生物信息学基础讲座市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

生物信息学基础讲座生物信息学基础讲座第第3讲讲 生物信息学与数学生物信息学与数学第1页微积分微积分calculus第2页函数函数functionl一元函数l多元函数第3页极限极限limitl上式中L即为函数f(x)在x0处极限第4页导数导数derivative导数几何意义导数几何意义函数曲线在该点处切线（tangent）斜率（slope）第5页导数规则导数规则rules for derivativesl加法规则addition rulel传递标准chain rulel乘法标准multiplication rulel除法标准division rule第6页Applied calculusl改变Change:常导数ordinary、偏导数partial和方向导数directional derivativesl最优化optimization：包含拟合fitting和带约束优化constrained optimizationl建模modelingl函数类型：线性linear、多项式polynomial、指数exponential、三角trigonometric、幂power-lawl多元函数multi-variables functionl微分方程differential equationl单位和维度units and dimensionl例子:二元二次多项式第7页微分方程：动态过程建模微分方程：动态过程建模Differential Equation第8页动态模型动态模型dynamic modell描述描述研究对象特征随时间/空间改变演变过程l分析分析研究对象特征改变规律l预测预测研究对象特征未来状态l控制控制研究对象特征未来状态l微分方程建模方法l依据函数及其改变率（导数导数）关系建模l依据建模目标和问题分析简化假设简化假设l依据内在规律（模式模式）或类比类比法建立微分方程第9页线性代数线性代数：矩阵之美：矩阵之美Linear Algebra第10页基本概念基本概念l集合（set）l线性空间（linear space）l线性组合（linear combination）l线性相关（linear independent）l欧式空间（Euclidean space）l正交（perpendicular，orthogonal）第11页向量加法（向量加法（addition）l其实质是对应元素加法l交换律（communicative law）l结合律（associative law）l分配率（distributive law）l向量加减几何学意义（geometric interpretation）第12页向量乘法（向量乘法（multiplication）几何意义）几何意义l内积（inner product）：也称作点乘（dot product），其结果为一标量（scalar），相当于a范数（L2-norm）与b范数乘积乘以两向量夹角余弦值，表示为 或 abl应用：计算物理上做功。l外积（outer product）：也称作叉乘（cross product），其结果为垂直于向量a与b形成平面向量，其范数为向量a和b范数乘积乘以夹角正弦值，表示为 abl应用：物理上电磁力计算，确定方向采取右手螺旋方法第13页矩阵（矩阵（matrix）l矩阵秩（rank）：矩阵A行（或列）极大无关组个数，表示为rank(A)，rank(A)=min(m,n)。假如等式成立，则称A是满秩（full rank）（行满秩还是列满秩取决于m、n大小）；假如rank(A)=m=n，则称A为n阶非奇异方阵（n-order nonsingular square matrix），此时A可逆（invertible）。l方阵行列式（determinant），表示为det(A)。矩阵非奇异充要条件是：det(A)0l矩阵转置（transpose matrix）l逆矩阵（inverse matrix）l对称矩阵（symmetric matrix）l正交矩阵（orthonormal matrix）l正定矩阵（positive definite matrix）l正半定矩阵（positive semidefinite matrix）第14页矩阵分解矩阵分解（decomposition/factorization）所谓矩阵分解，是将矩阵分解为经典矩阵（canonical matrix）乘积方法，目标是为了简化计算。lLU分解：将矩阵分解为下三角矩阵（upper triangular matrix，L）和上三角矩阵（upper triangular matrix，U）乘积，惯用于方程组求解。通常A为方阵lQR分解：将矩阵分解为一个正规正交矩阵（Q）和一个上三角矩阵积（R）。QR分解惯用来求解线性最小二乘问题。矩阵无须为方阵，分解得到Q为mm方阵，R为nn方阵lCholesky分解：l特征值分解（eigendecomposition）：lSchur分解：l奇异值分解（singular value decomposition,SVD）：A=USVT，其中U、V为正规正交矩阵，S为对角阵。是最为准确矩阵分解方法，可用于主成份分析（PCA）和聚类（clustering）第15页最优化：理论与应用最优化：理论与应用Optimization Theory&Applications第16页数学规划（数学规划（mathematical programming）l最优化理论一个主要分支l数学规划是指对n个变量对单目标（或多目标）函数求解极小值（或极大值）l变量可能受到一些条件（等式或不等式）约束第17页优化问题：分类优化问题：分类l线性规划+非线性规划（二次规划等）l凸规划+非凸规划l全局（global）优化和局部（local）优化l带约束优化+不带约束优化l无约束优化应用：最小二乘法（ordinary least squares,OLS）l带约束优化应用：LASSO（least absolute shrinkage and selection operator）第18页线性规划（线性规划（linear programming）l目标函数（objective）和约束函数（constraint）都是线性l方法（solutions）l图解法（graphical method）l单纯形法（Simplex method）l修正单纯形法（Modified Simplex method）l对偶单纯形法（dual Simplex method）l应用：第19页二次规划（二次规划（quadratic programming）第20页概率论：赌场中产生科学概率论：赌场中产生科学Probability第21页统计：科学还是骗术？统计：科学还是骗术？Statistics：Cheating Tools？第22页Descriptive statisticslContinuous datalLocation:mean,median,modelDispersion:range,standard deviation,coefficient of variation,percentilelMoments:variance,semivariance,skewness,kurtosislCategorical datalFrequencylContingency table第23页Statistical graphicslbar plotlbiplotlboxplotlHistogramlStemplotlQ-Qplotlcorrelogram第24页Mathematics can be beautiful 第25页barplot第26页boxplot第27页Pairs plot第28页Perspective plot第29页Time series data decomposition第30页Stem plot 1|1111112222233444 1|5555556666667899999 2|3344 2|59 3|3|5678 4|012第31页随机过程：从偶然到必定随机过程：从偶然到必定Stochastic Process第32页马尔可夫链（马尔可夫链（Markov Chain）l有向无环图（Directed Acyclic Graph,DAG）l可用于预测（prediction）与分类（classification）l每条有向边为量化可信度（或者概率）l是马尔可夫链（Markov chain,MC）扩展（extension或generalization）l每个节点概率计算，可用贝叶斯公式计算；与马尔可夫链相同，每个状态值取决于前面有限个状态第33页贝叶斯网络（贝叶斯网络（Bayesian Network）l有向无环图（Directed Acyclic Graph,DAG）l可用于预测（prediction）与分类（classification）l每条有向边为量化可信度（或者概率）l是马尔可夫链（Markov chain,MC）扩展（extension或generalization）l每个节点概率计算，可用贝叶斯公式计算；与马尔可夫链相同，每个状态值取决于前面有限个状态第34页图论：树与网络图论：树与网络Graph Theory第35页Classification mindsl(apple,orange,banana,watermelon,grape,grapefruit,mango,star fruit)lClustering or classification?第36页