平面与平面垂直的判定单元测试.doc

平面与平面垂直的判定 单元测试
一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）
1. 设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中，正确的是(　　)
A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直 B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直
C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行 D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直

2.自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线的夹角与二面角的平面角的关系是(　　)
A．相等 B．互补 C．互余 D．无法确定

3.如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有　(　　)

A.2对 B.3对 C.4对 D.5对

4.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法中正确的是　
(　　)
A.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
B.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
C.若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
D.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β

5、在四棱锥P—ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是(　　)

A．平面PAB⊥平面PAD B．平面PAB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCD D．平面PCD⊥平面PAD
6．已知三棱锥D—ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是(　　)
A. B. C. D.

二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）
7. 在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝2，则二面角P－AB－C的大小为 .

8. (1)若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是 .
(2)若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角大小关系为 .

9、经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有 个．

10.如图，P是二面角α－AB－β的棱AB上一点，分别在α，β上引射线PM，PN，截PM＝PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，则二面角α－AB－β的大小是 ．

三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）
11、如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝.证明：平面PBE⊥平面PAB；

12、如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．
(1)求证：BC⊥ 平面PAC．
(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．

平面与平面垂直的判定 单元测试答案
二、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）
1. 设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中，正确的是(　　)
A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直 B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直
C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行 D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直
【答案】B
【解析】由题意，m与α斜交，令其在α内的射影为m′，则在α内可作无数条与m′垂直的直线，
它们都与m垂直，A错；如图示(1)，在α外，可作与α内直线l平行的直线，C错；

如图(2)，m⊂β，α⊥β.可作β的平行平面γ，则m∥γ且γ⊥α，D错．.
2.自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线的夹角与二面角的平面角的关系是(　　)
A．相等 B．互补 C．互余 D．无法确定
【答案】B
【解析】如图，BD、CD为AB、AC所在平面与α、β的交线，则∠BDC为二面角α－l－β的平面角．
且∠ABD＝∠ACD＝90°，∴∠A＋∠BDC＝180°.
.
3.如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有　(　　)

A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
【答案】D
【解析】观察图形，根据空间垂直关系的判定方法，可以得出下面几组互相垂直的平面：平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PCD⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PAB，平面PAD⊥平面PAB，一共5对.故选D.
4.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法中正确的是　
(　　)
A.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
B.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
C.若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
D.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
【答案】D
【解析】对于选项A，分别在两个垂直平面内的两条直线平行、相交、异面都可能，但未必垂直；对于选项B，分别在两个平行平面内的两条直线平行、异面都可能；对于选项C，两个平面分别经过两垂直直线中的一条，不能保证两个平面垂直；对于选项D，m⊥α，m∥n，则n⊥α；又因为n∥β，则β内存在与n平行的直线l，因为n⊥α，则l⊥α，由于l⊥α，l⊂β，所以α⊥β.故选D.
5、在四棱锥P—ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是(　　)

A．平面PAB⊥平面PAD B．平面PAB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCD D．平面PCD⊥平面PAD
【答案】C
【解析】：由面面垂直的判定定理知：平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD，A、B、D正确．故选C。
6．已知三棱锥D—ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】：如图，根据已知，BD＝CD＝，AD＝BC＝2.取BC中点为E，连接DE，AE.则DE⊥BC，AE⊥BC，∠DEA为所求．∵AE＝DE＝ ＝.∴AE2＋DE2＝AD2，∴∠AED＝.故选C。

二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）
7. 在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝2，则二面角P－AB－C的大小为 .

【答案】60°
【解析】取AB中点M，连接PM，MC，则PM⊥AB，CM⊥AB，
[
∴∠PMC就是二面角P－AB－C的平面角．在△PAB中，PM＝＝1，
同理MC＝1，则△PMC是等边三角形，∴∠PMC＝60°.
8. (1)若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是 .
(2)若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角大小关系为 .
【答案】(1)相等或互补　(2)不定
【解析】(2)易误答相等或互补，想象门的开关，构造符合题意的模型即可．
9、经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有 个．
【答案】：1个或无数个
【解析】设面外的点为A，面内的点为B，过点A作面α的垂线l，若点B恰为垂足，则所有过AB的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点B不是垂足，则l与点B确定唯一平面β满足α⊥β.
10.如图，P是二面角α－AB－β的棱AB上一点，分别在α，β上引射线PM，PN，截PM＝PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，
则二面角α－AB－β的大小是 ．

【答案】：90°
【解析】过M在α内作MO⊥AB于点O，连接NO，设PM＝PN＝a，
∵∠BPM＝∠BPN＝45°，∴△OPM≌△OPN，∴ON⊥AB，∴∠MON为所求二面角的平面角，连接MN，
∵∠MPN＝60°，∴MN＝a，又MO＝NO＝a，∴MO2＋NO2＝MN2，∴∠MON＝90°.
三、 解答题（共2小题，每题10分，共20分）
11、11．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，
PA⊥底面ABCD，PA＝.证明：平面PBE⊥平面PAB；

【答案】证明过程详见试题解析.
【解析】证明：如图所示，连接BD，
由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，
又AB∥CD，所以BE⊥AB，又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，
所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB．
又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．
12、如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．
(1)求证：BC⊥ 平面PAC．
(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．
【答案】见解析
【解析】(1)证明　∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．
又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC．
又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC．
(2)解　∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC．
又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE．∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°．∴在棱PC上存在一点E，
使得AE⊥PC．这时∠AEP＝90°，
故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．