数学二级结论.doc

文中的sqrt=开平方。。
‘第一结论
不动点通法 数列通项放缩问题
国一各种数列压轴题 通杀
不动点的求法：比如X(n+1)=f(Xn)
令f(Xn)=Xn 解出Xn=a或者a,b两解
那么a,b就为Xn不动点
不动点意义是什么呢？ 就是Xn的极限 即Xn<a
高考里你只需要取大根就好，小根忽视
比如10年国一22(2) 看解法 你可以选08 07 的国一照套用
核心思想：有关数列通项的相关问题，先化简Xn-a(a为不动点)会得到很多Xn的性质
题目再现：a1=1 a(n+1)=c-1/an
求使不等式an<an+1<3的c的取值范围
解an=c-1/an 令an=x 得 x=(c+sqrt(c^-4))/2
显然就是证x<3嘛 ，但是不能直接书写，看以下书写通法

a(n+1)-x=c-1/an-x 化简 （注意化简技巧，目标是得到a(n+1)-1=k(an-1) ,注意化简的时候要用到cx-x^2=1）
an+1 - x = (can-1-xan)/an
即an+1 - x = (can-cx+x^2-xan)/an
即an+1 - x = [c(an-x)-x(an-x)]/an=(c-x)/an*(an-x)
(c-x)/an 是一个 正数 根据【同号性】（极其重要） an+1 - x和an - x同号
a1-x=1-x

因为an+1>an a2=c-1/a1=c-1
c-1>1 所以c>2

所以a1-x=1-x<0

回头看这个：
即an+1 - x = [c(an-x)-x(an-x)]/an=(c-x)/an*(an-x)

(c-x)/an 是一个 正数 根据【同号性】（极其重要） an+1 - x和an - x同号
a1-x<0所以a2-x<0....an+1-x<0
即an+1<x
即题目变成an<an+1<x<3恒成立求x的范围
解x<3得到答案

这是真正的通法 是所有考察数列通项问题的通法，这是高数内容 别忘了是谁出的题……大学教授，都带有高数味儿得

小结论
C:y^2=2px
过x轴上(a,0)点与C相交，存在
x1x2=a^2
无数小题用此结论减免思维强度

连10年解几第一问也可以用这个证明（三点共线那个） 你想想 过(-p/2,0)的直线交C于A(x1,y1)B(x2,y2) B'(x2,-y2) 让你证AB'过焦点
你想想 x1x2只和a^2有关，也就是在x1x2相同时 a有两个解 一个解已知是-p/2 另一个解必然是p/2啊……
极坐标：秒杀焦点弦

我们是大纲版 不学极坐标，所以考试小题常出焦点弦问题
没学过极坐标的别记专有名词 这样记以下公式

椭圆 过F作直线交C于AB，设AF=r1 BF=r2
目测谁比较长 如r1比较长则r1=ep/1-ecos日
日为过F的直线的倾斜角
p为焦准距

双曲线
单支和椭圆一样
交于两支时 r=ep/ecos日 +- 1 比较长的那个取负 短的那个取正

抛物线
r=p/1 -+ cos日
（抛物线e=1）

以上三者的焦点弦R=r1+r2长为
R=|2ep/1-e^2cos^2日|

这个公式和焦半径公式相辅相成 轮换使用 解几小题任意秒
另附 焦半径公式中 双曲线的速记口诀
左加右减套绝对值，同边开负，异边开正
举例解释
比如在双曲线右支 到右焦点的距离r=|a-ex0| （左加右减套绝对值）
由于是同边（右支右边） 所以绝对值开负号 r=ex0-a

技巧
09山东22题告诉我们……
过原点的两条线段r1 r2相互垂直时，A点可设为A(r1cos日,r1sin日) B(-r2sin日,r2cos日)
——因为AO BO垂直 这些关系可以用倾斜角表示
S(2n-1)=(2n-1)an
这种强大的公式不懂你就亏了
四面体体积公式
V=1/6(abhsin日)
a，b是两条对楞的长，h是对棱的异面距离，日是对棱的夹角
这个有关立体几何中的开放式问题 （极值，交点个数，还有北京卷那个与xyz哪个有关的）
近年来的热点 这类题基本出在正方体或者长方体中

用退化的 空间解析几何处理 这类题可以秒杀，这个要画图 有需要的童鞋回一下 我就画图
公式异常重要，比如10年国一12题，用这题套公式秒杀
还有这个
在O-xyz 坐标系中 某条过O的直线和x y z分别成 a b c 度角
有
cos^2 a + cos^ b + cos^2 c =1
这个有什么用呢？
已知两个角 求第三个角 用于有些图形恶心的立几大题中建立坐标系
双曲线焦点到渐近线的距离=b
过双曲线两顶点作垂直于x轴的直线和渐近线交与四点 形成一个矩形
则 斜边为c 另一条直角边为b
我们来看看圆锥面

是一个三角形旋转一周所得

意味着该圆锥母线和底面所成的角恒为定值
所以【研究线面成定角问题可以用圆锥面分析】
立体几何中解析几何中 凡涉及线段中点问题的 绝大多数和三角形中位线有关

遇到排列组合难题 尤其是三个限制条件的 一定要用容斥原理
举个例子：
P要满足A,B,C，求P的方法数
画个韦恩图
U是全集 画个大框框 在上面画3个圈 非A 非B 非C （要看看他们是否有交集，一般是有的）

看到图你知道该怎么算了吧

P=U-(A+B+C)+A交B+A交C+B交C-A交B交C

两个条件的我就懒得打字啦
有关离心率问题 很多命题点在这里
椭圆离心率e^2=1-(b/a)^2
双曲线：e^2=1+(b/a)^2
看到了吧 都和一个参数t=(b/a) 有关
双曲线渐近线方程可设为b^2x^2-a^2y^2=0
看到了么 这可是二次方程形式哟 可以避免讨论一些东西
比如有两焦点 可以舍而不求的联立使用韦达定理2
画一个双曲线，比如P在右支上 连接PF1 PF2

1.若PO=F1O=F2O 则<F1PF2为90°
2.PO<OF1 则<F1PF2为钝角
3.PO>OF1 则，，，，为锐角
导函数为二次函数时 注意原函数有极值的条件是在定义域内△>0
【这是一个你死也要记住的不等式链】
sqrt[(a^2+b^2)/2]>=(a+b)/2>=sqrt(ab)>=2/(1/a+1/b)
注意2/(1/a+1/b) 也就是2ab/a+b
这个不等式链 在配凑性消元 正负对消上有很大用途

但是均值不等式一定是单向放缩的 一般求双最值问题 一定要涉及到求导
切记
等差数列Sn=(d/2)n^2+(a1-d/2)n 这是二次函数表达式 很多小题就是以这个为基本命题的
S(2n-1)=(2n-1)an 你一看到等差数列和，下标又是奇数的 赶紧用啊……
等比数列Sn=m+mq^n 其中m=a1/1-q
这个是肯定要记的，很多放缩就是放缩到等比数列 然后选一个小于1的公比q 你观察，Sn的极限不就是a1/1-q可以用来证明(bn是等比)
a1+a2+a3+...+an<b1+b2+....+bn（通过单项放缩）<a1/1-q<=题目要求值

cos75°=1/sqrt(6)+sqrt(2)
sin75°=1/sqrt(6)-sqrt(2)

自己推15°的啊。。。。这个我做数学和物理真题的时候遇到过…… 物理尤其光学题……
对于R上的奇函数 如果周期为T 则有f(T/2+nT)=0
可以用奇X奇=偶函数 偶X奇=奇 来变幻函数性质
比如如果f(x)为偶 则 f(x)/x 为奇

注意这种构造法
|b2n-bn|=|b2n-b(2n-1)+b(2n-1)-b(2n-2)+..........+b(n+1)-bn|<=|b2n-b(2n-1)+b(2n-1)|+|b(2n-1)-b(2n-2)|+.....+|b(n+1)-bn|
圆锥曲线快速求直线和圆锥曲线交点的中点

1.先点差
kOM*kAB=-b^2/a^2 => y0/x0 * k = -b^2/a^2
2.和l联立消去x,y （别弄走了k)

抛物线中利用参数方程很多情况下可以大幅度减少运算
y^2=2px的参数方程(2pt^2,2pt)
比例性质——专业化简啊！

分比性质
a/b=c/d <=> (a-b)/b=(c-d)/d
合分比性质
(a+b)/(a-b)=(c+d)/(c-d)
和比差比就不提了 初中公式不懂自己查吧

这俩公式 尤其下面的，平时遇到分式类的题可以试着用用就上手了
已知过x轴上一点方程 一定要设为my=x-c
为什么？ 它包括了斜率不存在的情况，可以避免讨论

对存在性问题，可以从特殊条件出发，进而再证明这个值就是一般情况下的值

平面上任意一点P(x,y)都可以表示为
x=|OP|cosθ
y=|OP|sinθ

有什么用途呢？ 比如有OA OB 他们互相垂直
你会发现神奇的事情
详见2009年山东理22(2)
三次函数具有对城中心P((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)
(x1<x2 他们都是极值点)
动态问题一般核心思想是：动中找静，双动则定一
找出题中定死不变的量，有可能它是显性的有可能是隐形的

比如2009全国2 16
两点间距离空间版
PQ^2=d1^2+d2^2+d^2-2d1d2cosθ
d1,d2为PQ到 二面角P-l-Q的l的距离
d为PQ在l上投影
θ为二面角大小

这个结论很好证，主要是画图 勾股定理
极值问题 一般都出在自变量为d或者为θ的时候
f(x)+k=0解的个数
y=f(x)
y=-k
看图说话
这个思想用于无数的导数压轴题和选填
过(a,0)点向y^2=2px 作直线有交点
存在
x1x2=a^2

这可以用来解很多小题和部分大题（2010国卷21题（1））

原话摘抄；

在涉及最值问题时，不要急于思索搜寻所谓的类型和方法，【认真，准确的化简，整理表达式才是关键】我们总是根据【整理的结果选择适当方法】结果未出的种种设想都是无谓的干扰

见 切点 过圆心 出直角，这是一重要的平面几何知识

可以转化为三角等问题
对f(x)=|x-x1|+|x-x2|+....+|x-xn|
设x1<x2<x3....<xn
n为奇数时 x取中间点时f(x)有min值
n为偶数时，x取中间两点任意一点可以取min值

别以为这个没用，高考题有一些题是以这个为模型 的
模拟题这个见得太多了……一大把
原文摘抄：
面对有函数的试题，首先要毫不迟疑的确定其定义域，即使没有要求，也要这么做，即【定义与优先】
此外，对给定函数 即便题目没有设问，也要从 单调性 奇偶性 周期性等角度对其全方位查体
在单调性中，增减性几何意义
增:离y轴越近，函数值越小
减:离y轴越近，函数值越大
注意是距离，距离怎么表达的？ 想起来了？
举个简单例子
y=x^2中函数值比4小的x的结集？
f(x0)=4 x0=2
|x|<2
f(x2)-f(x1)
------------ < 0
x2 - x1
的几何意义是，斜率值恒<0 斜率是什么？ 导数<0 说明f(x)恒递减
他的变式是
f(x2)+g(x2)-[f(x1)+g(x1)]
------------------------
x2 - x1

想什么呢？构造t(x)=f(x)+g(x)呀

f(a+x)+f(b-x)=2c f(x)有对城中心(a+b/2,c)

y=f(a+wx)
y=f(b-wx)
这俩函数关于x=b-a/2w对称
三角平移问题速解（就是那种已知一个三角函数 又知另一个三角函数问平移情况或者参数变化情况）

可以取特殊点——即原三角函数的第一个最值(不能取0点）
再对比新三角函数的第一最值，你就知道怎么移动了、、

（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）