中国石油大学大学《离散数学》期末复习题和答案.doc

离散数学期末复习题一、 填空题（每空2分.共20分）1、集合A上的偏序关系的三个性质是 、 和 。2、一个集合的幂集是指 。3、集合A=b,c.B=a,b,c,d,e.则AB= 。4、集合A=1,2,3,4.B=1,3,5,7,9.则AB= 。5、若A是2元集合, 则 2A 有 个元素。6、集合 A=1,2,3.A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值.则2*3= 。7、设A=a, b,c,d , 则A= 。8、对实数的普通加法和乘法. 是加法的幂等元. 是乘法的幂等元。9、设a,b,c是阿贝尔群的元素.则-(a+b+c)= 。10、一个图的哈密尔顿路是 。11、不能再分解的命题称为 .至少包含一个联结词的命题称为 。12、命题是 。13、如果p表示王强是一名大学生.则p表示 。14、与一个个体相关联的谓词叫做 。15、量词分两种： 和 。16、设A、B为集合.如果集合A的元素都是集合B的元素.则称A是B的 。17、集合上的三种特殊元是 、 及 。18、设A=a, b.则(A) 的四个元素分别是： . . . 。19、代数系统是指由 及其上的 或 组成的系统。20、设是代数系统.其中是*1,*2二元运算符.如果*1,*2都满足 、 .并且*1和*2满足 .则称是格。21、集合A=a,b,c,d.B=b .则A B= 。22、设A=1, 2, 则A= 。23、在有向图中.结点v的出度deg+(v)表示 .入度deg-(v)表示以 。24、一个图的欧拉回路是 。25、不含回路的连通图是 。26、不与任何结点相邻接的结点称为 。27、推理理论中的四个推理规则是 、 、 、 。二、判断题（每题2分.共20分）1、空集是唯一的。2、对任意的集合A.A包含A。3、恒等关系不是对称的.也不是反对称的。4、集合1,2,3,3和1,2,2,3是同一集合。5、图G中.与顶点v关联的边数称为点v的度数.记作deg(v)。6、在实数集上.普通加法和普通乘法不是可结合运算。7、对于任何一命题公式.都存在与其等价的析取范式和合取范式。8、设（A,*）是代数系统.aA.如果a*aa.则称a为（A.*）的等幂元。9、设f：AB. g：BC。若f.g都是双射.则gf不是双射。10、无向图的邻接矩阵是对称阵。11、一个集合不可以是另一个集合的元素。12、映射也可以称为函数.是一种特殊的二元关系。13、群中每个元素的逆元都不是惟一的。14、是格。15、树一定是连通图。16、单位元不是可逆的。17、一个命题可赋予一个值.称为真值。18、复合命题是由连结词、标点符号和原子命题复合构成的命题。19、任何两个重言式的合取或析取不是一个重言式。20、设f：AB. g：BC。若f.g都是满射.则gf不是满射。21、集合1,2,3,3和1,2,3是同一集合。22、零元是不可逆的。23、一般的.把与n个个体相关联的谓词叫做一元谓词。24、“我正在说谎。”不是命题。25、用A表示“是个大学生”.c表示“张三”.则A(c)：张三是个大学生。26、设F,.则 F-1 ,。27、欧拉图是有欧拉回路的图。28、设f：AB. g：BC。若f.g都是单射.则gf也是单射。三、计算题（每题10分.共40分）1、设A=c,d, B=0,1,2.则计算AB.BA。2、A = a,b,c.B = 1,2.计算AB。3、A = a,b,c.计算AA。4、符号化命题“如果2大于3.则2大于4。”。5、符号化命题“并不是所有的兔子都比所有的乌龟跑得快”。6、符号化命题“2是素数且是偶数”。7、设A=a,b,c,d.R是A的二元关系.定义为：R=, , .写出A上二元关系R的关系矩阵。8、设A=1,2,3,4.R是A的二元关系.定义为：R=, , .写出A上二元关系R的关系矩阵。9、设有向图G如下所示.求各个结点的出度、入度和度数。10、设有向图G如下所示.求各个结点的出度、入度和度数。11、设无向图G如下所示.求它的邻接矩阵。12、求命题公式 (pq)的真值表。13、设=.求x.y。14、R1、R2是从1, 2, 3, 4, 5到2, 4, 6的关系.若R1, , .R2=, .计算domR1.ranR1.fldR1.domR2.ranR2.fldR2。15、例：设A=1, 2, 3, 4, 5.B=3, 4, 5, C=1, 2, 3.A到B的关系R=|x+y=6.B到C的关系S=|yz=2.求RS。16、集合A=a, b, c.B=1, 2, 3, 4, 5.R是A上的关系.S是A到B的关系。R=, , , , .S=, , , , .求RS.S1R117、A1, 2, 3, 4, 5, 6.D是整除关系.画出哈斯图并求出最小元、最大元、极小元和极大元。18、设集合A=a,b,c.A上的关系R=, , .求R的自反、对称、传递闭包。19、求下图中顶点v0与v5之间的最短路径。20、分别用三种不同的遍历方式写出对下图中二叉树点的访问次序。四、证明题（每题10分.共20分）1、若R和S都是非空集A上的等价关系.证明RS是A上的等价关系。2、证明苏格拉底论证：凡人要死。苏格拉底是人.苏格拉底要死。3、PQ.QR.R.SPS4、在群中.除单位元 e 外.不可能有别的幂等元。5、设R和S是二元关系.证明：(RS)-1=R-1S-16、证明：(QS)R)(S(PR) = (S(PQ)R.7、设I是整数集合.k是正整数.I上的关系R|x, y I.且xy可被k整除.证明R是等价关系。8、证明(pq)r) (qp)r)9、证明(PQ) (PR) (QS)SR10、证明P Q.QR.RS P11、证 (x)(P(x)Q(x) (x)P(x) ($x)Q(x)12、证明定理：设是群.对于任意a, bG.则方程ax=b与ya=b .在群内有唯一解。 离散数学复习题参考答案一、填空题（每空1分.共20分）1、集合A上的偏序关系的三个性质是自反性、反对称性和传递性。2、一个集合的幂集是指该集合所有子集的集合。3、集合A=b,c.B=a,b,c,d,e.则AB=a,b,c,d,e。4、集合A=1,2,3,4.B=1,3,5,7,9.则AB=1,3。5、若A是2元集合, 则 2A 有 4 个元素。6、集合 A=1,2,3.A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值.则2*3= 3 。7、设A=a, b,c,d, 则A= 4 。8、对实数的普通加法和乘法. 0 是加法的幂等元. 1 是乘法的幂等元。9、设a,b,c是阿贝尔群的元素.则-(a+b+c)=(-a)+( -b)+( -c)。10、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中所有结点一次且恰好一次的路。11、不能再分解的命题称为原子命题.至少包含一个联结词的命题称为复合命题。12、命题是能够表达判断（分辩其真假）的陈述语句。13、如果p表示王强是一名大学生.则p表示王强不是一名大学生。14、与一个个体相关联的谓词叫做一元谓词。15、量词分两种：全称量词和存在量词。16、设A、B为集合.如果集合A的元素都是集合B的元素.则称A是B的子集。17、集合上的三种特殊元是单位元、零元及可逆元。18、设A=a, b.则 (A) 的四个元素分别是：空集.a.b.a, b。19、代数系统是指由集合及其上的一元或二元运算符组成的系统。20、设是代数系统.其中是*1,*2二元运算符.如果*1,*2都满足交换律、结合律.并且*1和*2满足吸收律.则称是格。21、集合A=a,b,c,d.B=b .则A B= a, c,d 。22、设A=1, 2, 则A= 2 。23、在有向图中.结点v的出度deg+(v)表示以v为起点的边的条数.入度deg-(v)表示以v为终点的边的条数。24、一个图的欧拉回路是一条通过图中所有边一次且恰好一次的回路。25、不含回路的连通图是树。26、不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点。27、推理理论中的四个推理规则是全称指定规则 (US规则)、全称推广规则 (UG规则)、存在指定规则 (ES规则) 、存在推广规则 (EG规则)。二、判断题（每题2分.共20分）1、。2、。3、。4、。5、。6、。7、。8、。9、。10、。11、。12、。13、。14、。15、。16、。17、。18、。19、。20、。21、。22、。23、。24、。25、。26、。27、。28、。1、空集是唯一的。2、对任意的集合A.A包含A。3、恒等关系不是对称的.也不是反对称的。4、集合1,2,3,3和1,2,2,3是同一集合。5、图G中.与顶点v关联的边数称为点v的度数.记作deg(v)。6、在实数集上.普通加法和普通乘法不是可结合运算。7、对于任何一命题公式.都存在与其等价的析取范式和合取范式。8、设（A,*）是代数系统.aA.如果a*aa.则称a为（A.*）的等幂元。9、设f：AB. g：BC。若f.g都是双射.则gf不是双射。10、无向图的邻接矩阵是对称阵。11、一个集合不可以是另一个集合的元素。12、映射也可以称为函数.是一种特殊的二元关系。13、群中每个元素的逆元都不是惟一的。14、是格。15、树一定是连通图。16、单位元不是可逆的。17、一个命题可赋予一个值.称为真值。18、复合命题是由连结词、标点符号和原子命题复合构成的命题。19、任何两个重言式的合取或析取不是一个重言式。20、设f：AB. g：BC。若f.g都是满射.则gf不是满射。21、集合1,2,3,3和1,2,3是同一集合。22、零元是不可逆的。23、一般的.把与n个个体相关联的谓词叫做一元谓词。24、“我正在说谎。”不是命题。25、用A表示“是个大学生”.c表示“张三”.则A(c)：张三是个大学生。26、设F,.则 F-1 ,。27、欧拉图是有欧拉回路的图。28、设f：AB. g：BC。若f.g都是单射.则gf也是单射。三、计算题（每题10分.共40分）1、设A=c,d, B=0,1,2.则AB=,.BA= ,。2、A = a,b,c.B = 1,2.AB = a,b,c 1,2 = ,。3、A = a,b,c.AA = a,b,c a,b,c = ,。4、符号化命题“如果2大于3.则2大于4。”。设 L(x,y)：x大于y. a：2. b：3. c：4.则命题符号化为L(a,b)L(a,c)。5、符号化命题“并不是所有的兔子都比所有的乌龟跑得快”。设F(x)：x是兔子。G(x)：x是乌龟。H(x,y)：x比y跑得快。该命题符号化为：xy(F(x)G(y)H(x,y)。6、符号化命题“2是素数且是偶数”。设 F(x)：x是素数。 G(x)：x是偶数。 a： 2.则命题符号化为F(a)G(a)。7、设A=a,b,c,d.R是A的二元关系.定义为：R=, , .写出A上二元关系R的关系矩阵。解：R的关系矩阵为：8、设A=1,2,3,4.R是A的二元关系.定义为：R=, , .写出A上二元关系R的关系矩阵。解：R的关系矩阵为：9、设有向图G如下所示.求各个结点的出度、入度和度数。deg(v1)3.deg+(v1)1.deg-(v1)2；deg(v2)deg+(v4)deg-(v2)0；deg(v3)3.deg+(v3)2.deg-(v3)1；deg(v4)2.deg+(v4)1.deg-(v4)1；10、设有向图G如下所示.求各个结点的出度、入度和度数。答：deg(v1)3.deg+(v1)2.deg-(v1)1；deg(v2)3.deg+(v2)2.deg-(v2)1；deg(v3)5.deg+(v3)2.deg-(v3)3；deg(v4)deg+(v4)deg-(v4)0；deg(v5)1.deg+(v5)0.deg-(v5)1；11、设无向图G如下所示.求它的邻接矩阵。12、求命题公式(pq)的真值表。pqqpq (pq)0010101001101101100113、设=.求x.y。解：由定理列出如下方程组： 求解得x=5.y=0。14、R1、R2是从1, 2, 3, 4, 5到2, 4, 6的关系.若R1, , .R2=, .计算domR1.ranR1.fldR1.domR2.ranR2.fldR2。解：domR1=1, 3, 5.ranR1=2, 4, 6.fldR1=dom R1ran R1=1, 2, 3, 4, 5, 6；domR2=1, 2.ranR2=4, 6.fldR2=dom R2ran R2=1, 2, 4, 6。15、例：设A=1, 2, 3, 4, 5.B=3, 4, 5, C=1, 2, 3.A到B的关系R=|x+y=6.B到C的关系S=|yz=2.求RS。解：R=, , , S=, , .从而RS=, , 或者因R.S.所以 RS；因R.S.所以 RS；因R.S.所以 RS；从而RS=, , 16、集合A=a, b, c.B=1, 2, 3, 4, 5.R是A上的关系.S是A到B的关系。R=, , , , .S=, , , , .求RS.S1R1RS=, , , , , , (RS)-1=, , , , , , R1=, , , , .S1=, , , , S1R1=, , , , , , 。17、A1, 2, 3, 4, 5, 6.D是整除关系.画出哈斯图并求出最小元、最大元、极小元和极大元。解：1是A的最小元.没有最大元.1是极小元.4、5、6都是A的极大元。18、设集合A=a,b,c.A上的关系R=, , .求R的自反、对称、传递闭包。r(R)=,s(R)=,t(R)=,19、求下图中顶点v0与v5之间的最短路径。解：如下图所示v0与v5之间的最短路径为：v0, v1, v2, v4 , v3, v5最短路径值为1+2+1+3+2=9 20、分别用三种不同的遍历方式写出对下图中二叉树点的访问次序。先根遍历：ABDEHCFIJGK 中根遍历：DBHEAIFJCGK 后根遍历：DHEBIJFKGCA四、证明题（每题10分.共20分）1、若R和S都是非空集A上的等价关系.证明RS是A上的等价关系。证明：aA.因为R和S都是A上的等价关系.所以xRx且xSx。故x RS x。从而RS是自反的。a,bA.aRSb.即aRb且aSb。因为R和S都是A上的等价关系.所以bRa且bSa。故b RS a。从而RS是对称的。a,b,cA.a RS b且b RS c.即aRb.aSb.bRc且bSc。因为R和S都是A上的等价关系.所以aRc且aSc。故a RS c。从而RS是传递的。故RS是A上的等价关系。2、证明苏格拉底论证：凡人要死。苏格拉底是人.苏格拉底要死。设： H(x)：x是人。M(x)：x是要死的。s：苏格拉底。本题要证明：(x)(H(x)M(x)H(s)M(s)证明： (x)(H(x)M(x)P H(s)M(s)US H(s)P M(s)、3、PQ.QR.R.SPS证明：(1) R 前提(2) QR 前提(3) Q （1）.（2）(4) PQ 前提(5) P （3）.（4）(6) SP 前提(7) S （5）.（6）4、在群中.除单位元 e 外.不可能有别的幂等元。因为ee=e.所以e是幂等元。设aG且aa=a.则有a=ea=(a 1 a)a=a 1(aa)=a1 a=e. 即a=e。5、设R和S是二元关系.证明：(RS)-1=R-1S-1证明： . 所以 .6、证明：(QS)R)(S(PR) = (S(PQ)R.证明：左边：(QS)R)(S(PR)=(QS)R)(S(PR)=(QSR)(SPR)=(QSR)(SPR)右边：(S(PQ)R= (S(PQ)R= (S(PQ)R= (QSR)(SPR)所以 (QS) R)(S (PR) = (S(PQ)R.7、设I是整数集合.k是正整数.I上的关系R|x, y I.且xy可被k整除.证明R是等价关系。证明：(1) 对任意的x A.有xx=0可被k整除。所以 R.即R具有自反性。(2) 对任意的x.y A. R.即xy可被k整除.设xy=km.则yx=km.显然yx可被k整除。所以 R.即R具有对称性。(3)设x.y.z A.若 R. R.即xy可被k整除.yz可被k整除.设xy=km.yz=kn.则xz=k(m+n).即xz可被k整除。所以 R.即R具有传递性。综上所述. R具有自反性、对称性和传递性.故R是等价关系。8、证明：(pq)r) (qp)r)p(qr) r(qp)证明： (pq)r)(pq)r)/蕴涵等值式(pq)r/蕴涵等值式(p(q)r/德摩根律(qp)r)/交换律p(qr) r(qp)p(qr)/蕴涵等值式p(qr)/蕴涵等值式r(qp)/结合律与交换律r(qp)/蕴涵等值式r(qp)/蕴涵等值式9、证明(PQ) (PR) (QS)SR证明：(1)PQ已知前提(2)PQ由(1)(3)QS已知前提(4)PS由(2) 和(3)(5)SP由(4)(6)PR已知前提(7)SR由(5) 和(6)(8)SR由(7)10、证明P Q.QR.RS P证明用反证法.把(P)作为附加前提加入到前提的集合中去.证明由此导致矛盾。(1) (P)反证法附加前提(2)P由(1)(3)PQ已知前提(4) Q由(2)和(3)(5)QR已知前提(6) R由(4)和(5)(7)RS已知前提(8)R由 (7)(9)RR由(6)和(8).矛盾11、证 (x)(P(x)Q(x) (x)P(x) ($x)Q(x)CP规则：要证SRC .也就是证明(SR) C(1) (x)P(x)前提引入(2) ($x)P(x)由(1)(3) P(c)由(2) ES(4) (x)(P(x)Q(x)前提引入(5) P(c)Q(c)由(4) US(6) Q(c)由(3)和(5)(7) ($x)Q(x)由(6) EG12、证明定理：设是群.对于任意a, bG.则方程ax=b与ya=b .在群内有唯一解。 证明：因为a (a-1b) =(a a-1)b =1b= b 所以x=a-1 b是方程 ax=b 的解。其次证明唯一性.如果有另一解c.则必有 a c = b= a (a-1b).由消去律可知c =a-1 b 。 同理可证 ya=b 有唯一解 y= b a-1 欢迎您的光临，Word文档下载后可修改编辑.双击可删除页眉页脚.谢谢！希望您提出您宝贵的意见，你的意见是我进步的动力。赠语； 1、如果我们做与不做都会有人笑，如果做不好与做得好还会有人笑，那么我们索性就做得更好，来给人笑吧！ 2、现在你不玩命的学，以后命玩你。3、我不知道年少轻狂，我只知道胜者为王。4、不要做金钱、权利的奴隶；应学会做“金钱、权利”的主人。5、什么时候离光明最近？那就是你觉得黑暗太黑的时候。6、最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。7、压力不是有人比你努力，而是那些比你牛几倍的人依然比你努力。