系统的稳定性以及稳定性的几种定义.doc

系统的稳定性以及稳定性的几种定义一、 系统研究系统的稳定性之前，我们首先要对系统的概念有初步的认识。在数字信号处理的理论中，人们把能加工、变换数字信号的实体称作系统。由于处理数字信号的系统是在指定的时刻或时序对信号进行加工运算，所以这种系统被看作是离散时间的，也可以用基于时间的语言、表格、公式、波形等四种方法来描述。从抽象的意义来说，系统和信号都可以看作是序列。但是，系统是加工信号的机构，这点与信号是不同的。人们研究系统还要设计系统，利用系统加工信号、服务人类，系统还需要其它方法进一步描述。描述系统的方法还有符号、单位脉冲响应、差分方程和图形。中国学者钱学森认为：系统是由相互作用相互依赖的若干组成部分结合而成的，具有特定功能的有机整体，而且这个有机整体又是它从属的更大系统的组成部分。二、 系统的稳定性 一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(Bound Input Bound Output- BIBO)稳定的系统，简称为稳定系统。即，若系统对所有的激励 |f()|Mf ，其零状态响应 |yzs()|My(M为有限常数），则称该系统稳定。 三、 连续（时间）系统与离散(时间)系统 连续系统：时间和各个组成部分的变量都具有连续变化形式的系统。系统的激励和响应均为连续信号。 离散系统：当系统各个物理量随时间变化的规律不能用连续函数描述时，而只在离散 的瞬间给出数值，这种系统称为离散系统。系统的激励和响应均为离散信号。四、 因果系统因果系统 (causal system) 是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出（响应）的系统。也就是说，因果系统的（响应）不会出现在输入信号激励系统的以前时刻。即输入的响应不可能在此输入到达的时刻之前出现的系统；也就是说系统的输出仅与当前与过去的输入有关，而与将来的输入无关的系统。判定方法对于连续时间系统：t=t1的输出y(t1)只取决于tt1的输入x(tt1)时，则此系统为因果系统。特殊的：当该系统为线性移不变系统时，系统的冲激响应函数h(t)，在tt1的条件下，h(t)=0，则此系统为因果系统；对于离散时间系统：n=n1的输出y(n1)只取决于nn1的输入x(nn1)时，则此系统为因果系统，特殊的：当该系统为线性移不变系统时，系统的冲激响应函数h(n)，在nn1的条件下，h(n)=0，则此系统为因果系统。举例说明函数：1.y(t)=x(sin(t) 不是因果系统，因为y(-)=x(0), 表明 y(t)在一段时间内可能取决于未来的x(t)。 2.y（t）=x（t）cos（t+1)是因果系统，cos（t+1)是时变函数，相当于一个已知的函数波形，所以x（t）的当前值影响了y（t）的当前值。五、 连续系统稳定性与离散系统稳定性的充分必要条件（证明见教材）（1） 连续系统稳定的充分必要条件时域：S 域：若H(s)的收敛域包含虚轴，则该系统必是稳定系统。对于因果系统：若H(s)的极点均在左半开平面，则该系统必是稳定系统。（2） 离散系统稳定的充分必要条件时域：Z域：若H(z)的收敛域包含单位圆，则该系统必是稳定系统。 对于因果系统：若H(z)的极点均在单位圆内，则该系统必是稳定系统。举例例1 y(k)+1.5y(k-1)-y(k-2)= f(k-1) (1)若为因果系统，求h(k)，并判断是否稳定。 (2) 若为稳定系统，求h(k). 解：(1) 为因果系统，故收敛域为|z|2，所以h(k)=0.40.5k-(-2)k(k)，不稳定。 (2) 若为稳定系统，故收敛域为0.5|z|2，所以h(k)=0.4(0.5)k(k)+0.4(-2)k(-k-1)例2：如图离散因果系统框图 ，为使系统稳定，求常量a的取值范围解：设加法器输出信号X(z) X(z)=F(z)+z-1aX(z) Y(z)=(2+z-1)X(z)= (2+z-1)/(1-az-1)F(z) H(z)= (2+z-1)/(1-az-1)=(2z+1)/(z-a)为使系统稳定，H(z)的极点必须在单位园内，故|a|0 (2) (-1)nA(-1)0 (3) an|a0| cn-1|c0| dn-2|d0| r2|r0|即，奇数行，其第1个元素必大于最后一个元素的绝对值。特例：对二阶系统。A(z)=a2z2+a1z+a0,易得 A(1)0 A(-1)0 a2|a0| 举例:例 A(z)=4z4-4z3+2z-1解：排朱里列表 4 -4 0 2 -1 -1 2 0 -4 4 15 -14 0 4 4 0 -14 15 209-210 56A(1)=10 (-1)4A(-1)=50 41 ， 154 ， 20956 所以系统稳定。 3、 Nyquist 准则 采用这两个判据判别系统的稳定性要求系统函数必须是s 或z 的有理函数, 这在实际应用中不一定能满足, 而且在许多实际场合, 系统特征方程的系数也不易确定, 这时, Routh- Hurwitz 准则和Jury 判据便无能为力了。此时我们可以应用一种图解方法, 即Nyquist 准则2,3来判别系统的稳定性。以连续时间系统为例, Nyquist 准则指出, 对于图1 所示闭环系统, 其转移函数为 对Nyquist 准则的讨论： 仍以连续时间系统为例, 用Nyquist 准则判别系统的稳定性是基于两个假设之上的:子系统G(s)、H(s)均稳定; G(s)与1+G(s)H(s)无公共零点。下面就这两点假设来进行分析。 假设1 Nyquist 准则中对开环频率响应进行分析实际上是判断1+G(s)H(s)的所有零点是否都在s平面左半平面的问题。要使此闭环系统稳定, T(s)的所有极点必须在s 平面左半平面, 这包括1+G(s)H(s)的所有零点和G(s)的所有极点, 因此G(s)子系统必须是稳定的。另外, 图1 所示闭环系统可等效为图2 所示全反馈系统4, 只有当串联的两个环节都稳定, 原闭环系统才能稳定。这就要求H(s)和G(s)H(s)的所有极点都在s 平面左半平面, 那么G(s)和H(s)的极点都应在s 平面左半平面, 即H(s)子系统也必须是稳定的。假设2 如果G(s)与1+G(s)H(s)存在公共零点, 且这些公共零点都在s 平面左半平面, 那么这些零点虽然在(1)式中相消, 却并不影响T(s)闭环系统的稳定性。如果G(s)与1+G(s)H(s)存在公共零点, 而这些公共零点中存在不在s 平面左半平面的点, 假设不在s 平面左半平面的公共零点为zk, zk 为一n 重极点( n=1 表示单极点情形) , zk 可以是实极点, 也可以是共轭复数极点。在此情形下令: 其中M1(s)表示G(s)除公共零点以外的零点多项式, N1(s)表示G(s)极点在s 平面左半平面的多项式, M1(s)、N2(s)分别表示H(s)的零极点在s 平面左半平面的多项式( 因为G(s)、H(s)、1/H(s)子系统都必须是稳定的) 。则1+G(s)H(s)的零点为下列方程： 公共零点zk 是方程(2)的一个根, 那么N1(zk)N2(zk)=0, 即zk 为G(s)、H(s)的一个极点。若zk 不在s 平面左半平面, 则与G(s)、H(s)子系统稳定相悖。 综合以上两种情形的分析, 假设2 可以归结到假设1 中, 即只要求G(s)、H(s)子系统稳定即可。 通过以上讨论, 可知用Nyquist 准则判别闭环系统稳定性时, 应先判别G(s)、H(s)子系统的稳定性,再判别闭环系统T(s)的稳定性。备注：由于本人只是刚接触信号与系统这门课程，对系统理解并不是很透彻，以上内容是本人参考百度文库信号与系统的稳定性PPT，经本人的理解，及查询相关资料进行自我的编辑改写。以上定义部分均来自百度百科，Nyquist 准则摘自丁蕾的关于系统稳定性判别方法的讨论，中图分类号: TP11 文献标识码: A 文章编号: 1007- 4260( 2007) 04- 0077- 03 （范文素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）6 / 6