2023年初一七年级下册数学相交线与平行线的知识点.docx

七下数学 “相交线与平行线”的知识点开学已有几天了，新的第一章知识掌握的怎么样了呢？这一单元重要是概念和性质定理一定要理解清楚，可以在这篇文章梳理一下，一定能帮到你！一、相交线1.邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：注意点：对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；假如与是对顶角，那么一定有=；反之假如=，那么与不一定是对顶角假如与互为邻补角，则一定有+=180；反之假如+=180， 则与不一定是邻补角。两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。2.垂线定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直， 其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。符号语言记作：如图所示：ABCD，垂足为 O垂线性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)垂线性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。3.垂线的画法：过直线上一点画已知直线的垂线；过直线外一点画已知直线的垂线。注意：画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。画法：一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，二移：移动三角尺使一点落在它的 另一边直角边上，三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。4.点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。应当结合图形进行记忆。如图，POAB，同 P 到直线 AB 的距离是 PO 的长。PO 是垂线段。PO 是点 P 到直线 AB所有线段中最短的一条。 现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。5.如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念。分析它们的联系与区别。垂线与垂线段区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量 长度。联系：具有垂直于已知直线的共同特性。(垂直的性质)两点间距离与点到直线的距离区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离 是点与直线之间。联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与 垂足)间距离。线段与距离距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。二、平行线1.平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线 a 与直线b 互相平行，记作 a b 。2.两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交；平行。因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也同样（这里，我们把重合的两直线当作一条直线） 判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来拟定：有且只有一个公共点，两直线相交；无公共点，则两直线平行；两个或两个以上公共点，则两直线重合（由于两点拟定一条直线）3.平行公理平行线的存在性与惟一性 通过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。4.平行公理的推论假如两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。如左图所示，b a ， c a b c注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才干得出结论，这两条直线都平行。5.三线八角两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。如图，直线 a, b 被直线 l 所截。1 与5 在截线l 的同侧，同在被截直线 a, b 的上方， 叫做同位角（位置相同）5 与3 在截线l 的两旁（交错），在被截直线 a, b 之间（内），叫做内错角（位置在内且交错）5 与4 在截线l 的同侧，在被截直线 a, b 之间（内），叫做同旁内角。三线八角也可以成模型中看出。同位角是“A”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U” 型。6.如何判别三线八角判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全。例如：如图，判断下列各对角的位置关系：1 与2；1 与7；1 与BAD；2与6；5 与8。我们将各对角从图形中抽出来（或者说略去与有关角无关的线），得到下列各图。 如图所示，不难看出1 与2 是同旁内角；1 与7 是同位角；1 与BAD 是同旁内角；2 与6 是内错角；5 与8 对顶角。7.两直线平行的鉴定方法方法一 两条直线被第三条直线所截，假如同位角相等，那么这两条直线平行简称：同位角相等，两直线平行方法二 两条直线被第三条直线所截，假如内错角相等，那么这两条直线平行简称：内错角相等，两直线平行方法三 两条直线被第三条直线所截，假如同旁内角互补，那么这两条直线平行简称：同旁内角互补，两直线平行几何符号语言： 32 ABCD（同位角相等，两直线平行） 12 ABCD（内错角相等，两直线平行） 42180 ABCD（同旁内角互补，两直线平行）请注意书写的顺序以及前因后果，平行线的鉴定是由角相等，然后得出平行。平行线的鉴定是写角相等，然后写平行。注意：几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系，常由“位置关系”决定其“数量关系”，反之也可从“数量关系”去拟定“位置关系”。上述平行线的鉴定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”， 鉴定两直线“平行”这种“位置关系”。根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的鉴定方法尚有两种：假如两条直线 没有交点（不相交），那么两直线平行。假如两条直线都平行于第三条直线，那么这两条 直线平行。典型例题：判断下列说法是否对的，假如不对的，请给予改正：不相交的两条直线必然平行线。在同一平面内不相重合的两条直线，假如它们不平行，那么这两条直线一定相交。过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行解答：错误，平行线是“在同一平面内不相交的两条直线”。“在同一平面内”是一项重要 条件，不能漏掉。对的不对的，对的的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”。由于假如这一点不在 已知直线上，是作不出这条直线的平行线的。典型例题：如图，根据下列条件，可以鉴定哪两条直线平行，并说明鉴定的根据是什么？解答：由2B 可鉴定 ABDE，根据是同位角相等，两直线平行；由1D 可鉴定 ACDF，根据是内错角相等，两直线平行；由3F180可鉴定 ACDF，根据同旁内角互补，两直线平行。三、平行线的性质1.平行线的性质：性质 1：两直线平行，同位角相等；性质 2：两直线平行，内错角相等；性质 3：两直线平行，同旁内角互补。几何符号语言：ABCD12（两直线平行，内错角相等）ABCD32（两直线平行，同位角相等）ABCD42180（两直线平行，同旁内角互补）2.两条平行线的距离如图，直线 ABCD，EFAB 于 E，EFCD 于 F，则称线段 EF 的长度为两平行线 AB与 CD 间的距离。注意：直线 ABCD，在直线 AB 上任取一点 G，过点 G 作 CD 的垂线段 GH，则垂线段GH 的长度也就是直线 AB 与 CD 间的距离。3.命题：命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。命题的组成：每个命题都是题设、结论两部分组成。题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项。 命题常写成“假如，那么”的形式。具有这种形式的命题中，用“假如”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论。有些命题，没有写成“假如，那么”的形式，题设和结论不明显。对于这样的命题，要通过度析才干找出题设和结论，也可以将它们改写成“假如，那么”的形式。注意：命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知”或者“若”等形式表述；命 题的结论部分，有时也可用“求证”或“则”等形式表述。4.平行线的性质与鉴定平行线的性质与鉴定是互逆的关系两直线平行=同位角相等；两直线平行=内错角相等；两直线平行=同旁内角互补。其中，由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的鉴定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质。典型例题：已知1B，求证：2C证明：1B（已知）DEBC（同位角相等， 两直线平行） D2C（两直线平行同位角相等）注意，在了 DEBC，不需要再写一次了，得到了 DEBC，这可以把它当作条件来用了。典型例题：如图，ABDF，DEBC，165 求2、3 的度数。解答：DEBC（已知）2165（两直线平行，内错角相等）ABDF（已知）ABDF（已知）32180（两直线平行，同旁内角互补）3180218065115四、平移1.平移变换把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小 完全相同。新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是相应点连接各组相应点的线段平行且相等2.平移的特性：通过平移之后的图形与本来的图形的相应线段平行（或在同一直线上）且相等，相应角 相等，图形的形状与大小都没有发生变化。通过平移后，相应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。典型例题：如图，ABC 通过平移之后成为DEF，那么：点 A 的相应点是点；点 B 的相应点是点。点的相应点是点 F；线段 AB 的相应线段是线段；线段 BC 的相应线段是线段；A 的相应角是。的相应角是F。解答：D；E；C；DE；EF；D；ACB。 思维方式：运用平移特性：平移前后相应线段相等，相应点的连线段平行或在同一直线上解答。