产品混合问题.doc

案例　产品混合问题
一．问题的提出
TJ公司生产3种坚果什锦产品，分销给遍布东南地区的食品连锁店。产品有3个品种，分别是普通型、高级型和假日型，不同品种的区别就是各种坚果的比例不同。为了秋季的生产准，TJ公司购入了一批坚果，价格和类别如下：
坚果类别　 运量(公斤)　 运输费用(美元)
坚果类别　 运量(公斤)　 运输费用(美元)
杏仁　　　　6000　　　　7500
巴西果　　　7500　　　　7125
榛子　　　　7500　　　　6750
核桃　　　　6000 7200
胡桃 7500 7875
表一
普通型的产品含有15%的杏仁，25%的巴西果. 25%的榛子，10%的核桃，25%的胡桃。高级型的产品各种坚果均含20%。假日型的产品含有25%的杏仁，15%的巴西果. 15%的榛子，25%的核桃，20%的胡桃。
TJ公司的会计对包装材料费用、售价等数值进行分析后预测，每公斤普通型产品的利润是1. 65美元，每公斤高级型产品的利润是2美元，每公斤假日型产品的利润是2.25美元。这些数值没有包括坚果的价格，因为它们的价格变化非常大。
客户的订单如下：
产品类别
订货量
普通型
高级型
假日型
10000
3000
5000
表二
因为对产品的需求在不断增加，预计TJ公司将会获得大于其生产能力的订单。
TJ公司的目的在于合理安排坚果产品的类型，使公司的利润最大；公司不用的坚果都捐献给当地的慈善机构。还有，无论盈利与否，公司都将满足已经签署的订单。
管理报告：
分析TJ公司的问题，并准备一个报告向TJ公司总经理简要介绍一下你的观点。报告的内容必须包括以下几个方面：
1． 普通型、高级型和假日型坚果产品的成本。
2． 最优生产组合和总利润。
3． 如果还可以购买一些坚果，分析如何才能使产品的利润增加。
4． 思考公司是否应该从一个供应商那里再以1000美元的价格购入1000公斤的杏仁。
5． 如果TJ不必满足全部的已签订单，公司会增加的利润量。
二．模型的建立与求解
这是线性规划的范畴，而且是一个小规模问题.
1. 设计变量，记普通型的产品为X1、高级型的产品为X2、假日型的产品为X3（单位:公斤）
2. 约束条件：包括三部分：
（1） 供给约束：由表一，有
0.15 X1+0.2 X2+0.25 X3 ≤6000
0.25 X1+0.2 X2+0.15 X3 ≤7500
0.1 X1+0.2 X2+0.25 X3 ≤6000
0.25 X1+0.2 X2+0.2 X3 ≤7500
（2）需求约束：由表二，有
X1≥10000
X2≥3000
X3≥5000
（3）非负约束：
Xj≥0 j=1，2，3
3.目标函数：
由于TJ公司的目的在于使公司的利润最大；公司不用的坚果都捐献给当地的慈善机构。还有，无论盈利与否，公司都将满足已经签署的订单。所以，可将目标函数选作利润最大化.
于是，可得出基本（LP）模型如下：
（LP） Max Z=1.65 X1+2 X2+2.25 X3
三、计算结果及分析
（一） 计算结果
1.普通型、高级型和假日型坚果产品的成本分别为：生产一公斤普通型坚果产品需要0.15公斤的杏仁，0.25公斤的巴西果. 0.25公斤的榛子，0.1公斤的核桃，0.25公斤的胡桃。所需成本为1.0325美元每公斤：高级型的产品各种坚果均含0.2公斤，所需成本为1.07美元每公斤。假日型的产品含有0.25公斤的杏仁，0.15公斤的巴西果.0.15公斤的榛子，0.25公斤的核桃，0.2公斤的胡桃，所需成本为1.1美元每公斤。

坚果类别
运量（公斤）
运输费用（美元）
单位运价
普通型
高级型
假日型
杏仁
6000
7500
1.25
1.0325
1.07
1.1
巴西果
7500
7125
0.95

榛子
7500
6750
0.9

核桃
6000
7200
1.2

胡桃
7500
7875
1.05

2.最优生产组合和总利润。
（1）计算结果
**********************最优解如下*************************

目标函数最优值为 : 61375
变量 最优解 相差值
------- -------- --------
x1 17500 0
x2 10625 0
x3 5000 0
约束 松弛/剩余变量 对偶价格
------- ------------- --------
1 0 8.5
2 250 0
3 875 0
4 0 1.5
5 7500 0
6 7625 0
7 0 -.175
目标函数系数范围 :
变量 下限 当前值 上限
------- -------- -------- --------
x1 1.5 1.65 2
x2 1.892 2 2.2
x3 无下限 2.25 2.425
常数项数范围 :
约束 下限 当前值 上限
------- -------- -------- --------
1 5390 6000 6583.333
2 7250 7500 无上限
3 5125 6000 无上限
4 6750 7500 7750
5 无下限 10000 17500
6 无下限 3000 10625
7 0 5000 9692.308
最有生产组合：
X1::17500
X2:10625
X3:500
则最有利润
（LP） Max Z=1.65 X1+2 X2+2.25 X3=61375
（二） 分析与讨论
（三） 变动参数值及再计算
**********************最优解如下*************************

目标函数最优值为 : 66333.33455
变量 最优解 相差值
------- -------- --------
x1 11666.667 0
x2 17916.667 0
x3 5000 0
约束 松弛/剩余变量 对偶价格
------- ------------- --------
1 416.667 0
2 250 0
3 0 5.667
4 0 4.333
5 1666.667 0
6 14916.667 0
7 0 -.033
目标函数系数范围 :
变量 下限 当前值 上限
------- -------- -------- --------
x1 1 1.65 1.75
x2 1.976 2 3.3
x3 无下限 2.25 2.283
常数项数范围 :
约束 下限 当前值 上限
------- -------- -------- --------
1 6583.333 7000 无上限
2 7250 7500 无上限
3 4210 6000 6250
4 7250 7500 7750
5 无下限 10000 11666.667
6 无下限 3000 17916.667
7 0 5000 15529.412
最优解为:
X1: 11666.667
X2: 17916.667
X3:500
则最有利润
（LP） Max Z=1.65 X1+2 X2+2.25 X3=66333.3345

（四）综合评判及结果
四、一点思考
由基本模型（LP）的目标函数及决策准则来看，它具有单一性，即追求总量最大。而从企业的要求来看，还需考虑资金周转、环境保护、资源合理利用以及企业生存等多方面的因素，因此，企业所指的“效益最佳”具有系统性。这两者之间的差异，甚至冲突，应属运筹学工作者在应用研究中经常遇到的问题，也是需要合理解决的问题。而解决这个问题的关键之一是：运筹学工作者在理念与工作方式只具有开放性，也就是说，不能只拘泥于运筹学书本及文献资料，而应进入实际，与相关人员、相关学科相结合、交叉、渗透、互补，从而达到技术可行、经济合理以及系统优化的目的。
经验表明：在运筹学实际应用的项目中，很少遇到运筹学“独步天下”的情况。如在此案例中，它属于线性规划的一个典型应用领域，即使如此，运筹学在其中也不能包揽一切，它可以起着骨架及核心作用，但若无其他方面的配合，也不能达到圆满成功。