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返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 数列极限是数学分析最主要基础之一,它不但与函数极限亲密相关，而且为今后学习级数理论提供了必要准备知识.1 数列极限概念一、数列定义六、一些例子五、再论“-N”说法四、按定义验证极限三、收敛数列定义二、一个经典例子第1页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页为数列为数列.因为因为N+全部元素能够从小到大排列出来全部元素能够从小到大排列出来,则称则称若函数若函数 f 定义域为全体正整数集合定义域为全体正整数集合 或简记为或简记为 an.这里这里 an 所以我们也将数列所以我们也将数列写成写成称为数列称为数列 an 通项通项.一、数列定义第2页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、一个经典例子样过程能够无限制地进行下去样过程能够无限制地进行下去.我我们们把把天天天天截截下下部部分分(或或剩剩下下部部分分)长长度度列列出出：第一天截下第一天截下 第二天截下第二天截下第第n天截下天截下这么就得到一个数列这么就得到一个数列:古代哲学家庄周所著庄子古代哲学家庄周所著庄子 天下篇引用了天下篇引用了一句话一句话:“一尺之棰一尺之棰,日取其半日取其半,万世不竭万世不竭”.它它意思是意思是:一根长为一尺木棒一根长为一尺木棒,天天截下二分之一天天截下二分之一,这这第3页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页轻易看出轻易看出:数数列列伴随伴随 n 无无限增限增大而无限趋于大而无限趋于 0 0.第4页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页三、收敛数列定义下面给出严格数学定义下面给出严格数学定义.定义定义1为一个数列为一个数列,a 为一个常数为一个常数,若对于若对于任意正数任意正数 ,总存在正整数总存在正整数 N,使当使当 n N 时时,则称数列则称数列收敛于收敛于a,又称又称 a 为数列为数列 极限极限,普通地说普通地说,对于数列对于数列 ,若当若当 n 充分变大时充分变大时,an能无限地靠近某个常数能无限地靠近某个常数 a,则称则称 收敛于收敛于 a.第5页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页记作记作若若 不收敛不收敛,则称则称 为为发散发散数列数列.注注 定义定义1 这种陈说方式，俗称为这种陈说方式，俗称为“-N”说说法法.第6页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页四、按定义验证极限以说明以说明,希望大家对希望大家对“-N”说法能说法能有正确认识有正确认识.例例1 1用定义验证用定义验证:分析分析 对于任意正数对于任意正数要使要使只要只要证证 对于任意正数对于任意正数 ,所以所以为了加深对数列收敛定义了解为了加深对数列收敛定义了解,下面结合例题加下面结合例题加第7页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例2 用定义验证用定义验证分析分析 对于任意正数对于任意正数 ,要使要使 只要只要这就证实了这就证实了证证第8页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页只要只要 即可即可.例例3 用定义验证用定义验证分析分析故要使故要使成立成立,第9页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 对于任意正数对于任意正数 ,取取即得即得注意注意 解这个不等式是在解这个不等式是在 条件下进行条件下进行.第10页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所以所以例例4用定义验证用定义验证所以证得所以证得证证 这里只验证这里只验证情形（情形（时自证）时自证）.故对于任意正数故对于任意正数 第11页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页五、再论“-N”说法从从定义定义及上面例题我们能够看出及上面例题我们能够看出:另外，又因另外，又因 是是任意正数任意正数,所以所以 1.任意性任意性:定义中定义中 用来用来刻画数列刻画数列 an 通通项与定数项与定数 a 靠近程度靠近程度.显然正数显然正数 愈小愈小,表示表示 a n与与 a 靠近程度愈高；靠近程度愈高；是任意是任意,这就表示这就表示 an与与 a 能够任意靠近能够任意靠近.要注意，要注意，一一旦旦给出，在接下给出，在接下来计算来计算 N 过程中，过程中，它它暂时看作是确定不变暂时看作是确定不变.第12页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页能够用能够用(K 为某一正常数为某一正常数)来代来代替替.定义定义 1,那么对那么对 1 自然也能够验证成立自然也能够验证成立.均可看作任意正数均可看作任意正数,故定义故定义 1 中不等式中不等式2.N 相对性:从定义1 中又可看出,伴随 取值不一样不一样,N 当然也会不一样当然也会不一样.但这并不意味着但这并不意味着 N 是由是由 再有再有,我们还能够限定我们还能够限定 小于某一个正数小于某一个正数(比如比如 1 ).实际上实际上,对对 0 N1=2N 时时,对于一样对于一样 ,更应有更应有 惟一确定惟一确定.比如比如,当当 n N 时时,有有求求 N “最正确性最正确性”.也就是说也就是说,在这里只是强调在这里只是强调 N 存在性存在性,而不追而不追第14页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页3.极限几何意义极限几何意义示当示当 n N 时时,从几何上看从几何上看,实际上就实际上就是是时有时有全部下标大于全部下标大于 N an 全都落在全都落在邻邻域域 之内，之内，而在而在 之外之外,an 至多只有有限项至多只有有限项(N 项项).反过来反过来,假如对于任意正数假如对于任意正数 ,落在落在 之外至之外至多只有有限项多只有有限项,设这些项最大下标为设这些项最大下标为 N,这就表这就表第15页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 an 有限多项有限多项,则称数列则称数列 an 收敛于收敛于a.这么这么,an 不以不以 a 为极限定义也可陈说为为极限定义也可陈说为:存在存在之外含有之外含有 an 中无限多中无限多不以任何实数不以任何实数 a 为极限为极限.以上是定义以上是定义 1 等价说法等价说法,写成定义就是写成定义就是:定义定义1 任给任给,若在若在 之外至多只有之外至多只有项项.注注 an 无极限（即发散）等价定义为无极限（即发散）等价定义为:an 第16页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页以下定理显然成立以下定理显然成立,请读者自证请读者自证.4.无穷小数列和无穷大数列无穷小数列和无穷大数列第17页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页第18页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页六、一些例子为了更加好地了为了更加好地了解解定义定义,再举一些例题再举一些例题.例例5 证实证实发散发散.又因又因 a 是任意是任意,所以所以 发散发散.a 为极限为极限.证证 对于任意实数对于任意实数 a,取取之外有没有限之外有没有限多多所所以以由由定定义义1,不以不以个偶数项（奇数项）个偶数项（奇数项）.第19页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例6 证实证实解解当当时，时，从而从而第20页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 我们用两种方法来证实我们用两种方法来证实.例例7 证实证实 1)任给正数任给正数有项都能使不等式有项都能使不等式 成马上可成马上可.注注 这里我们将这里我们将 N 取为正数取为正数,而非正整数而非正整数.实际上实际上N 只是表示某个时刻只是表示某个时刻,确保从这一时刻以后所确保从这一时刻以后所第21页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页没有定义没有定义.2)任给正数任给正数,限制限制 由由可知只需取可知只需取注注 这里假定这里假定 0 1 是必要是必要,不然不然 arcsin 便便第22页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页复习思索题1.极限定义中极限定义中“”是否能够写成是否能够写成“”?为何为何?2.反之是否成立反之是否成立?3.已知已知是一个一一影射是一个一一影射.请依据极限定义证实请依据极限定义证实:第23页
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