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数列求和的基本方法和技巧
1．自从文科不考数学归纳法以来，数学归纳法几乎成了一个理科必考的内容。而且常常和放缩法、函数单调性、构造法等联系在一起，能力要求较高。因此要注重叠加、叠乘、迭代等解题技巧的训练。
2．纵观近几年的高考，每年都有求极限的题目。常以选择题、填空题的形式命题，有时也作为某一大题的某一问出现，难度不大。
3．数列的应用极其广泛，因此尽管现在的应用题多为概率统计，但不排除考数列应用题的可能，也有可能是数列与概率交汇。
4．数列常与函数、不等式、解析几何、立体几何、导数、三角、向量、二项式等知识联系在一起，以它的复杂多变、综合性强、解法灵活等特征成为高考的中档题或压轴题。

一、 利用常用求和公式求和
1.等差数列求和： 2、等比数列求和：
3. 4、 5.
[例1] 已知数列，（x≠0），数列的前n项和，求.
解：当x=1时，；当x≠1时，为等比数列，公比为x；
由等比数列求和公式得 ＝ （利用常用公式）
练习1.已知数列的通项公式为，为的前n项和，
（1）求； （2）求的前20项和。

二、错位相减法求和：该方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.
[例2] 求和：………（）
解： 当x=1时，
当x≠1时， ………………. ①
①式两边同乘以x得 ……② （设制错位）
① ②得 （错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：
∴
练习2.求数列前n项的和.

三、反序相加法求和：即将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.
[例3] 求证：
证明： 设………………………….. ①
把①式右边倒转过来得 （反序）
又由可得 ……… ….. ②
① +②得 （反序相加）
∴
练习3.求的值

四、分组法求和：用于既非等差数列，也非等比数列，其数列可分为几个等差、等比或常见的数列，形如：的形式，其中{ an }、{ bn }是等差数列、等比数列或常见的数列.
[例4] 求数列的前n项和：，…
解：设
将其每一项拆开再重新组合得 （分组）
当a＝1时，＝ （分组求和）
当时，＝
练习4.求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.

五、裂项法求和：实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1） （2）
（3） （4）=－
（5） （6）
（7） （8）
(9)
[例5] 求数列的前n项和.
解：设 （裂项）
则
＝ ＝ 列项求和
练习5. ①在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.
① 求证：

六、合并法求和：针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质.
[例6] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
解：设Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°
∵ （找特殊性质项）
∴Sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）
+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90°＝ 0 （合并求和）
练习6.在各项均为正数的等比数列中，若的值.

七、利用数列的通项求和：先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.
[例7] 求之和.
解：由于 （找通项及特征）
∴
＝ （分组求和）
＝
＝＝
【巩固练习】7. 已知数列{an}：的值.