因式分解——例题讲解——综合练习题附答案.doc

【因式分解】——例题精选讲解——综合练习题附答案
【例题精选】：
（1）
评析：先查各项系数（其它字母暂时不看），确定5，15，20的最大公因数是5，确定系数是5 ，再查各项是否都有字母X，各项都有时，再确定X的最低次幂是几，至此确认提取X2，同法确定提Y，最后确定提公因式5X2Y。提取公因式后，再算出括号内各项。
解：
=
（2）
评析：多项式的第一项系数为负数，应先提出负号，各项系数的最大公因数为3，且相同字母最低次的项是X2Y
解:
=
=
=
（3）(y-x)(c-b-a)-(x-y)(2a+b-c)-(x-y)(b-2a)
评析：在本题中，y-x和x-y都可以做为公因式，但应避免负号过多的情况出现，所以应提取y-x
解：原式=(y-x)(c-b-a)+(y-x)(2a+b-c)+(y-x)(b-2a)
=(y-x)(c-b-a+2a+b-c+b-2a)
=(y-x)(b-a)
（4） 把分解因式
评析：这个多项式有公因式2x3，应先提取公因式，剩余的多项式16y4-1具备平方差公式的形式
解：=2=2=
（5） 把分解因式
评析：首先提取公因式xy2，剩下的多项式x6-y6可以看作用平方差公式分解，最后再运用立方和立方差公式分解。
对于x6-y6也可以变成先运用立方差公式分解，但比较麻烦。
解：
=xy2(x6-y6)= xy2[]=
=
（6）把分解因式
评析：把(x+y)看作一个整体，那么这个多项式相当于(x+y)的二次三项式，并且为降幂排列，适合完全平方公式。对于本例中的多项式切不可用乘法公式展开后再分解，而要注意观察分析，善于把(x+y)代换完全平方公式中的a，（6Z）换公式中的
解：
==(x+y-6z)2
（7）   把分解因式
评析：把x2-2y2和y2看作两个整体，那么这个多项式就是关于x2-2y2和y2的二次三项式，但首末两项不是有理数范围内的完全平方项，不能直接应用完全平方公式，但注意把首项系数提出后，括号里边实际上就是一个完全平方式。
解：
=
=
=
（8） 分解因式a2-b2-2b-1
评析：初看，前两项可用平方差公式分解。采用“二、二”分组，原式=(a+b)(a-b)-(2b+1)，此时无法继续分解。再仔细看，后三项是一个完全平方式，应采用“一、三”分组。
解：a2-b2-2b-1= a2-(b2-2b+1)=a2-(b+1)2=[a+(b+1)][a-(b+1)]=(a-b-1)(a+b+1)
一般来说，四项式“一、三”分解，最后要用“平方差”。四项式“二、二”分组，只有前后两组出现公因式，才是正确的分组方案。
（9）   把a2-ab+ac-bc分解因式
解法一：a2-ab+ac-bc=(a2-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)

解法二：a2-ab+ac-bc=(a2+ac)-(ab+bc)=a(a+c)-b(a+c) =(a-b)(a+c)
（10） 把分解因式
解法一：
=
解法二：
=
说明：例（2）和例（3）的解法一和解法二虽然分组不同，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应系数成比例。（2）题解法一 1：1，解法二也是1：1；（3）题解法一是
1：1，解法二是2：（-3）
(11) 分解因式
评析：四项式一般先观察某三项是否是完全平方式。如是，就考虑“一、三”分组；不是，就考虑“二、二”分组
解法一：
=
=
解法二：=
=
解法三：=
=
（12） 分解因式(a-b)2-1-2c(a-b)+c2
评析：本题将（a-b）看作一个整体，可观察出其中三项是完全平方式，可以“一、三”分组
解：(a-b)2-1-2c(a-b)+c2
=[(a-b)2-2c(a-b)+c2]-1=[(a-b)-c]2-1=(a-b-c)2-1-(a-b-c+1)(a-b-c-1)
（13）分解因式8a2-5ab-42b2 8a -21b
解：8a2-5ab-42b2 a +2b
=(8a-21b)(a+2b) -21ab+16ab=-5ab
（14）    分解因式a6-10a3+16
解：a6-10a3+16 a3 -2
=( a3-2)( a3-8) a3 -8
=( a3-2)(a-2)(a2+2a+4) -8a3-2a3 =-10a3
（15）   分解因式-x2+x+30
解：-x2+x+30 （先提出负号） x +5
=-( x2-x-30) x -6
=-(x+5)(x-6) +5x-6x=-x
（16）    分解因式12(x+y)2-8(x+y)-7
解：12(x+y)2-8(x+y)-7 2(x+y) +1
=[2(x+y)+1][6(x+y)-7] 6(x+y) -7
=(2x+2y+1)(6x+6y-7) -14+6=8
（17）把分解因式
评析：此题是一个五项式，它能否分组分解，要看分组后组与组之间是否出现公因式或是否符合公式。本题注意到后三项当把-1提出后，实际上是按立方差公式分解后的一个因式：
解：
=
=
=
（18）    把分解因式
评析：把看成一组符合完全平方公式，而剩下的三项把-1提出之后恰好也是完全平方式，这样分组后又可用平方差公式继续分解。
解：
=
=
=
（19）分解因式
评析：先不要把前面两个二次三项式的乘积展开，要注意到这两个二次三项式的前两项都是这一显著特点，我们不妨设=a可得（a+1）（a+2）-6即a2+3a+2-6，即a2+3a-4，此时可分解为（a+4）（a-1）
解：
=
=
=
=
（20）把分解因式
解：
=
=
=
=
（21）把分解因式
评析：它不同于例3（1）的形式，但通过观察，我们可以对这两个二次三项式先进行分解，有。它又回到例3（1）的形式，我们把第一项和第三项结合在一起，第二、四项结合在一起，都产生了（x2-3x）
解：
=
=
=
=
=
=
（22）把分解因式
评析：不要轻易展开前四个一次因式的积，要注意到常数有1×6=2×3=6 利用结合律会出现a2+6
解：
=
=
=
（23）把（x+1）（x+3）（x+5）（x+7）-9分解因式
评析：不要轻易地把前四个一次因式的乘积展开，要注意到1+7=3+5，如果利用乘法结合律，把（x+1）（x+7）和（x+3）（x+5）分别乘开就会出现的形式，这就不难发现（x2+8x）作为一个整体a同时出现在两个因式中，即（a+7）（a+15）-9的形式，展开后有a2+22a+96，利用十字相乘，得到（a+6）（a+16）而分解。
解：（x+1）（x+3）（x+5）（x+7）-9
=[（x+1）（x+7）][（x+3）（x+5）]-9
=
以下同于例3
=
=+96
=
=

（24）把x（x+1）（x+2）（x+3）-24分解因式
评析：通过观察第一项和第四项两上一次式相乘出现（x2+3x），第二和第三个一次式相乘出现（x2+3x）。可以设x2+3x=a，会有a（a+2）-24，此时已易于分解
解：x（x+1）（x+2）（x+3）-24
=[x（x+3）][（x+1）（x+2）]-24
=
=
=
=
（25）把分解因式
评析：不要急于展开，通过观察前两项，发现它们有公共的x2+3x，此时把它看成一个整体将使运算简化。
解：
=
=
（26）把分解因式
评析：我们可以观察到+前后的两项都有（a+b）和（c+d）。据此可把它们看作为一个整体。
解：
=
=
=
=
（27）把分解因式
评析：把（1+a）看成一个整体，第一项1与第二项a也合成一个整体（1+a）
解：
=
=
=
（28）把分解因式
评析：此题容易想到分组分解法，但比较困难，考虑到

此时可设
再用待定系数法求出m和n
解：设
=
比较两边对应系数 得到
m+2n=2 ①
-3n+2m=11 ②
mn=-4 ③
由①和② 得到m=4，n=-1 代入③也成立
∴=（2x-3y+4）（x+2y-1）
（29）把分解因式
解：
=
=（x+4y+m）（x-2y+n）
=
有 m+n=-4 ①
4n-2m=-10 ②
mn=3 ③
由①和② 得到m=-3，n=-1 代入③也成立
∴=（x+4y-3）（x-2y-1）
（30）当x+y=2时，求的值
评析：∵x+y=2这是唯一的条件。∴要从中找到x+y或有关（x+y）的表达式
解：=（x+y）（）+6xy
∵x+y=2
∴原式==
=2=8
（31）己知=2 求的值
解：=
∵=2
∴原式=2[（2）2-3]=2
（32）己知x-y=2，求的值
解：
=
=
（x-y） -3a
= （x-y） +2a
∵x-y=a
∴原式=

【综合练习题】∶
一、 一、填空（每空1分，共15分）
1、把一个多项式化为 的形式，叫做因式分解。
2、 （ ）+2ab+1=（ ）2
3、因式分解=（ ）-4x2=（ ）2-（ ）2=（ ）（ ）
4、二次三项式=（ ）（ ）
5、立方和8（a-b）3+27=（ ）（ ）
6、（n是大于2的整数）中，各项的公因式是（ ）
7、己知x2-2xy+1是完全平方式，则y=
8、（3x-y）（ ）=27x3-y3
二、选择题（四选一；每题3分，共15分）
1、多项式作因式分解，结果为（ ）
A、 B、C、D、
2、2-x和3+x同是下面某多项式的因式，它是（ ）
A、6+x-x2 B、6-x+x2 C、x2+x +6 D、6-x-x2
3、因式分解时，正确分组方法有（ ）
A、1种 B、2种 C、3种 D、4种
4、因式分解时，正确分组方法有（ ）
A、1种 B、2种 C、3种 D、4种
1、 1、若将（2x）n-81分解后得，那么n的值为
A、2 B、6 C、4 D、8
三、把下列各式分解因式（每小题3分，共15分）
1、 2、 3、
4、 5、
四、利用因式分解计算（每小题3分，共15分）
1、17.52-12.52 2、83×77 3、1.222×9-1.332×4 4、1012
5、16.8×+7.6×
五、求值（每小题3分，共15分）
1、 己知a+b=-3, ab=-2，求
2、 己知x+y=-2，a+b=，，求的值
六、把下列各式分解因式（每小题3分，共15分）
1、 2、
3、 4、
5、（）（-9）+18
七、己知a、b、c均大于0，任意两个数之和大于第三个数，试确定的值的符号（5分）

答案
一、 1、n个整式的积 2、
3、 4、（2x-y）（3x+5y）
5、
=
6、 7、y=1 8、
二、
1、B 2、D 3、A 4、B 5、C
三、
1、 2、（xy+8）（xy-3） 3、
4、 5、
四、
1、150 2、6391 3、原式=(3×1.22)2-(2×1.33)2 再往下做 结果6.32 4、10201
5、原式化为结果15
五、
1、 解：
∵a+b=-3，ab=-2 代入上式 ∴原式=（-2）[（-3）2-4×（-2）]=-2×[9+8]=-34
2、 解：
∵
代入上式 ∴原式=
六、
1、
2、
3、
4、
5、
七、解：
=
=
=
==
∵a>0，b>0，c>0，a+c>b，a+b>c，b+c>a