福建省莆田市普通高中毕业班质量检查数学文试题.doc

2015年莆田市高中毕业班教学质量检查试卷
数学（文科）
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用O．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
参考公式：
样本数据x1，x2， …，xn的标准差 锥体体积公式
s= 　　　V=Sh
其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
V=Sh ，
其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填涂在答题卡相应位置．
1．已知 ，则等于（ ）
A． B． C． D．
2． 已知复数（，i为虚数单位）在复平面上对应的点为M，则“且”是“点M在第四象限”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．抛物线的准线方程是（ ）
A．x=－2 B．x=－1 C．y=－2 D． y=－1

4．根据如下样本数据

6
8
10
12

2
3
5
6
得到的线性回归方程为，则的值为 （ ）
A．－2 B．－ 2．2 C．－2．3 D．－2．6
5．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的k的值等于（ ）
A．3 Ｂ．4 Ｃ．5 Ｄ．6
6．若实数满足不等式组则的最大值是（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
7．已知函数f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)=x2－x，则不等式f(x）>0的解集为（ ）
A．（－∞，－1）∪（0，1） B．（－∞，－1）∪（1，+∞）
C．（－1，0）∪（0，1） D．（－1，0）∪（1，+∞）
8．已知若向量与垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
9．请在“垂直于同一 ① 的两 ② 平行”①和②处中填入“直线”或“平面”，使之组成四个不同的命题，则其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知双曲线的一个焦点在圆上，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A． B． C． D．
11．函数的导函数的图象是如图所示的一条直线，该直线与轴的交点坐标为（1，0），则与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．无法确定
12．如图，所在平面上的点均满足，（其中，是以1为首项的正项数列），则等于（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题卡的相应位置．
13．若集合则集合= ．
14． 某校对100名参加“妈祖杯”知识竞赛的选手成绩进行统计，得到样本频率分布直方图(如图)，则在这100名学生中，成绩不低于80分的人数为 ．
15．函数的一条切线与直线垂直，则该切线方程为_______．
16．定义：表示不超过的最大整数．例如：，．给出下列结论：
①函数是周期为的周期函数；
②函数是奇函数；
③函数的值域是；
④函数不存在零点．
其中正确的是_____________．（填上所有正确结论的编号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 把答案填在答题卡相应位置．
17．（本小题满分12分）
已知等差数列{an}的首项为1，公差d≠0，且a1，a2，a4成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式与前n项和Sn；
（Ⅱ）设（），求使不等式成立的最小正整数n．
18．（本小题满分12分）
已知函数经化简后利用“五点法”画其在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下：

①

0
1
0
－1
0
（Ⅰ）请直接写出①处应填的值，并求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）的内角所对的边分别为，已知，求的面积．
19．（本小题满分12分）
《聪明花开——莆仙话挑战赛》栏目共有五个项目，分别为“和一斗”、“斗麻利”、“文士生”、“讲头知尾”、“正功夫”．《聪明花开》栏目组为了解观众对项目的看法，设计了“你最喜欢的项目是哪一个 ”的调查问卷（每人只能选一个项目），对现场观众进行随机抽样调查，得到如下数据（单位：人）：
合一斗
斗麻利
文士生
讲头知尾
正功夫
115
230
115
345
460
（I）在所有参与该问卷调查的人中，用分层抽样的方法抽取n人座谈，其中恰有4人最喜欢“斗麻利”，求n的值及所抽取的人中最喜欢“合一斗”的人数；
（II）在（I）中抽取的最喜欢“合一斗”和“斗麻利”的人中，任选2人参加栏目组互动，求恰有1人最喜欢“合一斗”的概率．
20．（本小题满分12分）
已知四边形ABCD为平行四边形，，BD=AD，AB=2，四边形ABEF为正方形，且平面平面ABCD．
(Ⅰ)求证：平面ADF；
(Ⅱ)若M为CD中点，证明在线段EF上存在点N，使得MN∥平面ADF，且MN//平面BDF，并求出此时三棱锥N—ADF的体积．

21． （本小题满分12分）
如图，O为坐标原点，椭圆：（）的左、右焦点分别是F1、F2，上顶点为P，离心率e=．直线PF2交椭圆于另一点Q，△PQF1的周长为8．
（I）求椭圆的方程；
（II）若点R满足，求△PQR的面积；
（III）若M、N为椭圆E上异于点P的两动点，试探究：是否存在点M、N，使得△PMN为正三角形？若存在，求出M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由．

22．（本小题满分14分）
已知函数，．
（Ⅰ）若，求函数的单调区间；
（Ⅱ）求证：对任意给定的正数，总存在实数，使函数在区间上不单调；
（Ⅲ）试探究：是否存在实数，使当时，函数的值域为？若存在，试确定实数的取值范围；若不存在，说明理由．

2015年莆田市高中毕业班教学质量检查试卷
数学（文科）试题参考答案及评分标准

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，本大题共12小题，每小题5分，满分60分．
1．A2．A3．B4．C5．C6．D7．D8．C9．B10．A11．B12．C
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，本大题共4小题，每小题4分，满分16分．
13．{1，2}14．2515．4x+y+3=016．①③④
三、本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．本小题主要考查等差、等比数列、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分12分．
解：（Ⅰ）因为a1，a2，a4成等比数列，所以a1a4=a22 ．…………………………………1分
即a1(a1+3d)=(a1+d)2，解得d=1或d=0（舍去）． …………………………………………2分
所以an=1+(n－1)1=n，………………………………………………………………………4分
．………………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，…………………………………………7分
所以．…………9分
解，解得n>9，…………………………………………………………………………11分
所以使不等式成立的最小正整数为10．……………………………………………………12分
18．本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分12分．
解：（Ⅰ）①处应填入．…………………1分
……………3分
．………………4分
因为T=，所以，，．…………5分
令，，得，
所以函数的单调递增区间为 ．……………7分
（Ⅱ）因为，…………8分
解法一：由余弦定理得，
得，．…………10分
所以的面积．………12分
解法二：由正弦定理得，
所以，，而，………8分
所以
，………10分
即，因为，，所以．
因此为等边三角形，其面积． ……12分
19．本小题主要考查分层抽样、古典概型等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想．满分12分．
解（I）由已知得，解得n=22．…………3分
抽取的人中最喜欢“合一斗”有(人)．……………5分
（II）从（I）中抽取的最喜欢“合一斗”和“斗麻利”的人中，最喜欢“合一斗”的有2人，记为A1、A2，最喜欢“斗麻利”的有4人，记为B1、B2、B3、B4．…………………6分
从中随机抽取2人，所有的可能结果共有15种，它们是: (A1， A2)、(A1， B1)、(A1， B2)、(A1， B3)、(A1， B4)、(A2， B1)、(A2， B2)、(A2， B3)、(A2， B4)、 (B1， B2)、(B1， B3)、(B1， B4)、(B2， B3)、(B2， B4)、(B3， B4)．…………9分
其中，恰有1人最喜欢“合一斗”的可能结果共有8种，它们是：(A1， B1)、(A1， B2)、(A1， B3)、(A1， B4)、(A2， B1)、(A2， B2)、(A2， B3)、(A2， B4)．
故所求的概率P=．…………12分
20．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．
(Ⅰ)证：正方形ABEF中，AF⊥AB，∵平面ABEF⊥平面ABCD，又AF平面ABEF，
平面ABEF平面ABCD=AB，∴AF⊥平面ABCD．
又∵BD平面ABCD，∴AF⊥BD． ……………3分
又，AFAD=A，AF、AD平面ADF，∴平面ADF．……………5分
(Ⅱ)解：当N为线段EF中点时，MN∥平面ADF，且MN//平面BDF． ……………6分
证明如下：正方形ABEF中，NFBA，
平行四边形形ABCD中，MDBA，NFMD，
四边形NFDM为平行四边形，MN//DF． ……………7分
又DF平面ADF，MN平面ADF，∴MN//平面ADF，
同理可证MN//平面BDF． ……………9分
过D作DHAB于H，∵平面ABEF⊥平面ABCD，又DH平面ABCD，平面ABEF平面ABCD=AB，∴DH⊥平面ABEF．
在Rt∆ABD中，AB=2，BD=AD，∴DH=1，……………10分
所以．……………12分
21．本小题主要考查平面向量、点到直线的距离、椭圆的定义与性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想、分类与整合思想．满分12分．
解法一：（Ⅰ）由已知可得，，4a=8，所以a=2，c=1．·……………2分
又由，解得，
所以椭圆的方程为．……………3分
（Ⅱ）因为，所以，
所以R，O，Q三点共线，且R在椭圆E上．……………4分
直线PF2的方程为y=(x－1)，由得5x2－8x=0，解得x=或x=0，……………5分
所以P（0，），Q（，），R（，）．·……………6分
所以S△PQR=S△POR+S△POQ=|PO|·|xQ－xR|=．……………7分
（Ⅲ）存在点M，N，当其坐标为（－，），（，）时，△PMN为等边三角形．…8分
证明如下：当MN⊥x轴时，易得△PMN不可能为等边三角形．
当MN⊥y轴时，因为为等边三角形，结合椭圆的对称性，以及（Ⅱ）可得M，N的坐标为（－，），（，），符合题意．……………9分
当MN不与坐标轴垂直时，设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为D（x0，y0），
由得，
即，所以kMN=．……………10分
因为△PMN为等边三角形，所以kMN·kPD =—1，即，
解得y0=，与y0∈矛盾，此时不存在M，N使△PMN是等边三角形．·……………11分
综上，存在M，N，且其坐标为（－，），（，）时，△PMN是等边三角形．……12分
解法二：
（Ⅰ）同解法一；
（Ⅱ）同解法一，可得|QR|=2|QO|=．………6分
因为直线QR的方程为y=x，即x+8y=0，
所以点P（0，）到直线QR的距离d=．
所以S△PMN=|QR|·d=．……………7分
（Ⅲ）存在点M，N，当其坐标为（－，），（，）时，△PMN为等边三角形．…8分
证明如下：当MN⊥x轴时，易得△PMN不可能为等边三角形．
（1）当MN垂直于坐标轴时，同解法一．……………9分
（2）当MN不与坐标轴垂直时，设直线MN的方程为y=kx+m（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）．
由得，所以，MN的中点坐标为．
因为△PMN为等边三角形，所以kMN·kPD =—1，即，
化简得， （*）
又因为，
即，这与（*）式矛盾，满足条件的M，N不存在．……………11分
综上，存在M，N，当其坐标为（－，），（，）时，△PMN是等边三角形．……12分
22．本小题主要考查函数导数的几何意义、导数的运算及导数的应用，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分14分．
解：（Ⅰ）由，（x>0）．………… 1分
令，得，f(x)，的变化情况如下表：

(0，1)
1
（1，+∞）

+
0
－

单调递增
极大值
单调递减
所以函数f(x)的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．……………………………… 3分
（Ⅱ）．
（1）当时，恒成立，此时函数在区间（0，+∞）上单调递增，不合题意，舍去．…………………4分
（2）当时，令，得，，的变化情况如下表：

+
0
－

单调递增
极大值
单调递减
所以函数的增区间为，减区间为．……………… 6分
要使函数在区间上不单调，须且只须，即．
所以对任意给定的正数，只须取实数，就能使得函数在区间上不单调．…………………… 7分
（Ⅲ）假设存在实数，使当时，函数f(x)的值域为．
由得．……………………… 8分
令．
（1）当时，均在区间（0，+∞）上单调递增，
由已知得为方程的两个不等正根． （*）
令，即．
要使（*）成立，须且只须存在两个零点． ………………………9分
因为．
①当，即时，在区间（0，+∞）上单调递增，（*）不成立．
②当，即时，令，得，此时取到最大值．
要使（*）成立，须且只须，得．
所以当时，要使（*）成立，须且只须．…………………… 10分
（2）当时，由（Ⅱ）知，在处取到最大值．
此时要使命题成立，须且只须有两个零点，结合图形可得：
①若，由均在区间上单调递增知，存在符合题意；
②若，则取符合的解为即可．
由①，②，结合（1）得．…………………… 13分
注意到，所以，且．
综上，当时，存在符合题意；
当时，存在符合是题意；
当时，满足条件的实数不存在．…… 14分