42换元积分法第一类换元法.doc

§4.2 换元积分法
Ⅰ 授课题目
§4.2 换元积分法（第一类换元法）
Ⅱ 教学目的与要求：
1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”， .
2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分.
Ⅲ 教学重点与难点：
重点：第一换元法的思想，
难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分.
Ⅳ 讲授内容：

一、第一类换元积分法
设具有原函数，.若是中间变量，，可微，则根据复合函数求导法则，有
。
所以根据不定积分的定义可得：

以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有
.
以上就是第一换元积分法。
从以上可以看出，虽然是一个整体记号，但是被积表达式中的可当作变量x的微分来对待,从而上式中的可以看成是的微分，通过换元，应用到被积表达式中就得到.
定理1 设具有原函数，可导，，则
(1)
如何应用公式(1)，在求不定积分积分时, 如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式的形式, 那么
.
所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积来.
例1 求
解 ，可设中间变量，
，
所以有.
首先观察被积函数的复合函数是什么样的，然后看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。
例2
解
令，显然，
则.
在比较熟练后，我们可以将设中间变量的过程省略，从而使运算更加简洁。
例3
解 如将展开是很费力的，不如把作为中间变量，，
.
例4
.
例5

例6 求

.
二、掌握几种典型的“凑微分”的方法
； ； ；
； ； ；
； ； ；
；； 。
三、利用第一换元积分法法计算有关函数的不定积分

计算有关函数的不定积分时，需要先把被积函数变形转化，再利用第一换元积分法计算.
例7 求
解
.（此题利用三角函数中的降幂扩角公式）
例8求
解 .
利用，有如下例题
例9 求
解

例10求
解 .
利用，
例11 求 习题 4-2:2(30)
解 .
例12 求
解
.
例13 求
解
.
此题利用
下面几个例题利用
例14 求
解 .
又如习题 4-2:2（16）;
解
.
例15 求
解
.
第一次课可以讲到这里.

被积函数是分母是二次函数,分子是常数或一次函数的有理分式函数的不定积分的求法
(例16～例22六个例题)
例16求 分子是常数，分母是二次二项式，没有一次项.
解 .
例17 被积函数分母是一个完全平方式
解 .
被积函数分母是一个完全平方式，被积函数化为
例18 分子是常数，分母是二次三项式，不是完全平方式
解

被积函数分母是二次三项式且不可以分解因式，不是完全平方式时可以把分母配方化为的形式， 然后利用
练习：求（第一换元积分法分）
解 ，

例19 求 分子是常数，分母是二次三项式且可以分解因式
解

.
被积函数分母是二次三项式且可以分解因式，被积函数可以用裂项法转化为两个简单分式的差.

例20求 分子是一次多项式，分母是二次多项式
解
.
例21求
解 ，则

.
被积函数分子是一次多项式，分母是二次多项式时，首先把分子凑成分母的导数.
下面几个例题利用三角函数的微分公式：
；；；
例22 求 （化切为弦）
解
例23 求
解

例24 求

.
因为 .
所以 .
此题用三角万能公式代换也可以
.
例25 求
解
.

例26 求（利用三角函数积化和差公式）
和差化积公式 积化和差
；
解 根据三角函数的积化和差公式：

.
由以上例题可以看出，第一换元积分法是一种非常灵活的计算方法，始终贯穿着“凑微分”思想，因此学生应熟悉这些基本例题。

Ⅴ 归纳总结
1.第一换元法是把被积函数g(x)凑成的形式然后应用公式
；
2.要熟练掌握几种典型的“凑微分”的方法。
；；；；；；；；；；；.
3.熟练掌握几种典型用第一换元积分法计算的不定积分
；；； ；
Ⅵ 课堂练习：第一次课1，习题 4-2:2(2)(5)(6)(8)(10)(12)(16)(18)(19)；
第二次课2(11)(35)(43)(12)(29).
Ⅶ 课外作业：第一次课习题 4-2:
2(1) (2)(4)(6) (7) (8) (9) (13) (16)(17)(19)（21）(30) (33).
第二次课2(11) (12) (15) (22)(24) (25) (26)(32) (34) （35）（43）.