奇偶性的典型例题.doc

函数的奇偶性
一、关于函数的奇偶性的定义
定义说明：对于函数的定义域内任意一个：
⑴ 是偶函数；
⑵奇函数；
二、函数的奇偶性的几个性质
①、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；
②、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；
③、可逆性： 是偶函数；奇函数；
④、等价性：，
⑤、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；
⑥、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
三、函数的奇偶性的判断
判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：
第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查是否与、 相等，判断步骤如下：
1、定义域是否关于原点对称；2、数量关系哪个成立；
例1：判断下列各函数是否具有奇偶性
⑴、 ⑵、 ⑶、
⑷、 ⑸、 ⑹、
注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。
例2：判断函数的奇偶性。

第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：奇+奇= ，偶+偶= ，偶+奇= ，奇×奇= ，偶×偶= ，奇×偶= .

0
1
2
1
X
Y
图（一）
四、关于奇偶函数的图像特征

例1：已知偶函数在轴右则时的图像如图（一）试画出函数轴右则的图像。
五、关于函数奇偶性的简单应用

1、利用奇偶性求函数值
例1：已知且，那么

2、利用奇偶性比较大小
例2：已知偶函数在上为减函数，比较，，的大小。

3.利用奇偶性求解析式
例3：已知为偶函数，，求的解析式？

4、利用奇偶性讨论函数的单调性
例4：若是偶函数，讨论函数的单调区间？

5、利用奇偶性判断函数的奇偶性
例5：已知函数是偶函数，判断的奇偶性。

6、利用奇偶性求参数的值
例6：定义在R上的偶函数在是单调递减，若，则的取值范围是如何？

7、利用图像解题
例7（2004.上海理）设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如右图,则不等式的解是 .

8.利用定义解题
例8.已知函数，若为奇函数，则________。