掌握基本的数学教学模式市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

第1页一、掌握基本数学教学模式一、掌握基本数学教学模式回顾反思回顾反思问题情境问题情境学生活动学生活动意义建构意义建构数学理论数学理论数学利用数学利用案例：案例：指数函数指数函数案例：案例：平方差公式平方差公式第2页问题情境问题情境：包含实例、情景、问题、叙述等：包含实例、情景、问题、叙述等 意图：意图：提出问题提出问题学学生生活活动动：包包含含观观察察、操操作作、归归纳纳、猜猜测测、验验证证、推推理理、建建立立模模型型、提提出出方方法法等等个个体体活活动动，也也包包含含讨讨论论、合合作作、交交流流、互互动动等等小小组活动；组活动；意图：意图：体验数学体验数学意意义义建建构构：包包含含经经历历过过程程、感感受受意意义义、形形成成表象、自我表征等表象、自我表征等.意图：意图：感知数学感知数学第3页数数学学理理论论：包包含含概概念念定定义义、定定理理叙叙述述、模模型型描述、算法程序等描述、算法程序等 意图：意图：建立数学建立数学数数学学利利用用：包包含含区区分分、解解释释、处处理理简简单单问问题题、处理复杂问题等处理复杂问题等 意图：意图：利用数学利用数学回回顾顾反反思思：包包含含回回顾顾、总总结结、联联络络、整整合合、拓广、创新、凝缩（由过程到对象）等拓广、创新、凝缩（由过程到对象）等 意图：意图：了解数学了解数学第4页回顾反思回顾反思问题情境问题情境 学生活动学生活动 意义建构意义建构数学理论数学理论数学利用数学利用提出问题提出问题体验数学体验数学感知数学感知数学建立数学建立数学了解数学了解数学应用数学应用数学第5页案例案例1 1 函数概念函数概念提出问题1：在初中我们是怎样认识函数这个概念？在初中我们是怎样认识函数这个概念？(一)问题情境 教师提出本节课研究课题：在初中，我们把函数看成是刻画和描述两个变量之间依赖关系数学模型，今天我们将深入学习相关函数知识.第6页(二)学生活动1让学生就问题1略加讨论，作为讨论一部分，教师出示教材中三个例子，并提出问题22问题2：在在上上面面例例子子中中，是是否否确确定定了了函函数数关关系？为何？系？为何？经过对问题2讨论，帮助学生回想初中所学函数概念，再引导学生回答下列问题1函数传统定义：变量观点第7页第8页f(t)，t0，2410O24681 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24/0Ct/h2第9页(三)建构数学1.建构问题3：怎怎样样用用集集合合观观点点来来了了解解函函数数概概念念？问题4：怎怎样样用用集集合合语语言言来来阐阐述述上上面面3 3个个例例子中共同特点？子中共同特点？结论：函函数数是是建建立立在在两两个个非非空空数数集集之之间间单单值对应值对应1第10页2反思（1）结论是否正确地概括了上面例子共同特征?（2）比较上述认识和初中函数概念是否有本质上差异？（3）一次函数、二次函数、反百分比函数等是否也含有上述特征？（4）深入，你能举出一些“函数”例子吗？它们含有上述特征吗？（作为例子，能够讨论书本（作为例子，能够讨论书本P24P24练习）练习）第11页 普通地，设 A，B是两个非空数集，假如按某种对应法则 f，对于集合A中每一个元素 x，在集合B中都有惟一元素 y 和它对应，这么对应叫做从A 到 B一个函数(function)，通常记为yf(x)，x A其中，全部输入值 x 组成集合A叫做函数yf(x)定义域(domain)问题问题5 5怎样用集合观点来表述函数概念？怎样用集合观点来表述函数概念？怎样用集合观点来表述函数概念？怎样用集合观点来表述函数概念？给出函数定义指出对应法则和定义域是组成一个函给出函数定义指出对应法则和定义域是组成一个函给出函数定义指出对应法则和定义域是组成一个函给出函数定义指出对应法则和定义域是组成一个函数要素数要素数要素数要素(四)数学理论函数近代定义：集合语言、对应观点第12页(五)数学利用 1定义直接应用 例1（书本P23例1）例2（书本P23例2）2已知函数确定函数值域 例3（书本P23例3）(注意把握难度)第13页(六)总结反思1“初中”函数定义和今天定义有什么区分？2你认为对一个函数来说，最主要是什么？第14页 在函数性质教学中，首先引导学生体会函数作为描述客观世界改变规律数学模型，只要认识了函数性质，对应现实问题改变规律也就被把握住了；对于运动改变问题，最基本就是要描述改变快或慢、增或减对应，函数主要特征就包含：函数增与减（单调性），函数最大值、最小值，函数增加率、衰减率，函数增加（降低）快与慢，函数零点，函数（图象）对称性（奇偶性），函数值循环往复（周期性）等等。经过这么教学使学生明确函数性质所要研究问题，从而明确学习方向明确学习方向。第15页 在研研究究方方法法上，能够提醒学生注意利用函数图象，用几何直观、数形结合思想来指导研究，比如能够经过“三步曲”：观察图图象象，描述改变规律（上升、下降）；结合图、表，用自自然然语语言言描述改变规律（y 随 x 增大而增大或减小）；用数学符符号号语语言言描述改变规律，逐步实现用准确数学语言准确数学语言刻画函数改变规律。第16页(一一)问题情境问题情境1 1情境：第情境：第2.1.12.1.1开头第三个问题；开头第三个问题；2 2问题：说出气温在哪些时间段内是升高或下降？问题：说出气温在哪些时间段内是升高或下降？你在图象中，读到哪些信息？你在图象中，读到哪些信息？怎样用数学语言刻画上述时段内怎样用数学语言刻画上述时段内“伴随时间增大气伴随时间增大气温逐步升高温逐步升高”这一特征？这一特征？案例案例2 函数单调性函数单调性10O24681 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24/0Ct/h2第17页（1）yxOy2x1，xRy(x1)21，xR（2）yxO112(二二)学生活动学生活动问题问题1 1：观察以下函数图象（如图观察以下函数图象（如图1 1），指出），指出 图象改变趋势图象改变趋势第18页问题问题2：你能明确说出你能明确说出“图象呈逐步上升趋势图象呈逐步上升趋势”意思吗？意思吗？在某一区间内，在某一区间内，当当x x值增大时，函数值值增大时，函数值y y也增大也增大 图象在该区间内呈上升趋势图象在该区间内呈上升趋势 当当x x值增大时，函数值值增大时，函数值y y反而减小反而减小 图象在该区间内呈下降趋势图象在该区间内呈下降趋势函数这种性质称为函数单调性第19页(三三)建构数学建构数学 问题问题3：怎样用数学语言来准确地表述函数单怎样用数学语言来准确地表述函数单 调性呢？调性呢？怎样表述在区间（0，+）上当x值增大时，函数y值也增大？能不能说，因为x1时，y3；x2时，y5就说伴随x增大，函数值y也伴随增大?第20页 能不能说，因为x1，2，3，4，5，时，对应地 y3，5，7，9，就说伴随x增大，函数值 y 也伴随增大？假如有n个正数x1 x2x3 xn，它们函数值满足y1 y2y3 yn能不能就说在区间(0，+)上伴随x增大，函数值 y 也伴随增大?无限个呢？经经过过讨讨论论，结结合合图图(2)(2)给给出出 f f(x x)在在区区间间I I上上是是单单调增函数定义调增函数定义 假如对于区间假如对于区间(o，+)上上任意任意两个值两个值x1和和 x2，当，当x1 x2时，时，都有都有y1 y2，那么能够说伴随，那么能够说伴随x 增大，函数值增大，函数值y 也增大也增大第21页问题4：怎样定义单调减函数怎样定义单调减函数？给出函数单调性和单调区间概念 (四四)数学理论数学理论函数单调性是函数函数单调性是函数“局部性质局部性质”，它与区间亲密相关，它与区间亲密相关第22页(五五)数学利用数学利用1例题例题例例例例1 1 作出以下函数图象，并写出函数单调区间作出以下函数图象，并写出函数单调区间（1）yx 22；（2）提问：能不能说，函数 (x0)在整个定义域上是单调减函数？引导讨论，从图象上观察或取特殊值代入验证否定结论（如取x1=1，x2=2）第23页例2 观察以下函数图象 并指出它们是否为定义域上增函数：（1 1）y y(x x1)1)2 2 （2 2）y y=|=|x x1|1|1 12 2练习练习练习第练习第1 1、第、第2 2、第、第5 5题题(六）回顾小结六）回顾小结 本节课主要学习了函数单调性概念以及判断函数在某个区间上单调性方法 第24页问题情境问题情境学生活动学生活动建构数学建构数学 数学理论数学理论数学应用数学应用回顾小结回顾小结对案例分析对案例分析与教材编写程序是一致。与教材编写程序是一致。从课（例题）到章到学科从课（例题）到章到学科1课例展开程序（模式）第25页案例案例1 1 函数概念函数概念 问题1：在初中我们是怎样认识函数这个概念？问题2：在上述例子中，是否确定了函数关系？为何？问题3怎样用集合观点来了解函数概念？2问题串第26页问题问题4 4怎样用集合语言来阐述上面怎样用集合语言来阐述上面怎样用集合语言来阐述上面怎样用集合语言来阐述上面3 3个例子中共个例子中共个例子中共个例子中共 同特点同特点同特点同特点?(1)(1)结论是不是正确地概括了例子共同特征？结论是不是正确地概括了例子共同特征？(2)(2)比较上述认识和初中函数概有没有本质上差异？比较上述认识和初中函数概有没有本质上差异？(3)(3)一次函数、二次函数、反百分比函数等是否也含一次函数、二次函数、反百分比函数等是否也含有有 上述特征？上述特征？(4)(4)深入地，你能举出一些深入地，你能举出一些“函数函数”例子吗？例子吗？问题问题5 5怎样用集合观点来表述函数概念？怎样用集合观点来表述函数概念？怎样用集合观点来表述函数概念？怎样用集合观点来表述函数概念？问题问题6 6你认为对一个函数来说，最主要是什么？你认为对一个函数来说，最主要是什么？你认为对一个函数来说，最主要是什么？你认为对一个函数来说，最主要是什么？第27页案例案例2 函数单调性函数单调性问题问题：说出气温在哪些时间段内是升高或下说出气温在哪些时间段内是升高或下 降？怎样用数学语言刻画降？怎样用数学语言刻画“伴随时间增大气温伴随时间增大气温逐步升高逐步升高”这一特征？这一特征？问题问题1：观察以下函数图象，指出图象改变趋观察以下函数图象，指出图象改变趋势势（从图象中，你读到了哪些信息？从图象中，你读到了哪些信息？）问题问题2：你能明确说出你能明确说出“图象呈逐步上升趋势图象呈逐步上升趋势”意思吗？意思吗？第28页问问题题3：怎怎样样用用数数学学语语言言来来准准确确地地表表述述函函数数单单调调性呢？性呢？能不能说，因为x1时，y3；x2时，y5就说伴随x增大，函数值y也伴随增大？能不能说，因为x1，2，3，4，5，时，对应地 y3，5，7，9，就说伴随x增大，函数值 y 也伴随增大？假如有n个正数x1 x2x3 xn，它们函数值满足y1 y2y3 yn能不能就说在区间(0，+)上伴随x增大，函数值 y 也伴随增大?无限个呢？第29页 经过讨论，结合图（2）给出f(x)在区间I上是单调增函数定义问题问题4：怎样定义单调减函数？怎样定义单调减函数？教教学学艺艺术术全全在在于于怎怎样样恰恰当当地地提提出出问问题和巧妙地引导学生作答题和巧妙地引导学生作答 开课敲响开课敲响“第一锤第一锤”续课奏出续课奏出“最强音最强音”结课留下结课留下“满口香满口香”假如对于区间假如对于区间(o，+)上上任意任意两个值两个值x1和和 x2，当，当x1 x2时，时，都有都有y1 y2，那么能够说伴随，那么能够说伴随x 增大，函数值增大，函数值y 也增大也增大第30页 设设计计好好一一个个初初始始问问题题就就从从根根本本上上设设计计好好了了一一节节课课，因因为为学学生生处处理理初初始始问问题题活活动动是是按按照照一一定定规规律律展展开开，能能够够说说，在在初初始始问问题题确确定定以以后后，课课大大致致发发展展方方向向和和框框架架就就已已经确定了经确定了它是会按照本身逻辑展开它是会按照本身逻辑展开 教教师师在在设设计计好好初初始始问问题题(以以及及提提出出问问题题方方案案)，准准备备好好概概略略性性处处理理方方案案(不不止止一一个个)和和几几个个适适应应学学生生情情况况思思维维模模式式以以后后，再再重重点点地地搞搞清清关关键键部部分分细细节节，就就能能够够去去上上课课了了当当然然，在在上上课课时时你你可可能能会会碰碰到到不不少少意意外外情情况况,不不过过只只要要坚坚持持过过程程性性教教学学标标准准，不不回回避避问问题题和和矛矛盾盾，只只要要熟熟悉悉并并应应用用数数学学文文化化规规范范，就就一一定定会会上上好好课课而而且且会会出出乎乎意料精彩、自然和富有创造性意料精彩、自然和富有创造性 第31页 课课堂堂提提问问是是在在课课堂堂教教学学过过程程中中，依依据据教教学学内内容容、目目标标、要要求求设设置置问问题题进进行行教教学学问问答答一一个个形形式式它它是是教教学学过过程程有有机机组组成成部部分分，是是整整个个教教学学过过程程推推进进和和发发展展主主要要动动力力,是是影影响响课课堂堂教教学学主主要要原原因因之之一一它它含含有有强强化化知知识识信信息息传传输输、评评价价学学生生学学习习状状态态、调调控控课课堂堂教教学学进进程程、激激发发思思维维活活动动开开展展、沟沟通通师师生生感感情情交交流流等多项功效等多项功效 第32页3重视思维活动重视问题在数学教学中作用教学过程就是提出问题和处理问题过程重视提出问题过程重视对处理问题过程调控4重视突出学科结构 从章到节到问题 模式化方法和程序第33页415 平面上两点间距离 已知A(1,3)，B(3,2)，C(6,1)，D(2,4)，四边形ABCD是否为平行四边形？除了用对边是否平行判定方法，还能够经过对边是否相等来判别下面我们先计算点 A(1,3),B(3,2)间距离.转化到坐标轴转化到坐标轴特殊到普通特殊到普通 由此我们得到平面上P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点间距离公式严格证实严格证实得到结论得到结论案例案例3 直线与方程直线与方程第34页 现在我们再来考查本小节开头问题因为两条对角线相互平分四边形是平行四边形，所以，只需说明对角线AC 和BD中点相同，即可推得四边形ABCD是平行四边形 怎样来求线段AC 中点坐标呢？转化到坐标轴转化到坐标轴特殊到普通特殊到普通类比猜测类比猜测严格证实严格证实 普通地，对于平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),线段P1P2中点是M(x0,y0)，则A(1,3),C(6,1)AC 中点为中点为第35页第一步证实方法凸现解析几何基本思想证实方法凸现解析几何基本思想第36页第二步第37页416 点到直线距离 （活动课设计）我们已经证实了图4123中四边形ABCD为平行四边形，怎样计算它面积呢？方法1 作垂线，得交点，转化为两点间距离方法2 作坐标轴平行线，结构直角三角形，转化为 斜边上高 用两点间距离公式可求得AB=，所以，只要知道AB边上高，即点D(或点C)到直线AB距离，就能算出这个平行四边形面积 怎样计算点D到直线AB：5x4y70 距离呢？第38页用方法2 严格证实公式“旁白”：当A0，B0时，公式也成立时，公式也成立深入提出“思索”：你还能经过其它路径求出点P 到直线 l 距离吗？普通地，对于直线 l：A xB yC=0(A0，B0)和直线外一点P(x0，y0)，点P 到 l 距离为例1 直接应用公式求点到直线距离例2 求平行线间距离 （转化）例3 解析法证实等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上高应用应用第39页 世界充满着改变，有些改变几乎不被人们所感觉，而有些改变却让人们发出感叹与惊呼比如 苏州市4月20日最高气温为33.4，而以前两天，4月19日和4月18日最高气温分别为24.4和18.6，短短两天时间，气温“陡增”14.8，闷热中人们无不感叹：“天气热得太快了！”不过，假如我们将该市3月18日最高气温3.5与4月18日最高气温18.6进行比较，我们发觉二者温差为 15.1，甚至超出了14.8而人们却不会发出上述感叹 这是什么原因呢？原来前者改变得“太快”，而后者改变得“迟缓”用怎样数学模型刻画变量改变快与慢？这么数学模型有哪些应用？只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不但仅表明状只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不但仅表明状态，而且也表明过程：运动态，而且也表明过程：运动 恩格斯恩格斯 案例案例4 导数及其应用导数及其应用第40页2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)T()t(天天)图图4-1-1210 怎样量化陡峭程度呢？怎样量化陡峭程度呢？轻易看出轻易看出B，C之间曲线较之间曲线较A，B之间曲线愈加之间曲线愈加“陡峭陡峭”陡峭程度反应了气温改变快与慢陡峭程度反应了气温改变快与慢4.1.1平均改变率平均改变率 在在前前面面案案例例中中，“气气温温陡陡增增”数数学学意意义义是是什什么么呢呢？为为了了搞搞清清这这个个问问题题，我我们们先先来来观观察察下下面面气气温温曲曲线线图图（以以3月月18日作为第一天）日作为第一天）第41页第42页例1 婴儿从出生到第24个月体重改变(如图)，试分别计算第一年与第二年婴儿体重平均改变率7.522.528.51224t(月月)W(kg)(kg)图图4-1-2甲甲乙乙图图4-1-3例2 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙(如图)，t秒钟后容器甲中水体积为 V(t)=5e0.1t(单 位 cm3)，计算第一个10 秒内V 平均改变率第43页 例3 已知函数f(x)=x2，分别计算函数f(x)在以下区间上平均改变率(1)(1，3)；(2)(1，2)；(3)(1，1.1)；(4)(1，1.001)例4 已知函数f(x)=2x+1，g(x)=2x，分别计算在以下区间上函数f(x)及g(x)平均改变率（1）(3，1)；（2）(0，5)第44页4.1.2 瞬时改变率瞬时改变率-导数导数 怎样准确地刻画曲线上一点处改变趋势呢？P放大放大再放大再放大PP 为了研究曲线上某一点P处改变趋势，我们将点P附近曲线放大后进行观察我们发觉，曲线在点P附近看上去有点像是直线 假如将点P附近图形放大再放大，我们发觉点P附近曲线看上去几乎成了直线实际上，假如继续放大，能够发觉点P附近曲线将靠近（迫近）一条确定直线L，该直线L是经过点P全部直线中最迫近曲线一条直线1 1曲线上一点处切线第45页 所以，我们能够用这条直线L来代替点P附近曲线，也就是说：在点P附近，曲线能够看作直线（即在很小范围内以直代曲）P放大放大再放大再放大PPP放大放大再放大再放大PP 既然点P附近曲线被看作直线L，从而，该直线L斜率便量化了曲线经过点P时上升或下降“改变趋势”第46页 怎样找到经过曲线上一点P处最迫近曲线直线L呢？如图4-1-7，设Q为曲线C上另一点，伴随点Q沿曲线C向点P运动，直线PQ（又称割线）在点P附近越来越迫近曲线C，当点Q无限迫近点P时，直线PQ最终就成为经过点P处最迫近曲线直线L，这条直线L也称为曲线在点P处切线 有了割线迫近切线方法，我们能够来计算曲线上一点处切线斜率第47页 例1 已知f(x)=x2，求f(x)在x=2处切线斜率第48页2瞬时速度 在物理学中，运动物体位移与所用时间比，称为平均速度平均速度是物体运动快慢程度量化，但它是针对某一时间段而言在变速运动中，每一时刻速度都是不一样，那么怎样准确刻画每一时刻速度呢？例2 10米高台跳水，运动员从腾空到入水过程中，不一样时刻速度是不一样假设t秒后运动员相对于水面高度为H(t)=4.9t2+6.5t+10，试确定t=2秒时运动员速度为多少？例3 设一辆轿车在高速公路上作匀加速直线运动，假设t秒时速度为v(t)=t2+3求t=t0秒时轿车加速度第49页3导数 前面实际问题都包括了一个相同数学模型导数：设函数y=f(x)在区间(a，b)上有定义，x0 (a，b)，当x无限趋近于0时，比值 则称f(x)在点 x=x0 处可导，并称该常数A为函数f(x)在点x=x0处导数（derivative），记作 f(x0)若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点导数也伴随自变量x改变而改变，因而也是自变量x函数，该函数称为导函数，记作f(x)第50页第51页二、教学指导思想二、教学指导思想1 1数学教学基本目标是促进学生发展数学教学基本目标是促进学生发展数学价值数学价值数学价值数学价值 工具价值工具价值工具价值工具价值 思维价值思维价值思维价值思维价值 文化价值文化价值文化价值文化价值数学教育价值数学教育价值数学教育价值数学教育价值 知识知识知识知识 能力能力能力能力 精神品格（观念）精神品格（观念）精神品格（观念）精神品格（观念）第52页2 2数学教学是师生双边活动过程数学教学是师生双边活动过程数学教学活动应是学生经历数学教学活动应是学生经历数学教学活动应是学生经历数学教学活动应是学生经历“数学化数学化数学化数学化”、“再创再创再创再创造造造造”活动过程活动过程活动过程活动过程教师不但是教学活动设计者、组织者，而且是学教师不但是教学活动设计者、组织者，而且是学教师不但是教学活动设计者、组织者，而且是学教师不但是教学活动设计者、组织者，而且是学生合作者生合作者生合作者生合作者因势利导地帮助学生因势利导地帮助学生因势利导地帮助学生因势利导地帮助学生创设问题情境，激活学生思维创设问题情境，激活学生思维创设问题情境，激活学生思维创设问题情境，激活学生思维帮助学生进行思维监控和反思帮助学生进行思维监控和反思帮助学生进行思维监控和反思帮助学生进行思维监控和反思.情感上对学生给予勉励情感上对学生给予勉励情感上对学生给予勉励情感上对学生给予勉励,帮助学生树立克服困难信心帮助学生树立克服困难信心帮助学生树立克服困难信心帮助学生树立克服困难信心当代数学文化代表当代数学文化代表当代数学文化代表当代数学文化代表在教学中教师语言、行为、思维方式、感情、价值观都在教学中教师语言、行为、思维方式、感情、价值观都在教学中教师语言、行为、思维方式、感情、价值观都在教学中教师语言、行为、思维方式、感情、价值观都会潜移默化地影响学生会潜移默化地影响学生会潜移默化地影响学生会潜移默化地影响学生.第53页3 3数学教学是数学文化背景下思维活动数学教学是数学文化背景下思维活动数学教学是思维活动教学数学教学是思维活动教学数学教学是思维活动教学数学教学是思维活动教学数学价值、教学价值是由思维活动产生；数学价值、教学价值是由思维活动产生；数学价值、教学价值是由思维活动产生；数学价值、教学价值是由思维活动产生；思维活动是数学活动主体；思维活动是数学活动主体；思维活动是数学活动主体；思维活动是数学活动主体；数学思维是数学文化传统下思维数学思维是数学文化传统下思维数学思维是数学文化传统下思维数学思维是数学文化传统下思维数学文化传统形成了数学思维规范；数学文化传统形成了数学思维规范；数学文化传统形成了数学思维规范；数学文化传统形成了数学思维规范；数学观念、思维方式形成过程能够看成是对数学文化传数学观念、思维方式形成过程能够看成是对数学文化传数学观念、思维方式形成过程能够看成是对数学文化传数学观念、思维方式形成过程能够看成是对数学文化传承；承；承；承；思维和文化是数学教育双翼微观和宏观思维和文化是数学教育双翼微观和宏观思维和文化是数学教育双翼微观和宏观思维和文化是数学教育双翼微观和宏观继续和创新继续和创新继续和创新继续和创新第54页三、数学教学若干策略三、数学教学若干策略总策略：促使学生形成主动主动、勇于探索学习方式 1 1以问题为中心以问题为中心数学心脏数学心脏数学活动载体数学活动载体数学思维活动结果数学思维活动结果数学发觉模式和数学教学程序数学发觉模式和数学教学程序 问题背景问题背景问题背景问题背景建构数学模式建构数学模式建构数学模式建构数学模式利用模式处理问题利用模式处理问题利用模式处理问题利用模式处理问题 问题背景问题背景问题背景问题背景学生活动学生活动学生活动学生活动建构数学建构数学建构数学建构数学 数学理论数学理论数学理论数学理论数学利用数学利用数学利用数学利用回顾反思回顾反思回顾反思回顾反思第55页2突出数学基本结构知识结构知识结构思维结构思维结构数学思想和数学观念数学思想和数学观念数学整体价值数学整体价值 (立体几何结构图立体几何结构图)关键概念关键概念胚胎和生长点胚胎和生长点逻辑发展逻辑发展例子（解析几何、三角函数）例子（解析几何、三角函数）第56页第57页第58页第59页四、教学设计关键点 教教学学过过程程设设计计关关键键是是要要充充分分展展现现和和暴暴露露思思维维过过程程，让让学学生生在在取取得得知知识识同同时时掌掌握握思思维维方方法法，发发展展思思维维品品质质，提升学习能力，取得创造性活动体验提升学习能力，取得创造性活动体验.第60页1问题情境创设数学教学设计就是问题设计数学教学设计就是问题设计教学中问题教学中问题对问题要求对问题要求初始性初始性结构性结构性情境性情境性简单而有深度简单而有深度应用问题和结构问题应用问题和结构问题多方位地设置问题多方位地设置问题问题串问题串第61页平面解析几何初步 现实世界中，处处有美妙曲线从飞逝流星到雨后彩虹，从古代石拱桥到当代这些曲线都和方程息息相关行星围绕太阳运行，人们要认识行星运行规律，首先就要建立行星运行轨道方程在建造桥梁时，我们首先要确定桥拱方程，然后才能深入地设计和施工第62页 引进平面直角坐标系，用有序实数对(x，y)表示平面内点依据曲线几何性质，能够得到关于x，y一个代数方程f(x，y)=0反过来，把代数方程f(x，y)=0解(x，y)看作平面上点坐标，这些点集合是一条曲线 我们知道直线和圆是基本几何图形，那么，怎样建立它们方程？怎样经过方程来研究它们性质？第63页 直线是最常见图形，过一点沿确定方向就能够画出一条直线 怎样用数学语言刻画直线方向，进而建立直线方程？怎样利用直线方程研究直线位置关系？确定直线位置要素除了点之外，还有直线倾斜程度经过建立直角坐标系，点能够用坐标来刻画那么，直线倾斜程度怎样来刻画呢？直线倾斜程度怎样来刻画呢？411 直线斜率直线斜率4 41 1 直线与方程直线与方程第64页问题串问题串解析几何（直线）怎样建立它们方程？怎样经过方程来研究它们性质？直线是最常见图形，过一点沿着确定方向就能直线是最常见图形，过一点沿着确定方向就能够画出一条直线。够画出一条直线。怎样用数学语言刻画直线方向，进而建立直怎样用数学语言刻画直线方向，进而建立直线方程？线方程？怎样用直线方程来研究直线位置关系？怎样用直线方程来研究直线位置关系？确定直线位置要素除了点以外，还有直线倾斜程确定直线位置要素除了点以外，还有直线倾斜程度，经过建立直角坐标系，点能够用坐标来刻画，度，经过建立直角坐标系，点能够用坐标来刻画，那么直线倾斜程度怎样来刻画呢？那么直线倾斜程度怎样来刻画呢？第65页 在平面直角坐标系中，我们能够类似地利用这种方法来刻画直线倾斜程度第66页 如图412(1)，已知两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，假如x1 x2，那么直线PQ斜率(slope)为 第67页 假如x1x2，那么直线PQ斜率不存在(如图41(2)如图412(1)，对于与x轴不垂直直线PQ，它斜率也可看做是 对于一条与x轴不垂直定直线而言，它斜率是一个定值，由该直线上任意两点确定斜率总是相等第68页怎样建立它们方程？怎样经过方程来研究它们性质？圆是最完美曲线，它是平面内到定点距离等于圆是最完美曲线，它是平面内到定点距离等于 定长点集合，定点就是圆心，定长就是半径定长点集合，定点就是圆心，定长就是半径。怎样建立圆方程？怎样建立圆方程？怎样利用圆方程研究圆性质？怎样利用圆方程研究圆性质？河河北北省省赵赵县县赵赵州州桥桥，是是世世界界著著名名古古代代石石拱拱桥桥，也也 是是造造成成后后一一直直使使用用到到现现在在最最古古老老石石桥桥，赵赵州州桥桥跨跨度度是是3737。4m4m，圆圆拱拱高高约约为为7 72m2m，怎样写出这个圆拱所在圆方程？怎样写出这个圆拱所在圆方程？问题串解析几何（圆）第69页问题串立体几何 空间几何体是由哪些几何体组成？空间几何体是由哪些几何体组成？怎样描述刻画这些基本几何体形状和大小？怎样描述刻画这些基本几何体形状和大小？组成这些几何体基本元素之间含有怎样位置关系？组成这些几何体基本元素之间含有怎样位置关系？复杂几何体，通常是由一些简单几何体（如柱、锥、台、球）复杂几何体，通常是由一些简单几何体（如柱、锥、台、球）组合而成。组合而成。柱、锥、台、球分别含有怎样结构特征？柱、锥、台、球分别含有怎样结构特征？怎样在平面上表示空间几何体？怎样在平面上表示空间几何体？怎样计算柱、锥、台、球表面积和体积？怎样计算柱、锥、台、球表面积和体积？仔细观察下面几何体，它们有什么共同特点？仔细观察下面几何体，它们有什么共同特点？第70页问题串问题串立体几何（立体几何（2 2）空间几何体是由哪些几何体组成？空间几何体是由哪些几何体组成？空间几何体是由哪些几何体组成？空间几何体是由哪些几何体组成？怎样描述刻画这些基本几何体形状和大小？怎样描述刻画这些基本几何体形状和大小？怎样描述刻画这些基本几何体形状和大小？怎样描述刻画这些基本几何体形状和大小？组成这些几何体基本元素之间含有怎样位置关系？组成这些几何体基本元素之间含有怎样位置关系？组成这些几何体基本元素之间含有怎样位置关系？组成这些几何体基本元素之间含有怎样位置关系？在上一节中，我们已经对简单几何体有了直观认识，在上一节中，我们已经对简单几何体有了直观认识，在上一节中，我们已经对简单几何体有了直观认识，在上一节中，我们已经对简单几何体有了直观认识，简单几何体是由空间点、线、面所组成，简单几何体是由空间点、线、面所组成，简单几何体是由空间点、线、面所组成，简单几何体是由空间点、线、面所组成，本节我们将对点、线面位置关系作深入讨论本节我们将对点、线面位置关系作深入讨论本节我们将对点、线面位置关系作深入讨论本节我们将对点、线面位置关系作深入讨论.空间点、直线和平面含有怎样位置关系？空间点、直线和平面含有怎样位置关系？空间点、直线和平面含有怎样位置关系？空间点、直线和平面含有怎样位置关系？怎样用数学语言来表述和研究这些位置关系？怎样用数学语言来表述和研究这些位置关系？怎样用数学语言来表述和研究这些位置关系？怎样用数学语言来表述和研究这些位置关系？用两个合页和一把锁就能够把一扇门固定，将一把直尺置于桌面上，用两个合页和一把锁就能够把一扇门固定，将一把直尺置于桌面上，用两个合页和一把锁就能够把一扇门固定，将一把直尺置于桌面上，用两个合页和一把锁就能够把一扇门固定，将一把直尺置于桌面上，经过是否漏光就能检验桌面是否平整，为何？经过是否漏光就能检验桌面是否平整，为何？经过是否漏光就能检验桌面是否平整，为何？经过是否漏光就能检验桌面是否平整，为何？椅子放不稳，是地面不平还是椅子本身有问题？椅子放不稳，是地面不平还是椅子本身有问题？椅子放不稳，是地面不平还是椅子本身有问题？椅子放不稳，是地面不平还是椅子本身有问题？第71页2学生活动组织学学生生活活动动是是为为了了处处理理问问题题而而展展开开，以以建建构构数数学学为为目目标；标；活活动动方方式式：观观察察、操操作作、归归纳纳、猜猜测测、验验证证、推推理理、建建立立模模型型、提提出出方方案案，查查阅阅资资料料、讨讨论论、合合作作交交流流、调查；调查；教师价值判断：教师价值判断：学生活动要符合数学文化规范；学生活动要符合数学文化规范；学生活动要表达学生个性；（多样性）学生活动要表达学生个性；（多样性）学生活动应该有利于思维活动展开（学生活动应该有利于思维活动展开（例子）例子）学生活动要照料到不一样发展层次学生学生活动要照料到不一样发展层次学生以处理问题为最终目标还是以学生发展为最终目标：以处理问题为最终目标还是以学生发展为最终目标：合理和有用；成功与失败，失败价值合理和有用；成功与失败，失败价值第72页3建构数学过程：胚胎和生长点胚胎和生长点经历过程（从直觉到逻辑、再发觉）经历过程（从直觉到逻辑、再发觉）感受意义（反思领悟）感受意义（反思领悟）形成表象（建构结果）例：函数、单调性、形成表象（建构结果）例：函数、单调性、垂直垂直垂直垂直自我表征（初步概括）自我表征（初步概括）生长中数学，朴素数学，未包装数学生长中数学，朴素数学，未包装数学数学建构活动中关键步骤数学建构活动中关键步骤最终：建立数学最终：建立数学第73页4数学理论展现定义、定理叙述、模型描述、算法程序等；定义、定理叙述、模型描述、算法程序等；抽象，形式化表述抽象，形式化表述5数学利用包包含含区区分分、解解释释、变变式式训训练练、处处理理简简单单问问题题、处理复杂问题等；处理复杂问题等；解题主要性解题主要性训练性问题和发展性问题训练性问题和发展性问题最终：应用数学最终：应用数学第74页6回顾小结（反思）包含回顾、总结、联络、整合、拓广、创新、包含回顾、总结、联络、整合、拓广、创新、凝缩（由过程到对象）等凝缩（由过程到对象）等反思贯通于一直反思贯通于一直 提出新问题，形成观念；提出新问题，形成观念；最终：了解数学最终：了解数学第75页