52微积分基本公式习题.doc

1设函数，求，。【解】由题设得，于是得 ，。2计算下列各导数：；【解】。；【解】。；【解】。【解】。3设函数由方程所确定，求。【解法一】方程中完成积分即为 ，亦即为 ，得知，解出，得，于是得。【解法二】在方程两边对求导，注意到，得即得 ，亦即，解出，得，方程中完成积分即为 ，亦即为 ，得知，再将代入中，得。4设，求。【解】问题是由参数方程求导【解法一】。【解法二】。5求下列极限：；【解】这是“”未定型极限，应用洛必达法则，得。；【解】这是“”未定型极限，应用洛必达法则，得 - 应用洛必达法则 - 再次应用洛必达法则。；【解】这是“”未定型极限，应用洛必达法则，得 - 应用洛必达法则 - 完成求导 - 整理。【解】这是“”未定型极限，应用洛必达法则，得 - 应用洛必达法则 - 完成求导 - 分子分母同消去 - 再次应用洛必达法则 - 分子分母同消去。6当为何值时，函数有极值。【解】由给定的函数可见，其定义域为，由于，可得有唯一驻点，无不可导点，显见，当时，当时，可知，函数在点处取得极小值。7计算下列定积分：；【解】。；【解】。；【解】。；【解】。；【解】。；【解】。；【解】。；【解】。；【解】。；【解】。；【解】。，其中。【解】。8设，求在上的表达式，并讨论在内的连续性。【解】当时，；当时，；当时，；当时，当时，于是，由于初等函数在内连续，初等函数在内连续，故要讨论在内的连续性，仅须讨论在处的连续性，由于，且，可知在处连续，从而，在内连续。9设，求在内的表达式。【解】当时，当时，当时，于是得。10设，求。【解】对等号两端在区间上积分，注意为常数，得即有 ，移项，整理即得 。11已知，求。【解】问题在于求出和，可应用上题的方法，对等号两端在区间上积分，注意和均为常数，得 即有 ，移项、整理得 ，将其代入题目已知式，得，再对上式的等号两端在区间上积分，得即有 移项、整理得 ，最后得 。12设（），求。【解】由题设，得，且于是又得 ，从而有 ，这时有 ，代入，得 ，即，得到 。13设连续，若满足，求。【解】设，则，于是，再由题设，得，即得，两边求导得 ，即有 ，从而 ，？14设函数在区间上连续，在内可导且，证明：在内有。【证明】任取，则由题设有，函数在区间上连续，在内可导且，那么对于函数，有，令，则由已知在内可导且，得恒成立，可知，在上单调递减，由于，得知在上成立，从而在上成立。再因的任意性，知在内有。证毕。