数学归纳法要点梳理归纳法由一系列有限的特殊事例市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

13.5 13.5 数学归纳法数学归纳法关键点梳理关键点梳理1.1.归纳法归纳法 由一系列有限特殊事例得出由一系列有限特殊事例得出 推理推理 方法叫归纳法方法叫归纳法.依据推理过程中考查对象是涉依据推理过程中考查对象是涉 及事物全体或部分可分为及事物全体或部分可分为 归纳法和归纳法和 归纳法归纳法.普通结论普通结论完全完全不完不完全全基础知识基础知识 自主学习自主学习第1页2.2.数学归纳法数学归纳法 (1)(1)数学归纳法：设数学归纳法：设 P Pn n 是一个与正整数相关是一个与正整数相关 命题集合，假如命题集合，假如证实起始命题证实起始命题P P1 1（或（或P P0 0)成立；成立；在假设在假设P Pk k成立前提下，推出成立前提下，推出P Pk k+1+1 也成立，那么能够断定也成立，那么能够断定 P Pn n 对一切正整数成立对一切正整数成立.(2)(2)数学归纳法证题步骤数学归纳法证题步骤 (归纳奠基归纳奠基)证实当证实当n n取第一个值取第一个值 时时,命题命题 成立成立.(归纳递推）假设归纳递推）假设 (k kn n0 0,k kN N+)时命题时命题 成立，证实当成立，证实当 时命题也成立时命题也成立.只要完成这两个步骤就能够断定命题对从只要完成这两个步骤就能够断定命题对从n n0 0开始开始 全部正整数全部正整数n n都成立都成立.n n=n n0 0n n=k kn n=k k+1+1第2页基础自测基础自测1.1.用数学归纳法证实：用数学归纳法证实：“1+“1+a a+a a2 2+a an n+1+1 (a a1)”1)”在验证在验证n n=1=1时，左端计算所得项时，左端计算所得项 为为()()A.1 B.1+A.1 B.1+a a C.1+C.1+a a+a a2 2 D.1+D.1+a a+a a2 2+a a3 3C第3页2.2.在应用数学归纳法证实凸在应用数学归纳法证实凸n n边形对角线为边形对角线为 条时，第一条时，第一 步检验第一个值步检验第一个值n n0 0等于等于()()A.1 B.2 C.3 D.0 A.1 B.2 C.3 D.0 解析解析 边数最少凸边数最少凸n n边形是三角形边形是三角形.C第4页3.3.假如命题假如命题p p(n n)对对n n=k k成立，则它对成立，则它对n n=k k+2+2也成立也成立.若若p p(n n)对对n n=2=2成立，则以下结论正确是成立，则以下结论正确是()()A.A.p p(n n)对全部正整数对全部正整数n n都成立都成立 B.B.p p(n n)对全部正偶数对全部正偶数n n都成立都成立 C.C.p p(n n)对全部正奇数对全部正奇数n n都成立都成立 D.D.p p(n n)对全部自然数对全部自然数n n都成立都成立 解析解析 归纳奠基是：归纳奠基是：n n=2=2成立成立.归纳递推是：归纳递推是：n n=k k成立，则对成立，则对n n=k k+2+2成立成立.p p（n n）对全部正偶数）对全部正偶数n n都成立都成立.B第5页4.4.某个命题与自然数某个命题与自然数n n相关，若相关，若n n=k k(k kN N+)时命题时命题 成立，那么可推得当成立，那么可推得当n n=k k+1+1时该命题也成立，现时该命题也成立，现 已知已知n n=5=5时时,该命题不成立该命题不成立,那么能够推得那么能够推得()()A.A.n n=6=6时该命题不成立时该命题不成立 B.B.n n=6=6时该命题成立时该命题成立 C.C.n n=4=4时该命题不成立时该命题不成立 D.D.n n=4=4时该命题成立时该命题成立 解析解析 方法一方法一 由由n n=k k(k kN N+)成立成立,可推得当可推得当 n n=k k+1+1时该命题也成立时该命题也成立.因而若因而若n n=4=4成立，必有成立，必有 n n=5=5成立成立.现知现知n n=5=5不成立，所以不成立，所以n n=4=4一定不成立一定不成立.方法二方法二 其逆否命题其逆否命题“若当若当n n=k k+1+1时该命题不成时该命题不成 立，则当立，则当n n=k k时也不成立时也不成立”为真，故为真，故“n n=5=5时不时不 成立成立”“n n=4=4时不成立时不成立”.”.C第6页5.5.用数学归纳法证实用数学归纳法证实1+2+3+1+2+3+n n2 2=,=,则当则当 n n=k k+1+1时左端应在时左端应在n n=k k基础上加上基础上加上()()A.A.k k2 2+1 +1 B.B.（k k+1+1）2 2 C.C.D.D.（k k2 2+1+1）+（k k2 2+2+2）+（k k2 2+3+3）+（k k+1+1）2 2 解析解析 当当n n=k k时，左边时，左边=1+2+3+=1+2+3+k k2 2，当当n n=k k+1+1时，时，左边左边=1+2+3+=1+2+3+k k2 2+（k k2 2+1+1）+（k k+1+1）2 2，当当n n=k k+1+1时，左端应在时，左端应在n n=k k基础上加上基础上加上 （k k2 2+1+1）+（k k2 2+2+2）+（k k2 2+3+3）+（k k+1+1）2 2.C第7页题型一题型一 用数学归纳法证实等式用数学归纳法证实等式 用数学归纳法证实用数学归纳法证实:对任意对任意n nN N+,用数学归纳法证实步骤为：用数学归纳法证实步骤为：归纳归纳 奠基：验证当奠基：验证当n n=1=1时结论成立；时结论成立；归纳递推：假归纳递推：假 设当设当n n=k k（k kN N+）时成立，推出当）时成立，推出当n n=k k+1+1时结论时结论 也成立也成立.题型分类题型分类 深度剖析深度剖析第8页证实证实 所以等式成立所以等式成立.(2)(2)假设当假设当n n=k k(k kN N+)时等式成立时等式成立,即有即有第9页所以当所以当n n=k k+1+1时时,等式也成立等式也成立.由（由（1 1）（）（2 2）可知）可知,对一切对一切n nN N+等式都成立等式都成立.用数学归纳法证实与正整数相关一用数学归纳法证实与正整数相关一些等式时，关键在于些等式时，关键在于“先看项先看项”，搞清等式两边，搞清等式两边组成规律，等式两边各有多少项，项多少与组成规律，等式两边各有多少项，项多少与n n取值是否相关，由取值是否相关，由n n=k k到到n n=k k+1+1时等式两边变时等式两边变化项，然后正确写出归纳证实步骤，使问题化项，然后正确写出归纳证实步骤，使问题得以证实得以证实.第10页知能迁移知能迁移1 1 用数学归纳法证实：用数学归纳法证实：证证明明 （1 1）当）当n n=1=1时，等式左边时，等式左边 等式右边等式右边 所以等式成立所以等式成立.（2 2）假设）假设n n=k k（k kN N+）时等式成立，）时等式成立，那么当那么当n n=k k+1+1时，时，第11页即即n n=k k+1+1时等式成立时等式成立.由（由（1 1）（）（2 2）可知，对任意）可知，对任意n nN N+等式均成立等式均成立.第12页题型二题型二 用数学归纳法证实整除问题用数学归纳法证实整除问题 用数学归纳法证实用数学归纳法证实a an n+1+1+(+(a a+1)+1)2 2n n-1-1(n nN N+）能被能被a a2 2+a a+1+1整除整除.解解 （1 1）当）当n n=1=1时，时，a a2 2+(+(a a+1)=+1)=a a2 2+a a+1+1可被可被a a2 2+a a+1+1整除整除.（2 2）假设）假设n n=k k(k kN N+)时，时，a ak k+1+1+(+(a a+1)+1)2 2k k-1-1能被能被a a2 2+a a+1+1整除，整除，验证验证n n=1=1时命题是否成立时命题是否成立假设假设n n=k k时命题成立时命题成立推证推证n n=k k+1+1时命题成立时命题成立得结论得结论第13页则当则当n n=k k+1+1时，时，a ak k+2+2+(+(a a+1)+1)2 2k k+1+1=a aa ak k+1+1+(+(a a+1)+1)2 2(a a+1)+1)2 2k k-1-1=a aa ak k+1+1+a a(a a+1)+1)2 2k k-1-1+(+(a a2 2+a a+1)(+1)(a a+1)+1)2 2k k-1-1=a aa ak k+1+1+(+(a a+1)+1)2 2k k-1-1+(+(a a2 2+a a+1)(+1)(a a+1)+1)2 2k k-1-1,由假设可知由假设可知a aa ak k+1+1+(+(a a+1)+1)2 2k k-1-1能被能被a a2 2+a a+1+1整除，整除，(a a2 2+a a+1)(+1)(a a+1)+1)2 2k k-1-1也能被也能被a a2 2+a a+1+1整除，整除，a ak k+2+2+（a a+1+1）2 2k k+1+1也能被也能被a a2 2+a a+1+1整除，整除，即即n n=k k+1+1时命题也成立，时命题也成立，对任意对任意n nN N+原命题成立原命题成立.证实整除问题关键是证实整除问题关键是“凑项凑项”，而，而采取增项、减项、拆项和因式分解等伎俩，凑出采取增项、减项、拆项和因式分解等伎俩，凑出n n=k k时情形，从而利用归纳假设使问题获证时情形，从而利用归纳假设使问题获证.第14页知能迁移知能迁移2 2 求证：（求证：（3 3n n+1+1）77n n-1(-1(n nN N+)能被能被9 9 整除整除.证实证实 (1)(1)当当n n=1=1时时,(3,(3n n+1)7+1)7n n-1=27-1=27能被能被9 9整除整除.(2)(2)假设假设n n=k k(k kN N+)时命题成立，即时命题成立，即 (3 (3k k+1)7+1)7k k-1-1能被能被9 9整除，整除，那么那么n n=k k+1+1时：时：3(3(k k+1)+1+1)+177k k+1+1-1=-1=(3(3k k+1)+3+1)+3(1+6)7(1+6)7k k-1-1 =(3 =(3k k+1)7+1)7k k-1+(3-1+(3k k+1)67+1)67k k+217+217k k =(3(3k k+1)7+1)7k k-1-1+3+3k k6767k k+(6+21)7+(6+21)7k k.以上三项均能被以上三项均能被9 9整除整除.则由（则由（1 1）（）（2 2）可知，命题对任意）可知，命题对任意n nN N+都成立都成立.第15页题型三题型三 用数学归纳法证实不等式用数学归纳法证实不等式 用数学归纳法证实：对一切大于用数学归纳法证实：对一切大于1 1自然自然 数，不等式数，不等式 均成立均成立.应注意到题目条件，第一步应验证应注意到题目条件，第一步应验证 n n=2=2时不等式成立时不等式成立.证实证实 （1 1）当）当n n=2=2时，左边时，左边 左边左边 右边，右边，不等式成立不等式成立.（2 2）假设）假设n n=k k(k k2,2,且且k kN N+)时不等式成立，时不等式成立，第16页则当则当n n=k k+1+1时，时，当当n n=k k+1+1时，不等式也成立时，不等式也成立.由（由（1 1）（）（2 2）知，对于一切大于）知，对于一切大于1 1自然数自然数n n,不等不等式都成立式都成立.第17页 在由在由n n=k k到到n n=k k+1+1推证过程中，应用放推证过程中，应用放缩技巧，使问题得以简化缩技巧，使问题得以简化.用数学归纳法证实不等用数学归纳法证实不等式问题时，从式问题时，从n n=k k到到n n=k k+1+1推证过程中，证实不等推证过程中，证实不等式惯用方法有比较法、分析法、综正当、放缩式惯用方法有比较法、分析法、综正当、放缩法等法等.第18页知能迁移知能迁移3 3 已知函数已知函数f f(x x)=)=x x-sin-sin x x,数列数列 a an n 满足满足:0 0a a1 11,1,a an n+1+1=f f(a an n),),n n=1,2,3,.=1,2,3,.证实证实:(1)(1)00a an n+1+1 a an n1,(2)1,(2)证实证实 (1)(1)先用数学归纳法证实先用数学归纳法证实00a an n1,1,n n=1,2,3,.=1,2,3,.()()当当n n=1=1时，由已知结论成立时，由已知结论成立.()()假设当假设当n n=k k(k kN N+)时结论成立，即时结论成立，即00a ak k1.1.因为因为00 x x10,0,所以所以f f(x x)在在(0,1)(0,1)上是增函数上是增函数.又又f f(x x)在在0 0，1 1上连续，上连续，从而从而f f(0)(0)f f(a ak k)f f(1),(1),即即00a ak k+1+11-sin 11.1-sin 11.第19页故当故当n n=k k+1+1时，结论成立时，结论成立.由由()()()()可知，可知，00a an n11对一切正整数都成立对一切正整数都成立.又因为又因为00a an n11时，时，a an n+1+1-a an n=a an n-sin-sin a an n-a an n=-sin=-sin a an n0,0,所以所以a an n+1+1 a an n.总而言之总而言之,0,0a an n+1+1 a an n1.1.（2 2）设函数）设函数g g(x x)=sin)=sin x x-x x+由（由（1 1）知，当）知，当00 x x11时，时，sin sin x x x x.从而从而g g(x x)=)=第20页所以所以g g(x x)在（在（0 0，1 1）上是增函数）上是增函数.又又g g(x x)在在0 0，1 1上连续，且上连续，且g g(0)=0(0)=0，所以当所以当00 x x10)0成立成立.于是于是g g(a an n)0,)0,即即第21页题型四题型四 归纳、猜测、证实归纳、猜测、证实 （1212分）已知等差数列分）已知等差数列 a an n 公差公差d d大于大于0,0,且且a a2 2,a a5 5是方程是方程x x2 2-12-12x x+27=0+27=0两根，数列两根，数列 b bn n 前前 n n项和为项和为T Tn n，且，且 （1 1）求数列）求数列 a an n、b bn n 通项公式；通项公式；（2 2）设数列）设数列 a an n 前前n n项和为项和为S Sn n，试比较，试比较 与与 S Sn n+1+1大小，并说明理由大小，并说明理由.(1)(1)由由a a2 2、a a5 5是方程根，求出是方程根，求出a an n，再，再 由由 求出求出b bn n.(2)(2)先猜测先猜测 与与S Sn n+1+1大小关系，再用数学归纳大小关系，再用数学归纳 法证实法证实.第22页解解 又又 a an n 公差大于公差大于0 0，a a5 5 a a2 2,a a2 2=3,=3,a a5 5=9.=9.5 5分分第23页6 6分分第24页下面用数学归纳法证实：下面用数学归纳法证实：当当n n=4=4时，已证时，已证.9 9分分第25页=(=(k k2 2+4+4k k+4)+2+4)+2k k2 2+2+2k k-1-1(k k+1)+1+1)+12 2=S S(k k+1)+1+1)+1,1111分分1212分分第26页 （1 1）归纳）归纳猜测猜测证实是高考重点证实是高考重点考查内容之一，这类问题可分为归纳性问题和考查内容之一，这类问题可分为归纳性问题和存在性问题，本例中归纳性问题需要从特殊情况存在性问题，本例中归纳性问题需要从特殊情况入手，经过观察、分析、归纳、猜测，探索出一入手，经过观察、分析、归纳、猜测，探索出一般规律般规律.（2 2）数列是定义在）数列是定义在N N+上函数，这与数学归纳法上函数，这与数学归纳法利用范围是一致，而且数列递推公式与归利用范围是一致，而且数列递推公式与归纳原理实质上是一致，数列中有不少问题惯用纳原理实质上是一致，数列中有不少问题惯用数学归纳法处理数学归纳法处理.第27页知能迁移知能迁移4 4 如图所表示，如图所表示，P P1 1（x x1 1，y y1 1）、）、P P2 2（x x2 2，y y2 2）、）、P Pn n（x xn n，y yn n）（）（00y y1 1 y y2 2y yn n）是曲线）是曲线C C：y y2 2=3=3x x（y y00）上）上n n个点，点个点，点A Ai i（a ai i，0 0）（）（i i=1=1，2 2，3 3，n n）在）在x x轴正半轴上，且轴正半轴上，且A Ai i-1-1A Ai iP Pi i是是 正三角形（正三角形（A A0 0是坐标原点）是坐标原点）.(1)(1)写出写出a a1 1、a a2 2、a a3 3；(2)(2)求出点求出点A An n（a an n，0 0）（）（n nN N+）横坐标）横坐标a an n关于关于 n n表示式并证实表示式并证实.第28页解解 （1 1）a a1 1=2,=2,a a2 2=6,=6,a a3 3=12.=12.(2)(2)依题意，得依题意，得即即(a an n-a an n-1-1)2 2=2(=2(a an n-1-1+a an n).).由（由（1 1）可猜测：）可猜测：a an n=n n(n n+1)(+1)(n nN N+).).下面用数学归纳法给予证实：下面用数学归纳法给予证实：当当n n=1=1时，命题显然成立；时，命题显然成立；假设当假设当n n=k k(k kN N+)时命题成立时命题成立,即有即有a an n=k k(k k+1),+1),则当则当n n=k k+1+1时，由归纳假设及时，由归纳假设及(a ak k+1+1-a ak k)2 2=2(=2(a ak k+a ak k+1+1),),第29页得得a ak k+1+1-k k(k k+1)+1)2 2=2=2k k(k k+1)+1)+a ak k+1+1,即即(a ak k+1+1)2 2-2(-2(k k2 2+k k+1)+1)a ak k+1+1+k k(k k-1)-1)（k k1 1）（）（k k+2+2）=0=0，解之得，解之得，a ak k+1+1=(=(k k+1)(+1)(k k+2)(+2)(a ak k+1+1=k k(k k-1)-1)1)”1)”时，由时，由n n=k k(k k1)1)不等式成立，不等式成立，推证推证n n=k k+1+1时，左边应增加项数是时，左边应增加项数是 ()()A.2 A.2k k-1 -1 B.2B.2k k-1-1 C.2 C.2k k D.2D.2k k+1+1 解析解析 增加项数为（增加项数为（2 2k k+1+1-1-1）-(2-(2k k-1)=-1)=2 2k k+1+1-2-2k k=2=2k k.C第34页3.3.对于不等式对于不等式 (n nN N+)，某同学用数学归纳法，某同学用数学归纳法 证实过程以下：证实过程以下：（1 1）当）当n n=1=1时，时，不等式成立不等式成立.（2 2）假设当）假设当n n=k k(k kN N+)时，不等式成立，时，不等式成立，即即 则当则当n n=k k+1+1时，时，所以当所以当n n=k k+1+1时，不等式成立，则上述证法时，不等式成立，则上述证法()()A.A.过程全部正确过程全部正确 B.B.n n=1=1验得不正确验得不正确 C.C.归纳假设不正确归纳假设不正确 D.D.从从n n=k k到到n n=k k+1+1推理不正确推理不正确 解析解析 在在n n=k k+1+1时，没有应用时，没有应用n n=k k时假设时假设,不是数不是数 学归纳法学归纳法.D第35页4.4.用数学归纳法证实用数学归纳法证实“n n3 3+(+(n n+1)+1)3 3+(+(n n+2)+2)3 3(n nN N+)能被能被9 9 整除整除”，要利用归纳假设证，要利用归纳假设证n n=k k+1+1时情况时情况,只需展开只需展开()()A.(A.(k k+3)+3)3 3 B.(B.(k k+2)+2)3 3 C.(C.(k k+1)+1)3 3 D.(D.(k k+1)+1)3 3+(+(k k+2)+2)3 3 解析解析 假设当假设当n n=k k时，原式能被时，原式能被9 9整除整除,即即k k3 3+(+(k k+1)+1)3 3 +(+(k k+2)+2)3 3能被能被9 9整除整除.当当n n=k k+1+1时时,(,(k k+1)+1)3 3+(+(k k+2)+2)3 3+(+(k k+3)+3)3 3为了能用上面为了能用上面 归纳假设，只需将归纳假设，只需将(k k+3)+3)3 3展开，让其出现展开，让其出现k k3 3即即 可可.A第36页5.5.证实证实 当当n n=2=2时，时，左边式子等于左边式子等于 ()()A.1 B.A.1 B.C.D.C.D.解析解析 当当n n=2=2时，左边式子为时，左边式子为D第37页6.6.用数学归纳法证实不等式用数学归纳法证实不等式 (n n2,2,n nN N+)过程中，由过程中，由n n=k k递推到递推到n n=k k+1+1时不等时不等 式左边式左边 ()()A.A.增加了一项增加了一项 B.B.增加了两项增加了两项 C.C.增加了增加了B B中两项但降低了一项中两项但降低了一项 D.D.以上各种情况均不对以上各种情况均不对第38页解析解析答案答案 C C第39页二、填空题二、填空题7.7.若若f f(n n)=1)=12 2+2+22 2+3+32 2+(2+(2n n)2 2,则则f f(k k+1)+1)与与f f(k k)递推递推 关系式是关系式是 .解析解析 f f(k k)=1)=12 2+2+22 2+(2+(2k k)2 2，f f(k k+1)=1+1)=12 2+2+22 2+(2+(2k k)2 2+(2+(2k k+1)+1)2 2+(2+(2k k+2)+2)2 2，f f(k k+1)=+1)=f f(k k)+(2)+(2k k+1)+1)2 2+(2+(2k k+2)+2)2 2.f f(k k+1)=+1)=f f(k k)+(2)+(2k k+1)+1)2 2+(2+(2k k+2)+2)2 2第40页8.8.用数学归纳法证实用数学归纳法证实 (n nN N,且且 n n1),1),第一步要证不等式是第一步要证不等式是 .解析解析 n n=2=2时，左边时，左边第41页9.已知整数对序列如下：(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4)，则第60个数对是 .解析 本题规律：2=1+1；3=1+2=2+1；4=1+3=2+2=3+1；5=1+4=2+3=3+2=4+1；一个整数n所拥有数对为(n-1)对.设1+2+3+(n-1)=60,n=11时还多5对数，且这5对数和都为12，12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7，第60个数对为（5，7）.(5,7)(5,7)第42页三、解答题三、解答题10.10.已知数列已知数列 a an n 中，中，(n nN N+).).证证 明：明：00a an n a an n+1+11.1.证实证实 (1)(1)n n=1=1时，时，0 0a a1 1 a a2 21,1,故结论成立故结论成立.(2)(2)假设假设n n=k k（k kN N+）时结论成立，）时结论成立，即即00a ak k a ak k+1+11,1,第43页即即00a ak k+1+1 a ak k+2+21,1,也就是说也就是说n n=k k+1+1时，结论也成立时，结论也成立.由由(1)(2)(1)(2)可知，对一切可知，对一切n nN N+都有都有00a an n a an n+1+11.1.第44页11.11.用数学归纳法证实对于任意正整数用数学归纳法证实对于任意正整数n n,(,(n n2 2-1)+-1)+2(2(n n2 2-2-22 2)+)+n n(n n2 2-n n2 2)=)=证实证实 （1 1）当）当n n=1=1时，左式时，左式=1=12 2-1=0,-1=0,所以等式成立所以等式成立.（2 2）假设）假设n n=k k(k kN N+)时等式成立时等式成立,即即(k k2 2-1)+2(-1)+2(k k2 2-2-22 2)+)+k k(k k2 2-k k2 2)那么那么(k k+1)+1)2 2-1-1+2+2(k k+1)+1)2 2-2-22 2+k k(k k+1)+1)2 2 -k k2 2+(+(k k+1)+1)(k k+1)+1)2 2-(-(k k+1)+1)2 2第45页=(=(k k2 2-1)+2(-1)+2(k k2 2-2-22 2)+)+k k(k k2 2-k k2 2)+(2)+(2k k+1)(1+2+1)(1+2+k k)所以当所以当n n=k k+1+1时等式成立时等式成立.由（由（1 1）（）（2 2）知对任意）知对任意n nN N+等式成立等式成立.第46页12.12.在数列在数列 a an n、b bn n 中，中，a a1 1=2,=2,b b1 1=4,=4,且且a an n,b bn n，a an n+1+1成成 等差数列，等差数列，b bn n,a an n+1+1,b bn n+1+1成等比数列（成等比数列（n nN N+），求），求 a a2 2,a a3 3,a a4 4与与b b2 2,b b3 3,b b4 4值，由此猜测值，由此猜测 a an n,b bn n 通通 项公式，并证实你结论项公式，并证实你结论.解解 由条件得由条件得2 2b bn n=a an n+a an n+1+1,=b bn nb bn n+1+1.又又a a1 1=2,=2,b b1 1=4,=4,由此可得由此可得a a2 2=6,=6,b b2 2=9,=9,a a3 3=12,=12,b b3 3=16,=16,a a4 4=20,=20,b b4 4=25,=25,猜测猜测a an n=n n(n n+1),+1),b bn n=(=(n n+1)+1)2 2.用数学归纳法证实：用数学归纳法证实：当当n n=1=1时，时，a a1 1=2,=2,b b1 1=4,=4,结论成立结论成立.第47页假设当假设当n n=k k （k kN N+）时结论成立，即）时结论成立，即a ak k=k k(k k+1),+1),b bk k=（k k+1+1）2 2，那么当，那么当n n=k k+1+1时，时，a ak k+1+1=2=2b bk k-a ak k=2(=2(k k+1)+1)2 2-k k(k k+1)=(+1)=(k k+1)+1)(k k+1)+1+1)+1,所以所以当当n n=k k+1+1时，结论也成立时，结论也成立.由由知，知，a an n=n n(n n+1),+1),b bn n=(=(n n+1)+1)2 2对一切正整数都对一切正整数都成立成立.返回返回 第48页