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第三节 曲面及其方程

一 曲面方程的概念

若一个三元方程
(1)
和曲面之间满足:
(1) 上的任意点的坐标都满足(1)式;
(2) 如果一点的坐标满足(1)式, 则在上,
则称(1)式为的方程, 称为(1)式的图形.

例1 (球面的标准方程) 球心在点且半径为的球面的方程为
.
若球心在原点, 则球面方程为
.

例2 设有点和, 求线段的垂直平分面的方程.
解 设点为所求平面上的任一点, 则, 即
,
于是得, 此即所求.

例3 (球面的一般式) 方程

表示一个球面, 球心为, 半径为
.
当时, 该球面为实球.
当时, 该球面为点球, 即原方程表示一点.
当时, 该球面为虚球, 即原方程无实轨迹.
例如, 在中, , , , . 于是球心为,半径为.

二 旋转曲面

平面上的一条曲线绕该平面上的一条直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.

在平面上的曲线绕轴旋转所得的旋转曲面的方程为
.
绕轴旋转所成的旋转面的方程为
.
在平面上的曲线绕轴旋转所得的旋转曲面的方程为
.
绕轴旋转所成的旋转面的方程为
.
在平面上的曲线绕轴旋转所得的旋转曲面的方程为
.
绕轴旋转所成的旋转面的方程为
.

例4 直线绕另一条与相交的直线旋转一周, 所得的旋转面叫做圆锥面. 两直线的交点叫做圆锥面的顶点, 两直线的夹角叫做圆锥面的半顶角. 试建立顶点在原点、旋转轴为轴且半顶角为的圆锥面的方程.

解 在平面上, 直线的方程为. 于是所求圆锥面的方程为, 令, 则为所求.

例5 将平面上的双曲线绕轴旋转所生成的旋转面为, 即,绕轴旋转所生成的旋转面为, 即.
将平面上的椭圆绕轴旋转所生成的旋转面为, 即.

例(补) 说明下列旋转面是怎样形成的: .
解 旋转面的旋转轴是轴. 用平面去截曲面, 得面上的抛物线, 它即旋转面的母线.
注 若用平面去截曲面, 可得面上的抛物线, 它也是旋转面的母线.

三 柱面

平行于固定直线并沿固定曲线移动的直线形成的轨迹叫做柱面. 固定曲线叫做柱面的准线, 动直线叫做柱面的母线.

方程在空间直角坐标系中表示母线平行于轴的柱面, 其准线为面上的曲线.
方程在空间直角坐标系中表示母线平行于轴的柱面, 其准线为面上的曲线.
方程在空间直角坐标系中表示母线平行于轴的柱面, 其准线为面上的曲线.
特别注意: 不能说方程在空间直角坐标系中表示面上的一条曲线, 而要说它表示一个曲面. 对和也是一样的.

例6 方程表示母线平行于于轴的圆柱面,其准线是面上的圆.

方程表示母线平行于于轴的柱面, 其准线为面上的抛物线. 该柱面称为抛物柱面.
方程表示母线平行于于轴的柱面, 其准线为面上的直线. 该柱面为一个平面.

四 二次曲面

三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面.

(1) 椭圆锥面

(2) 椭球面(、、). 其中、和称为椭球面的半轴.

若, 则成为
.
这是由面上的椭圆绕轴旋转而成的旋转曲面, 称为旋转椭球面.
当时, 此椭球面成为球面.

例 (补) 求椭球面与各坐标轴的交点.
解 该曲面与轴的交点满足, 于是, . 故曲面与轴的交点为.
同理, 曲面与轴的交点为,与轴的交点为.
(3) 单叶双曲面 (、、).

若, 则成为
.
它是由面上的双曲线绕轴旋转而得的旋转面, 称为旋转单叶双曲面.

(4) 双叶双曲面 (、、).

(5) 椭圆抛物面
原点称为该椭圆抛物面的顶点.

(6) 双曲抛物面 (马鞍面)
原点称为双曲抛物面的鞍点.

作业 P.318 1——9, 10 (1),(2),(3), 11