切球半径，再计算其体积即可.
【详解】设正四面体的棱长为，将侧面和沿边展开成平面图形，如图所示：
则的最小值为，
解得.
如图所示：为正四面体的高，
，正四面体高.
所以正四面体的体积.
设正四面体内切球的球心为，半径为，如图所示：
则到正四面体四个面的距离相等，都等于，
所以正四面体的体积，解得.
所以内切球的体积.
故选：D
8、D
【解析】根据，由集合A，B有公共元素求解.
【详解】集合，
因为，
所以集合A，B有公共元素，
所以
故选：D
9、B
【解析】由，利用向量加法的几何意义得出△ABC是以A为直角的直角三角形，又|，从而可求|AC|，|AB|的值，利用三角形面积公式即可得解
【详解】由于，由向量加法的几何意义，O为边BC中点，∵△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，∴三角形应该是以BC边为斜边的直角三角形，∠BAC＝，斜边BC=2，又∵∴|AC|=1，|AB|=，∴S△ABC=,故选B.
【点睛】本题主要考查了平面向量及应用，三角形面积的求法，属于基础题
10、C
【解析】先根据对数的运算得到，再用基本不等式求解即可.
【详解】由对数式有意义可得，由对数的运算法则得，所以，结合，可得，所以，当且仅当时取等号，所以.
故选：.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、
【解析】求出二次函数的对称轴，即可得的单增区间，即可求解.
【详解】函数的对称轴是，开口向上，
若函数在区间单调递增函数，
则，
故答案为：．
12、
【解析】不等式，可变形为：，所以.
即，解得或.
故答案为.
13、①②③
【解析】由奇偶性的定义判断①正确，由分类讨论结合反比例函数的单调性求解②；根据单调性，结合单调区间上的值域说明③正确；由只有一个根说明④错误
【详解】对于①，任取，都有，∴①正确；
对于②，当时，，
根据函数的奇偶性知时，，
且时，，②正确；
对于③，则当时，，
由反比例函数的单调性以及复合函数知，在上是增函数，且；
再由的奇偶性知，在上也是增函数，且
时，一定有，③正确；
对于④，因为只有一个根，
∴方程在上有一个根，④错误.
正确结论的序号是①②③.故答案为：①②③
【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、函数的奇偶性、函数的图象与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
14、
【解析】长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积
【详解】长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，
所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：，
所以球的半径为：，
则这个球的表面积是：
故答案为：
【点睛】本题考查球的内接多面体的有关知识，球的表面积的求法，注意球的直径与长方体的对角线的转化是本题的解答的关键，考查计算能力，空间想象能力
15、3
【解析】
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1）；
（2）
【解析】（1）先由诱导公式及倍角公式得，再由周期求得，由正弦函数的对称性求对称轴方程即可；
（2）先由图象平移求出，再求出，即可求出在上的值域
【小问1详解】
，
则，解得，则，令，解得，
故图象的对称轴方程为.
【小问2详解】
，，则，，则在上的值域为.
17、（1）1，，
（2）时，有最大值；时，有最小值.
【解析】（1）将化简为，解不等式，，即可得函数的单调递增区间；
（2）由，得，从而根据正弦型函数的图象与性质，即可求解函数的最值
【小问1详解】
解：因为，
，
令，，得，，
所以的单调递增区间为，；
【小问2详解】
解：因为，所以，
所以，
所以，
当，即时，有最大值，
当，即时，有最小值
18、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）由单调性定义证明；
（2）换元，设，，由（1）求得的范围，然后由二次函数性质求得最大值和最小值，由最大值减去最小值不大于可得的范围
【小问1详解】
证明：设，，且，
则，
当时，∴，，
∴，∴，即，
∴函数在上单调递减
当时，∴，，∴，∴，即，
∴函数在上单调递增
综上，函数在上单调递减，在上单调递增
【小问2详解】
解：由题意知，
令，，由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，
∴，∵函数的对称轴方程为，
∴函数在上单调递减，
当时，取得最大值，，
当时，取得最小值，，
所以，，
又∵对，，都有恒成立，
∴，即，解得,
又∵，∴k的取值范围是
19、（1）；（2）.
【解析】（1）由，得，即，故由几何概型概率公式，可得从区间内任意选取一个实数，求事件“”发生的概率；（2）由，得，整数有个，在区间的整数有个，由古典概型概率公式可知得，从区间内任意选取一个整数事件“”发生的概率.
试题解析：（1）因为，所以，即，
故由几何概型可知，所求概率为.
（2）因为，所以，
则在区间内满足的整数为1，2，3，共3个，
故由古典概型可知，所求概率为.
20、 (Ⅰ)；(Ⅱ)最大值为1，最小值为0.
【解析】(Ⅰ) 由图象可得，从而得可得 ，再根据函数图象过点，可求得，故可得函数的解析式．(Ⅱ)根据的范围得到的范围，得到的范围后可得的范围，由此可得函数的最值
试题解析：
（Ⅰ）由图像可知，，
∴，
∴.
∴
又点在函数的图象上，
∴，，
∴，，
又，
∴
∴的解析式是
（Ⅱ）∵,
∴
∴，
∴，
∴当时，函数取得最大值为1；
当时，函数取得最小值为0
点睛：根据图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)的方法
(1)根据函数图象的最高点或最低点可求得A；
(2)ω由周期T确定，即先由图象得到函数的周期，再求出T
(3)φ的求法通常有以下两种：
①代入法：把图象上的一个已知点代入解析式(此时，A，ω，B已知)求解即可，此时要注意交点在上升区间还是下降区间
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的零点作为突破口，具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝
21、（1）
（2）或
【解析】（1）由题意可得且，从而可求出的值，则得，然后求出的值域，进而可求出的值域，
（2）函数，设，则，然后分和两种情况求的最值，列方程可求出的值
【小问1详解】
根据题意，二次函数的图象关于直线对称，
则有，即，①
又由方程即有两个相等的实数根，则有，②
联立①②可得：，，则，
则有，则，
即函数的值域为；
【小问2详解】
根据题意，函数，
设，则，
当时，，则有，而，
若函数在上有最小值，最大值，
则有，解可得，即，
当时，，则有，而，
若函数在上有最小值，最大值，
则有，解可得，即，
综合可得：或
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