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<p>--第三章 弹性本构关系和弹性问题的求解习题
习题1、试利用各向异性理想弹性体的广义虎克定律导出：在什么条件下，理想弹性体中的主应力方向和主应变方向相重合？
解：各向异性理想弹性体的广义虎克定律为：
（a）
当时，三个互相垂直的应力方向为主应力方向。当时，三个互相垂直的应变方向为主应变方向。在主应变方向上，剪应力分量为：
（b）
若使，则式中，，具有非零解的条件为
（c）
上式即为x，y，z轴同时为应力主轴和应变主轴的条件。如果材料性能对称于一个平面，如Oxy平面，则，而且，此时（c）式恒等于零。在此情况下，当存在以x，y，z轴为主方向的应变状态时，其对应的剪应力分量将成为
（d）
若应变分量之间满足，则此点的应变主方向和应力主方向重合。如果材料性能对称于Oxy，Oyz，Ozx三个平面，则有，此时（d）式总是满足的。由此可知，当x，y，z轴为应变的主方向时，也必定为应力的主方向。但是，当应变主方向和正交轴不重合时，一般它与应力的主方向是不重合的。对于各向同性弹性体，不需要任何补充条件，应力主方向和应变主方向总是重合的。
习题2、对于各向同性弹性体，试导出正应力之差和正应变之差的关系式。且进一步证明：当其主应力的大小顺序为时，其主应变的排列顺序为。
解：各向同性条件下的广义虎克定律为
将上式中的（1）－（2），（2）－（3），（3）－（1）分别得：
即
证明：当其主应力的大小顺序为时，其主应变的排列顺序为。 且，利用上述正应力之差和正应变之差的关系式有。
习题3、将某一小的物体放入高压容器内，在静水压力作用下，测得体积应变，若泊松比=0.3，试求该物体的弹性模量。
解：设为第一应力不变量，而，
据各向同性条件下的广义虎克定律为有：，其中体积应变，故有
。
习题4、在各向同性柱状弹性体的轴向施加均匀压力，且横向变形完全被限制住（如图所示）。试求应力与应变的比值（称为名义杨氏模量，以表示）。
解：设柱体的轴线z轴，。因为横向变形被限制， 所以。据各向同性条件下的广义虎克定律
图3-1
得：，，将此两式相减得：
，而泊松比的理论取值范围为，故，将其代入广义虎克定律得：
从而
，得解。
习题5、在某点测得正应变的同时，也测得与它成60。和90。方向上的正应变，其值分别为，，，试求该点的主应变、最大剪应变和主应力（，）。
解：设该点的x，y轴向的正应变分别为，，剪应变为。任意方向（为与x轴正向的夹角）上的正应变为：
，
所以，，
，解由此三式组成的方程组得该点的，和分别为：,
。
（1）计算该点的主应变：
由、 、和得该点的主应变为：
，。
（2）该点的最大剪应变。
（3）计算该点的主应力：
现、、，据向同性条件下的广义虎克定律得 ，即，所以
将、、、及、代入上面三式得：
,,。
习题6、根据弹性应变能理论的应变能公式，导出材料力学中杆件拉伸、弯曲及圆轴扭转的应变能公式分别为：
。
解：（1）杆件拉伸的应变能公式推导：
设杆件横截面积为，弹性模量为，如图建立坐标系。杆件为单向拉伸，只存在轴向的伸长或缩短，轴向纤维间无剪切变形，即。
同时轴向纤维间无相互作用力，即。据弹性应变能理论的应变能公式（其余分量产生的应变能为零）。
O
图3-2
现在杆件上x处取一微段dx，其体积为，其应变能
,而
整个杆件的拉伸应变能为：
而，
故
整个杆件的拉伸应变能为：
（2）杆件弯曲的应变能公式的推导：
在材料力学中杆件在外力作用下发生纯弯曲，仅轴向纤维发生拉伸或压缩变形（其中中性层以内的纤维层受压缩，中兴层以外的纤维层伸长），而轴向纤维之间无相互作用的内力，即和。
在杆件上沿轴向去取一微段，在此微段的横截面上取一个微面，在上的应力可为相同的，而。
，。
故，其中只与x有关。
。
杆件弯曲的挠度为，挠度曲线的曲率为
（3）圆轴扭转的变形能公式推导：
设圆轴的轴向为z轴。在材料力学中，圆轴扭转变形后，其横截面仍为平面，半径仍为直线，且沿z轴相邻两截面的距离不变，故有
，。
在圆轴轴向z处取一微段，在微段的横截面（圆截面）上的半径处取一微面积，上的应力可为相同的，那么。
据平衡方程有：
而，故，令。
，而，
故，只与z有关，
，
即 。
习题7、试推导体积变形应变能密度及畸变应变能密度的公式分别为：
解：应变张量可分为球形应变张量和应变偏量张量之和：
，即。
其中球形应变张量表示体积变形（体积的等向收缩或膨胀），不产生形状畸变，它由球形应力张量所引起，仅产生体积变形应变能；而应变偏量张量表示形状畸变，不产生体积变形，它由应力偏量张量所引起，仅产生畸变应变能。应力张量可分为球形应力张量和应力偏量张量之和：
，即，
变形应变能密度分为体积变形应变能密度与畸变应变能密度之和，
即
其中，。
所以无论如何有： ，故
。
据虎克定律有： ，
。
据虎克定律有：，
习题8、如图所示结构，梁AB在A处固支，长为l，截面积为F1，截面惯性矩为I。杆BC在B处与梁铰接，截面积为F2，。材料弹性模量为E，B点受载荷P的作用，设梁的压缩量为，挠度曲线为，和a均为待定的变形参数。考虑杆BC的拉伸及梁AB的压缩与弯曲，用最小势能原理求B点的水平和垂直位移。
l-Δ
Δ
图3-3
解：梁AB被压缩，其变形能为。
杆BC被拉伸,其变形能为。
其中，。梁AB的挠度曲线为，其弯曲变形能为
外力功为：。
总势能为
据最小势能原理：，，
其中可以取任何值，。
B点的垂直位移为，水平位移为。
习题9、如图所示，简支梁长为l，抗弯刚度为EI，中点受P力作用，支座之间有弹性介质支承，其弹性系数为k（即每单位长介质对挠度提供的支反力）。设挠度曲线为，试分别用李兹法和迦辽金法求梁中点B的挠度。
图3-4
解：（1）用李兹法求梁中点B的挠度：
挠度曲线为 ，
，
，满足A，C两点的边界条件。
简支梁的变形能为：。
中点B处弹性支承的反力，
弹性支承的变形能为：
总变形能为：。外力功为：，
总势能为：，
按李兹法有：
， ，
。
（2）用迦辽金法求梁中点B的挠度：
将挠度曲线代入y向平衡方程得：
，将其代入迦辽金方法的积分式中得：
即
习题10、试用李兹法求如图所示的一端固定、一端自由的压杆临界载荷，设该压杆的长度图3-5
为l，抗弯刚度为EI（常数），其挠度曲线为。
解：挠度曲线为可以满足所要求的边界条件，压杆失稳后的弯曲应变能为
外力功，其中d为失稳后由弯曲引起压杆顶端处向下的竖直位移：
势能为：。
应用李兹法有，
如果，此方程虽然是满足了，但是这表示该压杆保持直的，根本没有失稳，所以。由此得：
，
此结果正好是精确解，这是因为所设的挠度曲线正好是失稳后的真实挠度曲线。
习题11、已知如图所示的半无限弹性体的界面上，承受垂直于界面的集中力P的作用，试用位移法求位移及应力分量。
解：
一、求位移函数
用位移法求解时，须求出满足边界条件及满足以位移分量表示的平衡方程组：
图3-6
M
其中
，
。
可以找到满足平衡方程组的两组特解：
（a）
（b）
上述两组特解的线性组合可作为通解：
（c）
其中A1和A2由边界条件来确定,将其代入由位移表示的应力得：
（d）
在边界上（z=0面），除外力作用点外，，前一条件自然满足，而后一条件由上式的第四式可得：
（e）
另外假想过M点作一与边界面平行的面，将半无限弹性体的上部取出，根据被取部分Z向平衡条件得： （f）
将（d）中的代入（f）得
，积分此式得：
（g）
由式(e)、(g)解得
（h）
将A1，A2代入（c）式得位移函数为：
（I）
二、求应力分量
将A1、A2代回(d)，可得应力分量的计算公式：
（j）
三、讨论：
1）以上所得应力和位移，当R增大时应力、应变值迅速减小，即带有局部性质。
2）当时，各应力分量都趣于无限大，这是因为假设外力集中作用在一点的缘故，实际上载荷不可能加在一个几何点上，而是分布在一个小面积上，因此实际应力不会是无限大而是相当大甚至已进入塑性阶段。根据圣维南原理，只要稍离集中力作用点，以上的应力与位移公式仍可认为是正确的。
3）由(j)式可见，当z=0时，在弹性半空间的边界面上有
（k）
这说明，边界面上各点受到纯剪切作用。
4）当r=0，R=z时，即在z轴上的各点，由(j)式可得(l)式。这说明在z轴上各点受到两向拉伸、一向压缩，它的主应力为（m）式，以绝对值来比较，比径向及周向应力大得多。
以上结果是研究接触问题的基础。
（l）
（m）
习题12、试用应力函数求解第11题中半无限弹性体的界面上，承受垂直于界面的集中力P的作用时的位移及应力分量，并求水平边界面上任意一点的沉陷。
解：半无限弹性体的界面上承受垂直于界面的集中力P的作用是一个空间轴对称问题，所有的物理分量都只是r和z的函数，与无关。将上述应力函数代入如下求应力分量的公式：
(a)
其中 (b)
得 （c）
在边界上（z=0面），除外力作用点外，，前一条件自然满足，而后一条件由上式的第四式可得：
（d）
另外假想过M点作一与边界面平行的面，将半无限弹性体的上部取出，根据被取部分Z向平衡条件得：
（e）
将（c）中的代入（e）式并积分得
（f）
式(d)中r为任意值，故只有分子为零，即
(g)
由式(f)、(g) 解得C2和C3，
将C2和C3代入式(d)得。然后利用虎克定律求出，根据求出C1。得应力分量为
（h）
将（h）式 代入以应力分量表示的位移公式求出位移为
利用上述位移公式求出水平边界面上任意一点的沉陷为
。
习题13、如图所示，设有半空间无限大弹性体，单位体积的质量为，在水平边界面上受均布压力q的作用，试用位移法求位移分量和应力分量（并假设在z=h处w=0）。
解：由于对称（任意铅直面都是对称面）试假设。这样就得
，。
因为半空间无限大弹性体体力分量
所以上述假设在x，y向满足以位移表示的平衡微分方程：
图3-7
而在z向的平衡微分方程为，简化后得
（a）
积分后得 （b）
（c）
其中A和B为积分常数。
现据边界条件来确定A和B。将以上的结果代入以位移分量表示应力的物理方程
（d）
得 （e）
在边界面上（z=0面），即，代入（e）式得。再回代（e）式得应力分量：
（f）
并由（c）式得z向位移 （g）
为了确定常数B，必须利用位移边界条件。由于在z=h处w=0，代入（g）式得。
再回代（g）式得位移分量：
，
至此位移分量和应力分量全部求出。
习题14、球形容器的内半径为a，外半径为b，内部作用着压力为Pi，外部压力为Pe，试用位移法求其应力分量（不计体力）。
解：这是一个空间球对称问题，体力KR=0，由位移分量表示的球对称平衡微分方程得微分方程
解此微分方程得（其中A，B为积分常数）
（a）
将代入以位移分量表示应力的物理方程
得应力分量的表达式：
（b）
（c）
代入如下边界条件： 求解A和B得
（d）
将(d)式代入(a)式得径向位移
。 （e）
将(d)式代入(b)式和(c)式得径向正应力和切向正应力（和就是主应力）：</p>
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