必修二立体几何测试题资料.doc

2015-2016学年第一学期立体几何测试
高二理科数学
参考公式：
圆柱的表面积公式：，圆锥的表面积公式：
台体的体积公式，球的表面积公式：
圆台的表面积公式，球的体积公式：
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．下列四个几何体中，是棱台的为(　　)

2．如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是(　　)

3．给出下列命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；
③若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．
其中假命题的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
4．空间几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为(　)
A．96 B．136 C．152 D．192

5．若棱长为1的正方体的各棱都与一球面相切，则该球的体积为(　　)
A. B. C. D.

6．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是(　　)
A．m⊥n，m∥α，n∥β　 B．m⊥n，α∩β＝m，n⊂α
C．m∥n，n⊥β，m⊂α D．m∥n，m⊥α，n⊥β

7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)
A．10π＋96 B．9π＋96 C．8π＋96 D．9π＋80

8．m,n是空间两条不同直线,α,β是空间两个不同平面,下面有四种说法: 其中正确说法的个数为　(　　)
①m⊥α,n∥β,α∥β⇒m⊥n; ②m⊥n,α∥β,m⊥α⇒n∥β;
③m⊥n,α∥β,m∥α⇒n⊥β; ④m⊥α,m∥n,α∥β⇒n⊥β.
A.1 B.2 C.3 D.4

9、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

10．如图,网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）
A. B. C. D.

11．如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )
. . .6 .4

12.已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且,则此棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．某一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．

14.正四棱台的上底为边长为2的正方形，下底为边长为4的正方形，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长为3，则此四棱台的体积为 ，

15. 己知棱长为2，各面均为等边三角形的四面体S-ABC的四个顶点都在一个球面上，则该四面体的表面积为__________,该球的体积为___________

16．已知是球的直径上一点,,平面,为垂足,截球所得截面的面积为,则球的表面积为______。

三、解答题(17题10分，其余各题12分，共70分)
17．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．求：
(1)该几何体的体积V；
(2)该几何体的侧面积S．

18、如图3，是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，
平面ABC．
（1）求证：BC⊥平面PAC
（2）若AE⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．

19．如图，在正方体中，是的中点。
（1）求证：平面。
（2）求直线与平面所成角余弦值。

20．如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, ,,为的中点，为的中点。
（1）证明：直线；
（2）求异面直线AB与MD所成角的大小；

A
B
C
D

E

21. 如图，正方形所在平面与三角形所在平面相交于，平面，且，．
（1）求证：平面；
（2）求凸多面体的体积．

22．如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且．
（Ⅰ）若为线段的中点，求证：平面；
（Ⅱ）求三棱锥体积的最大值；
（Ⅲ）若，点在线段上，
求的最小值．

参考答案
1-5:CCBCB 2-10:CCBCC 11-12:CA
10．11.

12. 【解析】的外接圆的半径,点到面的距离.
为球的直径点到面的距离为
此棱锥的体积为
另:排除
13.　8－ 14. 15. , 16.

17．由已知该几何体是一个四棱锥P－ABCD，如图所示．
由已知，AB＝8，BC＝6，高h＝4，
由俯视图知底面ABCD是矩形，连接AC、BD交于点O，连接PO，则PO＝4，即为棱锥的高．作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，连接PM、PN，则PM⊥AB，PN⊥BC．
∴PM＝＝＝5，
PN＝＝＝4．
(1)V＝Sh＝×(8×6)×4＝64．
(2)S侧＝2S△PAB＋2S△PBC＝AB·PM＋BC·PN
＝8×5＋6×4＝40＋24．
18、证：(1)∵平面ABC．BC平面ABC
∴BCPA
∵是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点
∴ＢＣＡＣ　
又PAＡＣ＝Ａ,ＰＡ平面PAC,ＡＣ平面PAC
∴BC⊥平面PAC
(2) 由（1）知BC⊥平面PAC,又AE平面PAC
∴AE BC又∵AE⊥PC
BCPC=C,BC平面PBC．PC平面PBC．∴平面AEF⊥平面PBC．
19.证：(1)连接AC交BD于O,连接EO
∵AC与BC是正方形ABCD的对角线
∴点O的AC的中点,又E的的中点，
∴OE//
又OE平面,平面
∴平面。
(2)连接
∵CD平面,
∴是在平面的射影
∴是直线与平面所成的角，
设正方体的边长为
在直角三角形中，= ,=,cos==..
20． (1)取OD中点E，连接ME，CE。
因为M为OA中点，
所以ME是三角形OAD的中位线
所以
因为底面是菱形，N为BC中点，
所以
所以
所以四边形MNCE是平行四边形
所以MN//CE
又因为，
所以。
(2)连接MC，AC 因为AB//CD
所以为所求角或其补角。
在三角形ABC中，，
，，，
所以， 所以,所以所求角为

21. 证明：（1）∵平面，平面，∴．
在正方形中，，∵，∴平面．
∵，∴平面．
（2）解法1：在△中，，，
A

B

C

D

E

F

∴．
过点作于点，
∵平面，平面，
∴． ∵，
∴平面．
∵，
∴．
又正方形的面积，
∴ ．
故所求凸多面体的体积为．
解法2：在△中，，，∴．
连接，则凸多面体分割为三棱锥和三棱锥．
A

B

C

D

E

由（1）知，．∴．
又，平面，平面，
∴平面．
∴点到平面的距离为的长度．
∴．
∵平面，∴．
∴．
故所求凸多面体的体积为．
22．（15年福建文科）
分析：（Ⅰ）要证明平面，只需证明垂直于面内的两条相交直线．首先由垂直于圆所在的平面，可证明；又，为的中点，可证明，进而证明结论；（Ⅱ）三棱锥中，高，要使得体积最大，则底面面积最大，又是定值，故当边上的高最大，此时高为半径，进而求三棱锥体积；（Ⅲ）将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，此时线段的长度即为的最小值．
证明：（I）在中，因为，为的中点，
所以．
又垂直于圆所在的平面，且，
所以．
因为，
所以平面．
（II）因为点在圆上，
所以当时，到的距离最大，且最大值为．
又，所以面积的最大值为．
又因为三棱锥的高，
故三棱锥体积的最大值为．
（III）在中，，，
所以．
同理，所以．
在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示．当，，共线时，取得最小值．
又因为，，所以垂直平分，
即为中点．从而，
亦即的最小值为．
解法二：（I）、（II）同解法一．
（III）在中，，，
所以，．同理．
所以，所以．
在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示．
当，，共线时，取得最小值．
所以在中，由余弦定理得：

．
从而．
所以的最小值为．