微分中值定理教案.doc

微分中值定理
【教学内容】 拉格朗日中值定理
【教学目的】
1、熟练掌握中值定理，特别是拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义；
2、能应用拉格朗日中值定理证明不等式。
3、了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2
【教学重点与难点】
1、拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用
2、拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。
3、利用导数证明不等式的技巧。
【教学过程】
一、背景及回顾
在前面，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。
另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，需要在导数及函数间建立起联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。
由此我们学习了极值点的概念、费马定理、特别是罗尔定理，我们简单回忆一下罗尔定理的内容：若函数满足下列条件：
①在闭区间连续
②在开区间可导
③
则在内至少存在一点c，使得
二、新课讲解
1797年，法国著名的数学家拉格朗日又给出一个微分中值定理，史称拉格朗日中值定理或微分中值定理，但未证明.拉格朗日中值定理具有根本的重要性，在分析中是许多定理赖以证明的工具，是导数若干个应用的理论基础， 我们首先看一下拉格朗日中值定理的内容：

2.1拉格朗日定理
若函数满足下列条件：
①在闭区间连续
②在开区间可导
则在开区间内至少存在一点c，使
注：a、深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。
b、若加上，则即：，拉格朗日定理变为罗尔定理，换句话说罗尔定理是拉格朗日定理的特例。
c、形象认识（几何意义），易知为过A、B两点的割线的
斜率，为曲线上过c点的切线的斜率；若即是说割线的斜率等于切线的斜率。几何意义：若在闭区间上有一条连续的曲线，曲线上每一点都存在切线，则曲线上至少有一点，使得过点的切线平行于割线AB。它表明“一个可微函数的曲线段，必有一点的切线平行于曲线端点的弦。”

2.2 拉格朗日定理的证明

下面我们证明一下该定理。
分析：如何来证明该定理呢？由于罗尔定理为拉格朗日定理的特例，我们考虑是否可将拉格朗日定理的证明转化到罗尔定理上来，为此需要构造一个辅助函数，使他满足罗尔定理的条件。注意罗尔定理的结果是，对应拉格朗日定理的结果是，即，实际上就是，即是说，两边积分得，注意要满足罗尔定理的三个条件，故取

证明：作辅助函数，易知在闭区间连续，在开区间可导，又，根据罗尔定理，在内至少存在一点c，使得，而，于是，即
，命题得证。
注：a、本定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范；同时通过巧妙地数学变换，将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现，其中构造函数中的其实就是过两点A、B两点的割线方程。
b、拉格朗日中值定理的中值点c是开区间（a,b）内的某一点，而非区间内的任意点或指定一点。换言之，这个中值定理都仅“定性“地指出了中值点c的存在性，而非”定量“地指明c的具体数值。
c、拉格朗日中值定理的其他表达形式：
（1）
（2）

2.3 拉格朗日定理的应用
例1: 验证函数-在区间[0，2]上是否满足拉格朗日中值定理的条件，若满足，求使定理成立的的值.
解:因 ，在上连续，在内可导，满足定理的条件。
而
由得
，
注 在验证拉格朗日中值定理时，必须注意：
（1）该函数是否满足定理的两个条件。
（2）是否存在一点∈（a,b）,使成立.
例2
分析：此题难以下手，由此考虑到使用拉格朗日中值定理。
证明：设
易知在上满足拉格朗日中值定理的条件
故，
又，，有上式得：

又，
则， ，即 ，命题得证。
小结：用拉格朗日中值定理证明不等式，关键是选取适当的函数，并且该函数满足中值定理的条件。便得到，再根据放大或缩小，证出不等式。

推论1　如果在区间内的导数恒等于零，那么在内恒等于一个常数.（证明作为课外作业）
证：在区间内任意取两点，（设），则在上满足拉格朗日中值定理条件.故有
　，
由于，所以，即
.
由于，是在内任意取的两点，因此在区间内函数值总是相等的，这表明在区间内恒为一个常数.
推论2　若有，则有.（证明作为课外作业）
证：，，根据推论1知，即.

三、小结
1、拉格朗日定理的内容
2、拉格朗日定理的几何意义
3、拉格朗日定理的证明过程——构造函数法
4、拉格朗日定理的应用
微分学基本定理

1、极值点的概念
定义：设函数在区间上有定义。若，且存在的某邻域，有
（）
则称是函数的极大点（极小点），是函数的极大值（极小值）。

2、费马定理
设函数在区间上有定义。若函数在点可导，且是函数的极值点，则

3、罗尔定理
若函数满足下列条件：
①在闭区间连续
②在开区间可导
③
则在内至少存在一点c，使得

4、拉格朗日定理
若函数满足下列条件：
①在闭区间连续
②在开区间可导
则在开区间内至少存在一点c，使
5、柯西中值定理
若函数和满足下列条件：
①在闭区间连续
②在开区间可导，且，有，则在内至少存在一点c，使得