大连理工大学《矩阵与数值分析》2008年真题答案.doc

大连理工大学试卷答案课 程 名 称：计算方法 授课院 (系)： 应 用 数 学 系 考 试 日 期：2008年1 月11 日 一、填空（每一空2分，共46分）1 设，则 2 ， 3 。2给定3个求积节点：，和，则用复化梯形公式计算积分求得的近似值为:，则用复化Simpson公式求得的近似值为。2 设函数，若当时，满足，则其可表示为。4已知,则 6 , 0 ，逼近的Newton插值多项式为:。5用于求的根的具有平方收敛的Newton迭代公式为：。6已知，则的Jordan标准型是：或；7取，其中，,则；8求解一阶常微分方程初值问题，的向后（隐式）Euler法的显式化的格式为：。9设12为的近似值，且，则至少有 5 位有效数字；10将，化为的Householder矩阵为：；11；12用二分法求方程在区间内的根，进行一步后根所在区间为，进行二步后根所在区间为。13写出如下二阶常微分方程两点边值问题的差分格式为（化成最简分量形式）： 。，其中，。14设，则在Schur分解中，可取为或。15设，则, 。#二、（8分）根据下列表格给出的数据，求其形如的最小二乘拟合曲线。-2 -1 0 1 2 -3.1 -0.9 1.0 3.1 4.9解：正规方程为：即为：，解之，。#三、（12分）设线性方程组：（1）列主元消元法求出上述方程组的解，并利用得到的上三角矩阵计算出（要有换元、消元过程）；（2）试问用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组是否收敛？（3）请给出可求出上述方程组解的收敛的Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式，并说明其收敛性。解：（1）故，。 （2）由于Gauss-Seidel迭代法的特征值满足：，则，故，从而Gauss-Seidel迭代法发散。又由于Jacobi迭代法的迭代矩阵为：，则，故，从而Jacobi迭代法发散。（3）将上述方程组的第一个方程与第二个方程对调后，新的方程组的系数矩阵为：是严格对角占有的，故Jacobi和Gauss-Seidel迭代法均收敛。且新的方程组与原方程组同解。Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式分别为： 和 #四、（15分）对于如下的数值方法（1） 求出其局部截断误差主项，并指出此方法的完整名称；（2） 证明其收敛性；（3）求出其绝对稳定区间。解：（1）注意，从而 故此为线性隐式二步三阶法，其局部截断误差主项为：。（2）令，得，满足根条件；又方法阶，故此差分格式收敛。（3）又对于模型问题：(), 取而要使得 的充要条件为：而 自然成立。现在再由 得由 ，可推出，即。#五、（14分）（1） 用Schimidt正交化方法，构造上权函数正交多项式系，;（2）设在上具有二阶连续导数，用1）中所得到的的零点,为插值节点构造的Largrange插值多项式，并给出余项估计式； （3）设要计算积分 以代替，求出相应的数值求积公式，并求出其代数精度；（3） 利用3)的结果给出的数值求积公式。解：（1），（2）令，得。则，（3），3次代数精度。（4） 令则。#六、证明题（5分）设均为可逆矩阵，且齐次线性方程组有非零解，证明：对于中的任何矩阵范数，都有。证明：（1）由题意，可知矩阵奇异。故奇异。反证法，若存在某种范数，使得，则，则可知非奇异，与条件矛盾。 （2）由于有非零解，故对，取与向量的范数相容的矩阵范数，则由得 。#