借助表格,辅助数学概念教学——以“三角函数”为例.pdf

投稿邮箱院数学教学通讯 2023 年 10 月（中旬）作者简介院于春梅（1977），本科学历，中学高级教师，从事初中数学教学与研究工作.表格是理科教学的重要辅助工具之一，具有简洁明快、条理清晰、对比鲜明、一目了然等特点，其应用较为广泛，如数据分析、工程造价、分类管理与生产管理等领域都有涉及.概念是数学的基本组成部分，是对数学现象的高度概括，具有一定的抽象性与枯燥性咱1暂.实践证明，巧妙地将表格融合到概念教学中，能让学生通过比较，更好地提炼出概念的内涵.教学简录1.表格导入袁发现问题课堂导入是一节课的起点，对一堂课的情感基调起着决定性的作用.表格导入法，充满着“数学味”，既简洁明了，又容易吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，为发现问题、提出问题奠定基础.本节课，笔者选择开门见山的导入方式，要求学生按照以下步骤进行操作：（1）在草稿纸上画一个蚁A=30毅；（2）在蚁A的一条边上任意取点B，向另一边作BC彝AC，C为垂足；（3）分别测量线段AB，BC的长度（精确到mm）；（4）计算BCAB，将值填入表1（要求学生以合作学习的小组为单位，填写表格）：BCABBCAB表1师：通过对表格的观察，我们发现哪个量在不断地变化，哪个量却没有发生变化？由此你们能获得什么结论？生1：随着点B位置的变化，AB，BC的长度也在发生改变，但BCAB的值却一直没有发生变化.师：很好！我们一起来观察，AB，BC之间是否存在一定的联系呢？生2：确实有联系，点C的位置取决于点B的位置.师：由此，大家觉得我们可以探讨什么问题呢？生3：我们可以思考为什么点B的位置发生了改变，AB，BC的长度也会发生改变，但BCAB的值却一直不变？生4：还可以探讨BCAB的值不发生变化，是由什么来决定的？是不是与蚁A的度数一直没有变化有关呢？师：非常好！这是两个值得分析的问题，接下来我们就一起来探究这两个问题.设计意图 在学生自主画角的基础上袁 安排小组合作的模式进行交流并填写表格袁 便于学生快速观察到其中所蕴含的一些规律.在表格填写没有误差的情况下袁 学生能轻易地发现BCAB的值并不会随着点B借助表格，辅助数学概念教学以“三角函数”为例于春梅山东省东营市实验中学257091摘要文章以“三角函数”的概念教学为例，具体从“表格导入，发现问题；表格类比，探究问题；表格抽象，获得概念；表格练习，辨析概念；表格追问，应用概念”等方面谈谈如何巧用表格，优化数学概念教学.关键词概念；表格；教学 教学实践28投稿邮箱院数学教学通讯2023 年 10 月（中旬）教学实践29投稿邮箱院数学教学通讯 2023 年 10 月（中旬）过蚁A一条边上的点B作垂线，请判断以下各种操作方法的正确性，并改正错误结论.（见表5）表5sinABCABBCABBCABBCAB是否正确袁若不正确请改正ACABCABBACBAC生16：我认为第一、三列的两张图的表达与题意相符，其他两张图是错误的.师：哦？说说你这么判断的理由是什么呢？生16：我就是目测图形而得到的结论.生17：我认为第一、四列的两张图与题意相符，其他两张图表达得不正确.刚刚这位同学是从图的模样进行的判断，这种方法不够严谨，比如将第四列的图调转位置，则与第一列的图一样.因此，本题应从分子与分母的角度进行判别，即分别从对应三角形的直角边与斜边进行考虑.师：那么正弦函数sinA是不是可以确定为对应直角三角形直角边比斜边的值呢？生18：这么表达还不够严谨，应该说是蚁A所对应的直角三角形中，蚁A的对边长与斜边长的比值.师：为什么要这么明确地表示呢？生19：只有明确好每一个条件，才能让sinA=BCAB得以确定.师：非常好！如此说来，蚁A的大小确定后，那么sinA=BCAB的值也是确定的，且sinA的值与点B的位置并无关联.现在我们再回过头来探讨生8提出的问题，其他类似的比值，是否也是确定的呢？生20：对于直角三角形来说，三条边的比还存在其他两对，通过填表可以发现其他两对边的比值也是确定的，可通过相似三角形的比例关系而得.（边说边填写表格，见表6）BCABACABBCAC与点B位置无关无关无关三角函数sinA渊正弦冤cosA渊余弦冤tanA渊正切冤表6CAB师：如表格所示，直角三角形中的其他两个比，分别定义为蚁A的余弦与正切.设计意图 通过正例与反例来辨析数学概念的内涵与外延是常用的概念教学法袁 这种方法能有效地深化学生对概念的认识与理解.此设计袁 意在利用表格呈现几幅易混淆的图形袁 让学生从各类图形中发现正弦概念的本质要要要在直角三角形中求正弦函数值袁实质为蚁A的对边和斜边的比值袁而非形式化的BCAB的值.这种设计方式袁能有效防止学生形成思维定式袁 从而对概念形成一种假性理解.同时袁沿着之前的探究之路袁通过表格的方式袁另外两种三角函数也在类比中水到渠成.5.表格追问袁应用概念练习：已知在Rt吟ABC中，蚁C为直角，CD为斜边AB上的高，若AB=5，AC=3，则蚁A的三角函数值是多少？由学生审题、分析，教师顺势将学生的答案填入表格.生21：根据勾股定理，已知AB=5，AC=3，则可确定BC=4，此时可明确蚁A的三角函数值.生22：生21是利用Rt吟ABC来获得的结论，其实用Rt吟ACD也可以获得答案，即先求出BC的值为4，再获得CD的值，而后分别获得AD袁BD的值.师：具体过程是怎样的？生22：利用面积法，12AB CD=12BC AC，解得CD=125，AD=95.生23：也可以从Rt吟DBC着手，通过勾股定理或根据AD的值获得BD=165.师：说说这么解的理由是什么.生23：这么解的关键在于蚁A=蚁DCB.师：通过对表7的观察，大家有什么发现？师院你是怎么算的呢钥sinA利用Rt吟ABC袁sinA=BCAB计算袁得到sinA=45袁cosA=35袁tanA=43利用Rt吟ACD袁sinA=CDAC计算袁得到sinA=45袁cosA=35袁tanA=43利用Rt吟DCB袁sinA=sin蚁DCB=BDBC计算袁得到sinA=45袁cosA=35袁tanA=43表7生24：从表格来看，从三个不同的直角三角形中计算蚁A的三角函数值，结论都一样，由此基本可以确定三角函数和角的大小有着直接关系，与其所在的三角形并没有什么联系.也就是说，同一角度的三角函数值是相等的.设计意图 追问的应用袁促使学生从不同的直角三角形中计算蚁A的三角函数值袁 教师将每一种解题方法都罗列在表格中袁 让学生能一目了然地发现其中所存在的内在联系袁 从而真切感知到一个角的三角（下转第 41 页）教学实践30投稿邮箱院数学教学通讯2023 年 10 月（中旬）教学实践41